數學〔一〕教案期末總復習D 數學〔一〕教案期末總復習D求向量的坐標、模、方向角、方向余弦、數量積、向量積由條件求平面與直線方程計算一階偏導數及高階偏導數求多元復合函數的偏導數求方程所確定的隱函數的偏導數求方向導數、梯度、曲線的切線、曲面的切平面求極值、利用拉格郎日乘數法求最值利用直角坐標計算二重積分利用極坐標計算二重積分計算帶絕對值的二重積分利用二重積分證明恒等式利用對稱性質計算二重積分只有一種積分次序可計算的積分1xy2xy1xy2xyyyDDyyyyD1利用投影法計算三重積分利用柱坐標計算三重積分利用球坐標計算三重積分利用切片法計算三重積分利用三重積分計算立體的體積計算對弧長的曲線積分計算對面積的曲面積分計算對坐標的曲線積分利用格林公式計算對坐標的曲線積分曲線積分與路徑無關及全微分求積計算對坐標的曲面積分題型25利用高斯公式計算對坐標的曲面積分題型26可別離變量的微分方程、齊次方程程定義模差單位向量方向余弦交角余弦定義與運算的幾何表達aaaa那么方向余弦分別為角向量c與a，b都垂直定理與公式兩向量夾角余弦cos9=a.bab向量a在非零向量b上的投影bb在直角坐標系下的表示xyzxyzjaxxyyzzxyzxxyyzzaxyaxyzaaaxxyyzzijkxyzbbbxyzxxyyzzaaaa//b一x=y=zbbbxyzxxyyxyzxyzab+ab+abprja=xxyyzzxyz直線法向量n{A,B,C}點M(x,y,z)方向向量T{m,n,p}點M(x,y,z)00000000方程名稱方程形式及特征方程名稱方程形式及特征一般式AxByCzD0一般式點法式A(xx)B(yy)C(zz)0點向式xx0yy0zz0000mnpxxyyzzxxmt1110三點式xxyyzz0參數式yynt310101010線面垂直線面平行AmBnCp0mnp點面距離面面距離000012AxByCzDDDd000d12A2B2C2A2B2C2面面夾角線線夾角線面夾角{A,B,C}{A,B,C}s{m,n,p}s{m,n,p}s{m,n,p}n{A,B,C}1111222211112222sinAmBnCpA2B2C2A2B2C2m2n2p2m2n2p2A2B2C2m2n2p2111222111222面面垂直AABBCC0線線垂直mmnnpp0121212121212ABCmnp面面平行111線線平行111xxz0zABCmnp222222ABC2121210xxyyzzzzptxxxyyzz切“線〞方程：(t0)(t0)(t0)000(t)(xx)(t)(yy)(t)(zz)0000000切“線〞方程：xxyyzz00(xx)(x)(yy)(x)(zz)000000切向量T((t),(t),(t))000切向量T(1,(x),(x))x(t)，yt z(t)，(t)y(x)10(x0)(x0)空間曲空間曲面：zf(x,y)法向量n(F(x,y,z),x000F(x,y,z),y000F(x,y,z))z000n(f(x,y),x00f(x,y),1)y00或n(f(x,y),x00f(x,y),1)y00F(x,y,z)(xx)F(x,y,z)(yy)x0000x0000F(x,y,z)(zz)0x0000xxyyzz000F(x,y,z)F(x,y,z)F(x,y,z)x000y000z000f(x,y)(xx)f(x,y)(yy)(zz)0x000y0000000f(x,y)f(x,y)1x00y00積分類型重積分計算方法典型例題(1)利用直角坐標系二重積分D平面薄片的質量DDDc(yD使用原那么(1)積分區域的邊界曲線易于用極坐標方程表示(含圓弧,直線段)；(2)被積函數用極坐標變量表示較簡單(含(x2y2),為實數)質量=面密度D()0202〔3〕利用積分區域的對稱性與被積函數的奇偶性性與被積函數的奇偶性三重積分I=業空間立體物的質量面積0及考前須知fxyx，即f(-x,y)=-f(x,y)f(x,y)對于x是偶函數，即f(-x,y)=f(x,y)D是D的右半部分1標準：域邊界應盡量多為坐標軸，被積函數關于坐標變量易別離原那么：積分區域分塊少，累次積分好算為妙方法：圖示法先積一條線，后掃積分域注意：充分利用對稱性，奇偶性(投影法l截面法(1)l截面法ay(x)ay(x)業1(2)利用柱面坐標(2)利用柱面坐標相當于在投影法的根底上直角坐標轉換成極坐標適用范圍:業aar(9)適用范圍:11積分類型L的質量平面第二類曲線積分L變力沿曲線所做的功空間第二類曲線積分L變力沿曲線所做的功曲線積分與曲面積分計算方法dtaI=jbf(x,y(x))1+y'2(x)dxaa LaL?x?yL?x?yD(滿足條件直接應用〔3〕利用路徑無關定理〔特殊路徑法〕等價條件：①?Q=?P②jPdx+Qdy=0?x?yL③jPdx+Qdy與路徑無關，與起點、終點有關法〕LL典型例題)TTRQtvtotot}dtR結論：L第一類曲面積分第一類曲面積分片的質量質量=面密度面積面積分流體流向曲面一側的流量yzzxxyyzzxxy滿足條件直接應用不是封閉曲線，添加輔助線不是封閉曲線，添加輔助線xyD〔1〕投影法D滿足條件直接應用D滿足條件直接應用DDDDR不是〔3〕兩類曲面積分之間的聯系xxyy無窮級數無窮級數數第十章級數周期延拓個收斂級數的和差仍收斂推論如果加括號后所成的級數發散那么原來級nn比擬判別法的極限形式根值判別法假設uu且limu0，那么(1)n1unn1nnnu和v都是正項級數，且uv.假設v收斂，那nnnnn么u也收斂；假設u發散，那么v也發散.nnnnvnvn0l,u與v同斂或同散;假設l0,vnnnnnnn