最優化模型計算四第一頁，共三十二頁，2022年，8月28日建模時需要注意的幾個基本問題

1、盡量使用實數優化，減少整數約束和整數變量2、盡量使用光滑優化，減少非光滑約束的個數如：盡量少使用絕對值、符號函數、多個變量求最大/最小值、四舍五入、取整函數等3、盡量使用線性模型，減少非線性約束和非線性變量的個數（如x/y<5改為x<5y）4、合理設定變量上下界，盡可能給出變量初始值5、模型中使用的參數數量級要適當(如小于103)第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題第二頁，共三十二頁，2022年，8月28日CUMCM-2000B鋼管訂購和運輸問題要鋪設一條的天然氣管道(見上圖)。經篩選后可以生產這種主管道鋼管的鋼廠有第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題A13258010103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7圖中粗線表示鐵路，單細線表示公路，雙細線表示要鋪設的管道(假設沿管道或者原來有公路，或者建有施工公路)，圓圈表示火車站，每段鐵路、公路和管道旁的阿拉伯數字表示里程(單位km)。第三頁，共三十二頁，2022年，8月28日第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題為方便計，1km主管道鋼管稱為1單位鋼管。一個鋼廠如果承擔制造這種鋼管，至少需要生產500個單位。鋼廠Si在指定期限內能生產該鋼管的最大數量為si個單位，鋼管出廠銷價1單位鋼管為pi萬元，如下表i1234567si80080010002000200020003000pi1601551551601551501601單位鋼管的鐵路運價如下表：里程(km)≤300301～350351～400401～450451～500501～600601～700701～800801～900901～1000運價(萬元)20232629323744505560第四頁，共三十二頁，2022年，8月28日1000km以上每增加1至100km運價增加5萬元。公路運輸費用為1單位鋼管每公里0.1萬元（不足整公里部分按整公里計算）。鋼管可由鐵路、公路運往鋪設地點（不只是運到點，而是管道全線）。第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題（1）請制定一個鋼管的訂購和運輸計劃，使總費用最小。（2）請就（1）的模型分析：哪個鋼廠鋼管的銷價的變化對購運計劃和總費用影響最大，哪個鋼廠鋼管的產量的上限的變化對購運計劃和總費用的影響最大，并給出相應的數字結果。（3）如果要鋪設的管道不是一條線，而是一個樹形圖，鐵路、公路和管道構成網絡，請就這種更一般的情形給出一種解決辦法，并對圖二按（1）的要求給出模型和結果。第五頁，共三十二頁，2022年，8月28日A13258010103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A19130190260100A2A3A4A5A6A7A8A11A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7A16A17A18A20(A21)圖二第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題第六頁，共三十二頁，2022年，8月28日第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題變量與符號說明aij

站點Ai至Aj的距離（即為鋪設管道的鋼管數量）si

鋼廠Si的最大生產量xij

從鋼廠Si運往站點Aj的鋼管數量cij

從鋼廠Si運1單位鋼管到Aj的最小費用（含銷價）yj

從Aj往左鋪設的鋼管數量zj

從Aj往右鋪設的鋼管數量fi 0-1變量，表示鋼廠Si是否生產f

總費用第七頁，共三十二頁，2022年，8月28日第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題問題分析從鋼廠Si向站點Aj運輸鋼管時，應該走費用最低的路線。首先利用網絡最短路算法，計算鋼廠Si到站點Aj的最小費用cij，它是銷售價和運輸費用之和。具體數值見下表cijA2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1320.3300.2258.6198180.5163.1181.2224.2252256266281.2288302S2360.3345.2326.6266250.5241226.2269.2297301311326.2333347S3375.3355.2336.6276260.5251241.2203.2237241251266.2273287S4410.3395.2376.6316300.5291276.2244.2222211221236.2243257S5400.3380.2361.6301285.5276266.2234.2212188206226.2228242S6405.3385.2366.6306290.5281271.2234.2212201195176.2161178S7425.3405.2386.6326310.5301291.2259.2236226216198.2186162注：各鋼廠運往站點A4的最短路徑均需經過A5第八頁，共三十二頁，2022年，8月28日第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題在鋪設管道時，將沿著鋪設路線離散卸貨，即運到站點Aj后，還要在鋪設路線上運輸（不足整公里部分按整公里計算），每鋪設1公里，就要卸下1單位鋼管。于是從點Aj向左或右鋪設m單位鋼管，需要的運費為構造模型目標函數是總費用最小

