3.3等差數列的前n項和（二）教課目標：1.進一步嫻熟掌握等差數列的通項公式和前n項和公式.2.認識等差數列的一些性質，并會用它們解決一些有關問題.教課要點：嫻熟掌握等差數列的乞降公式教課難點：靈巧應用乞降公式解決問題講課種類：新講課課時安排：1課時教具：多媒體、實物投影儀內容剖析：本節是在會合與簡略邏輯以后學習的，映照觀點自己就屬于集合的教課過程：一、復習引入：第一回想一下上一節課所學主要內容：1.等差數列的前n項和公式n(a1an)1：Sn22.等差數列的前n項和公式2：Snna1n(n1)d23.Sndn2(a1d)n，當d≠0，是一個常數項為零的二次式224.平等差數列前項和的最值問題有兩種方法:（1）利用an:當an>0，d<0，前n項和有最大值可由an≥0，且an1≤0，求得n的值當an<0，d>0，前n項和有最小值可由an≤0，且an1≥0，求得n的值（2）利用Sn：由Sndn2(a1d)n二次函數配方法求得最值時n的值22二、例題解說例1*.求會合M={m|m=2n－1,n∈N,且m＜60}的元素個數及這些元素的和.解：由2n－1＜60,得n＜61,又∵n∈N*2∴知足不等式＜61的正整數一共有30個.n2即會合M中一共有30個元素，可列為：1，3，5，7，9，，59，構成一個以a1=1,a30=59,n=30的等差數列.∵Sn=n(a1an),∴S30=30(159)=900.22答案：會合中一共有30個元素，其和為900.M例2.在小于100的正整數中共有多少個數能被3除余2，并求這些數的和剖析：知足條件的數屬于會合，*M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N}解：剖析題意可得知足條件的數屬于會合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*}由3n+2＜100,得n＜322,且m∈N*,3∴n可取0，1，2，3，，32.即在小于100的正整數中共有33個數能被3除余2.把這些數從小到大擺列出來就是：2，5，8，，98.它們可構成一個以a1=2,d=3,a33=98,n=33的等差數列.由Sn=n(a1an),得S33=33(298)=1650.22答：在小于100的正整數中共有33個數能被3除余2，這些數的和是1650.例3已知數列an,是等差數列，Sn是其前n項和，求證：⑴S6，S12-S6，S18-S12成等差數列；⑵設Sk,S2kSk,S3kS2k（kN）成等差數列證明：設an,首項是a1，公差為d則S6a1a2a3a4a5a6∵S12S6a7a8a9a10a11a12(a16d)(a26d)(a36d)(a46d)(a56d)(a66d)(a1a2a3a4a5a6)36dS636d∵∴S18S12a13a14a15a16a17a18(a76d)(a86d)(a96d)(a106d)(a116d)(a126d)(a7a8a9a10a11a12)36d(S12S6)36dS6,S12S6,S18S12是以36d為公差的等差數列同理可得Sk,S2kSk,S3kS2k是以k2d為公差的等差數列.三、練習：1．一個等差數列前4項的和是24，前5項的和與前2項的和的差是27，求這個等差數列的通項公式.剖析：將已知條件轉變為數學語言，而后再解.解：依據題意，得S4=24,S5－S2=27則設等差數列首項為a1,公差為d,4a1則(5a1解之得：

4(41)d2425(51)d)(2a12(21)d)2722a13∴an=3+2（n－1）=2n+1.d22．兩個數列1,x1,x2,,x7,5和1,y1,y2,,y6,5均成等差數列公差分別是d1,d2,求d1與x1x2x7的值d2y1y2y6解：5＝1＋8d1,d1＝1又5＝1＋7d2,4d1＝7,d2＝,∴;27d28x1+x2++x7＝7x4＝7×15＝21,2y1+y2++y6＝3×(1＋5)＝18,∴x1x2x7＝7.y1y2y663．在等差數列{an}中,a4＝－15,公差d＝3,求數列{an}的前n項和Sn的最小值解法1：∵a4＝a1＋3d,∴－15＝a1＋9,a1＝－24,∴Sn＝－24n＋3n(n1)＝3[(n－51)2－512],22636∴當|n－51|最小時，Sn最小，6即當n＝8或n＝9時，S8＝S9＝－108最小.解法2：由已知解得a1＝－24,d＝3,an＝－24＋3(n－1),由an≤0得n≤9且a9＝0,∴當n＝8或n＝9時，S8＝S9＝－108最小.四、小結本節課學習了以下內容：an是等差數列，Sn是其前n項和，則Sk,S2kSk,S3kS2k（kN）仍成等差數列五、課后作業：1．一凸n邊形各內角的度數成等差數列，公差是10°,最小內角為100°,求邊數n.解：由(n－2)·180＝100n＋n(n1)×10，2求得n2－17n＋72＝0,n＝8或n＝9,當n＝9時,最大內角100＋(9－1)×10＝180°不合題意，舍去，∴n＝8.2．已知特別數等差數列{an}的前n項和Sn知足10Snm23n52(m1)n2mn(n∈N,m∈R),求數列{a5n3}的前n項和.解：由題設知522Sn＝lg(m23n)＝lgm2＋nlg3＋(m1)nmnlg2,2(m1)nmn5即Sn＝[(m1)lg2]n2＋(lg3＋mlg2)n＋lgm2,55∵{an}是特別數等差數列，當d≠0，是一個常數項為零的二次式∴(m1)lg2≠0且lgm2＝0,∴m＝－1,52lg2)n－1lg2)n,∴Sn＝(－2＋(lg353lg25則當n=1時，a1＝lg352－1lg2)當n≥2時,an＝Sn－Sn1＝(－－1)＋(lg3lg2)(2n55＝4nlg2lg31lg255∴an＝4nlg2lg31lg254lg25d=an1an=4(5n51lg2a5n3=3)lg2lg355=4nlg2lg311lg25數列{a5n}是以a8=lg3314lg2為公差的等差數3lg2為首項,5d=5列，∴數列{a5n3}的前n項和為n·(lg331lg2)＋1n(n－1)·(4lg2)＝522n2lg2(lg321lg2)n53．一個等差數列的前12項和為354，前12項中偶數項的和與奇數項的和之比為32:27，求公差d.解：設這個數列的首項為a1,公差為d，則偶數項與奇數項分別都是公12a166d354差為2d的等差數列，由已知得6a230d32,解得d＝5.6a130d27解法2：設偶數項和與奇數項和分別為S偶，S奇，則由已知得S偶S奇354S偶32,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d,∴d＝5.S奇274．兩個等差數列，它們的前n項和之比為5n3,求這兩個數列的第九2n1項的比解：a9a1a1717(a1a17)S178.2b9b1b1717b17)S17'3(b125．一個等差數列的前10項和為100，前100項和為10，求它的前110項和解：在等差數列中，S10,S20－S10,S30－S20,,S100－S90,S110－S100,成等差數列，∴新數列的前10項和＝原數列的前100項和，10S10＋109·D＝S100＝10,解得D＝－222∴S110－S100＝S10＋10×D＝－120,∴S110＝－110.6．設等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0，(1)求公差d的取值范圍；指出S1,S2,S3,,S12中哪一