鋼廠運到站點的總費用站點到鋪設工地的運輸費用第九頁，共三十二頁，2022年，8月28日約束條件（1）鋼廠Si的鋼管產量限制第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題（2）鋼廠Si如果有訂貨，至少500單位（3）Aj和Aj+1之間相向鋪設數量之和為其距離（4）運到Aj的鋼管數等于Aj向左右鋪設數量（5）決策變量的非負約束第十頁，共三十二頁，2022年，8月28日第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題問題1的數學模型站點A1的鋼管全部自A2運來，所以xi1=0第十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日model:

sets:

!si表示最大生產能力，f為0-1變量、表示是否生產，rs表示實際產量;steel/S1..S7/:si,f,rs;

!hm為站點編號，yj和zj分別表示向左、右鋪設的鋼管數，aj表示Aj到Aj+1距離;stat/A2,A3,A5,A6,A7,A8,A9,A10,A11,A12,A13,A14,A15/:hm,yj,zj,aj;

!c是最小費用矩陣，x是決策變量;links(steel,stat):c,x;

endsets

data:si=80080010002000200020003000;hm=2356789101112131415;aj=301,1356,194,205,201,680,480,300,220,210,420,500,0;c=第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題各鋼廠運到A4的最短路徑都經過A5，所以不考慮A4站點問題1的LINGO模型第十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日320.3300.2198180.5163.1181.2224.2252256266281.2288302360.3345.2266250.5241226.2269.2297301311326.2333347375.3355.2276260.5251241.2203.2237241251266.2273287410.3395.2316300.5291276.2244.2222211221236.2243257400.3380.2301285.5276266.2234.2212188206226.2228242405.3385.2306290.5281271.2234.2212201195176.2161178425.3405.2326310.5301291.2259.2236226216198.2186162

;

enddata!目標函數為總費用;min=@sum(links:c*x)+0.05*@sum(stat:yj+yj*yj+zj+zj*zj);!鋼廠實際產量;@for(steel(i):rs(i)=@sum(stat(j):x(i,j)));!生產能力與產量限制;@for(steel(i):rs(i)<=si(i)*f(i); rs(i)>=500*f(i)); !到達各站點的鋼管數;@for(stat(j):@sum(steel(i):x(i,j))=yj(j)+zj(j)); !每段管道自左右方向運來的鋼管數;@for(stat(j)|hm(j)#lt#15:zj(j)+yj(j+1)=aj(j));@for(steel(i):@bin(f(i))); !各鋼廠是否生產標記;@for(stat(j):@gin(yj(j));@gin(zj(j))); !運輸量取整數;yj(1)=104; zj(13)=0;end第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題第十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題Localoptimalsolutionfoundatiteration:1281Objectivevalue:1278632.VariableValueReducedCostRS(S1)800.00000.000000RS(S2)800.00000.000000RS(S3)1000.0000.000000RS(S4)0.0000000.000000RS(S5)1366.0000.000000RS(S6)1205.0000.000000RS(S7)0.0000000.000000YJ(A2)104.00000.000000YJ(A3)226.00000.000000YJ(A5)1074.0000.000000YJ(A6)184.00000.000000YJ(A7)189.00000.000000YJ(A8)125.00000.000000YJ(A9)505.00000.000000YJ(A10)321.00000.000000YJ(A11)270.00000.000000YJ(A12)75.000000.000000YJ(A13)199.00000.000000YJ(A14)286.00000.000000YJ(A15)165.00000.3797138E-05ZJ(A2)75.000000.2653848E-05ZJ(A3)282.00000.1955465E-04ZJ(A5)10.000000.9997957E-01ZJ(A6)16.000000.9998874E-01ZJ(A7)76.00000-0.2661004E-05ZJ(A8)175.00000.7097367E-05ZJ(A9)159.00000.2409726E-05ZJ(A10)30.00000-0.3583863E-05ZJ(A11)145.0000-0.1601378E-05ZJ(A12)11.00000-0.2274057E-04ZJ(A13)134.00000.9606250E-06ZJ(A14)335.00000.000000ZJ(A15)0.0000000.000000X(S1,A5)335.00000.000000X(S1,A6)200.00000.000000X(S1,A7)265.00000.000000X(S2,A2)179.00000.000000X(S2,A5)321.00000.000000X(S2,A8)300.00000.000000X(S3,A5)336.00000.000000X(S3,A9)664.00000.000000X(S5,A3)508.00000.000000X(S5,A5)92.000000.000000X(S5,A10)351.00000.000000X(S5,A11)415.00000.000000X(S6,A12)86.000000.000000X(S6,A13)333.00000.000000X(S6,A14)621.00000.000000X(S6,A15)165.00000.000000第十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題A2A3A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15合計S1335200265800S2179321300800S33366641000S5508923514151366S6863336211651205合計1795081084200265300664351415863336211655171左運104226107418418912550532127075199286165右運7528210167617515930145111343350模型1的具體運輸方案如下模型1的總費用為：1278632萬元第十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日1.銷售價格的靈敏度分析第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題靈敏度分析S5和S6兩個工廠的鋼管用料比較大，其銷售價格的變化對總費用的影響必然較大。現將各鋼廠單位鋼管的銷售價格分別增加和減少1萬元、4萬元，再次求解模型1，得到總費用變化如下表鋼廠Pi增1萬元總費用上升Pi增4萬元總費用上升Pi減1萬元總費用減少Pi減4萬元總費用減少S180032008003200S280032008003200S31000400010004000S51007394013695504S61202382915646344S7000971第十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題2.產量上限的靈敏度分析S4和S7兩個工廠的鋼管生產量為零，S5和S6的鋼管產量小于其產量上限，所以這4個鋼廠的產量上限在一定范圍內變化時，對總費用不發生影響。而S1、S2和S3的鋼管生產是滿負荷的，它們產量上限的變化將對總費用產生明顯的影響。現將它們鋼管生產能力分別增加和減少20單位、100單位，再次求解模型1，得到總費用變化如下表鋼廠si增20單位總費用減少si增100單位總費用減少si減20單位總費用上升si減100單位總費用上升S1206010300206010300S270035007003500S350025005002500第十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題CUMCM-2003B露天礦生產的車輛安排問題

露天鐵礦的的生產主要是由電鏟裝車、卡車運輸來完成。露天礦里有若干個爆破生成的石料堆（稱為鏟位），每個鏟位已預先根據鐵含量將石料分成礦石和巖石。平均鐵含量不低于25%的為礦石，否則為巖石。每個鏟位的礦石、巖石數量，以及礦石的平均鐵含量（稱為品位）都是已知的。每個鏟位至多安置一臺電鏟，電鏟的平均裝車時間為5分鐘。卸貨地點（卸點）有礦石漏、倒裝場、巖石漏、巖場等，卸點有各自的產量要求。礦石卸點需要鐵含量品位限制29.5±1%，搭配起來送到卸點，搭配的量在一個班次（8小時）內滿足品位限制即可。從長遠看，卸點可以移動，但一個班次內不變。卡車的平均卸車時間為3分鐘。

第十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日卡車載重154噸，平均時速28km/h。每個班次每臺卡車消耗近1噸柴油。發動機點火需要消耗相當多的電瓶能量，故一個班次只在開始工作時點火一次。卡車等待時耗費的能量相當可觀，，安排時不應讓卡車等待。電鏟和卸點都不能同時為兩輛及兩輛以上卡車服務。卡車每次都是滿載運輸。第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題鏟位到卸點的每條道路都是寬60m的雙向車道，不會出現堵車現象，每段道路的長度都是已知的。一個班次的生產計劃包含：出動幾臺電鏟，在哪些鏟位上；出動幾輛卡車，在哪些路線上運輸多少次。合格的計劃要在卡車不等待條件下滿足產量和質量（品位）要求，而一個好的計劃還應該考慮下面兩條原則之一：1.總運量（噸公里）最小，出動最少卡車，即運輸成本最小；模型一2.利用現有車輛運輸，獲得最大的產量（巖石產量優先；在產量相同的情況下，取總運量最小的解）。模型二第十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題根據上面的兩條原則分別建立數學模型，并給出一個班次生產計劃的快速算法。對于下面實例，給出具體的生產計劃、計算相應的總運量及巖石和礦石產量。

某露天礦有鏟位10個，卸點5個，現有鏟車7臺，卡車20輛。各卸點一個班次的產量要求：礦石漏1.2萬噸、倒裝場Ⅰ1.3萬噸、倒裝場Ⅱ1.3萬噸、巖石漏1.9萬噸、巖場1.3萬噸。鏟位和卸點位置的二維示意圖如上所示：第二十頁，共三十二頁，2022年，8月28日第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題各鏟位和各卸點之間的距離（公里）如下表：鏟位1鏟位2鏟位3鏟位4鏟位5鏟位6鏟位7鏟位8鏟位9鏟位10礦石漏5.265.194.214.002.952.742.461.900.641.27倒裝場Ⅰ1.900.991.901.131.272.251.482.043.093.51巖場5.895.615.614.563.513.652.462.461.060.57巖石漏0.641.761.271.832.742.604.213.725.056.10倒裝場Ⅱ4.423.863.723.162.252.810.781.621.270.50各鏟位礦石、巖石數量(萬噸)和礦石的平均鐵含量如下表

：鏟位1鏟位2鏟位3鏟位4鏟位5鏟位6鏟位7鏟位8鏟位9鏟位10礦石量0.951.051.001.051.101.251.051.301.351.25巖石量1.251.101.351.051.151.351.051.151.351.25鐵含量30%28%29%32%31%33%32%31%33%31%第二十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題基本假設(1)

忽略各種隨機因素引起的電鏟和卡車臨時停頓，即認為它們在一個班次（8小時）中連續工作。(2)

卡車在路上不發生堵車，空載與滿載的速度都是28km/h。(3)卸點的品位限制（29.5±1%），只考慮一個班次的總量滿足品位限制即可。巖石不能摻入鐵礦石。(4)

卡車每車都裝滿154噸。如果8小時內完成，卡車可提前退出。(5)每個班次的所有卡車在剛上班時，都是空車。(6)電鏟定鏟位后，一個班次（8小時）內不再移動鏟位。第二十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題符號說明Pi

代表鏟位，i=1,2,…,10Qj

代表卸點，j=1,2,…,5xij

從Pi到Qj的石料數，運到巖石漏和巖場的是巖石車·次cij

從Pi到Qj的距離公里Tij

從Pi到Qj路線上運行一個周期的平均時間分Aij

從Pi到Qj路線上最多能同時運行的卡車數輛Bij

從Pi到Qj，一輛車一個班次的最多運行次數次Ri

第i號鏟位的鐵礦石含量%di

第j號卸點的任務需求車·次ki,si

分別表示第i號鏟位的鐵礦石、巖石儲量車·次Yi

標志第i號鏟位是否安排電鏟的0-1變量第二十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題模型一分析1模型目標在現有設備和滿足生產要求的前提下，先滿足總運量（噸·公里）最小，再考慮調度方案，使卡車數量最少。2約束條件分析(1)卡車運行一個周期的平均時間（單位：分）(2)一條路線上在卡車不等待條件下，最多能運行的卡車數第二十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題(4)電鏟與卸點能力限制每臺電鏟一個班次（8小時）最多裝96車；每個卸點8小時最多卸160車。(3)每輛卡車在路線上8小時最多運行次數每條路線的運量限制第二十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日(6)卸點的品位約束第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題(5)產量任務約束五個卸點的產量任務折合成車·次數為d=（78，85，85，124，85）每個鏟位鐵礦石儲量折合成車·次數為

k=（61,68,64,68,71,81,68,84,87,81）每個鏟位巖石儲量折合成車·次數為

s=（81,71,87,68,74,87,68,74,87,81）第二十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題(7)電鏟與卡車數量約束三個礦石卸點的品位規定為(28.5,30.5)（%）(8)變量的整數約束模型一可以表示為如下的整數線性規劃模型第二十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題第二十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題model:titleCUMCM-2003B-01;sets:chan/1..10/:R,cnum,cy,ck,Y;xie/1..5/:xsubject,xnum;link(xie,chan):c,lsubject,x,che,b;endsetsdata:R=30282932313332313331;xsubject=1.21.31.31.91.3;c=5.265.194.214.002.952.742.461.900.641.271.900.991.901.131.272.251.482.043.093.515.895.615.614.563.513.652.462.461.060.570.641.761.271.832.742.604.213.725.056.104.423.863.723.162.252.810.781.621.270.50;cy=1.251.101.351.051.151.351.051.151.351.25;ck=0.951.051.001.051.101.251.051.301.351.25;enddata第二十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日第四講應用LINGO軟件求解數學建模問題min=@sum(link:154*c*x);!目標函數;!卡車每一條路線上最多可以運行的次數;@for(link(i,j):b(i,j)=@floor((8*60-(@floor((c(i,j)/28*60*2+3+5)/5)-1)*5)/(c(i,j)/28*60*2+3+5)));!每