數電課件第二章邏輯代數基礎第一頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日本章的內容2.1概述2.2邏輯代數中的三種基本運算2.3邏輯代數的基本公式和常用公式2.4邏輯代數的基本定理2.5邏輯函數及其表示方法2.6邏輯函數的化簡方法2.7具有無關項的邏輯函數及其化簡第二頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日2.1概述在數字電路中，1位二進制數碼“0”和“1”不僅可以表示數量的大小，也可以表示事物的兩種不同的邏輯狀態，如電平的高低、開關的閉合和斷開、電機的起動和停止、電燈的亮和滅等。這種只有兩種對立邏輯狀態的邏輯關系，稱為二值邏輯。當二進制數碼“0”和“1”表示二值邏輯，并按某種因果關系進行運算時，稱為邏輯運算，最基本的三種邏輯運算為“與”、“或”、“非”，它與算術運算的本質區別是“0”和“1”沒有數量的意義。故在邏輯運算中1+1=1(或運算）2.1.1二值邏輯和邏輯運算第三頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日數字電路是一種開關電路，輸入、輸出量是高、低電平，可以用二值變量（取值只能為0，l）來表示。輸入量和輸出量之間的關系是一種邏輯上的因果關系。仿效普通函數的概念，數字電路可以用邏輯函數的的數學工具來描述。2.1.2數字電路的特點及描述工具邏輯代數是布爾代數在數字電路中二值邏輯的應用，它首先是由英國數學家喬治.布爾（GeorgeBoole）提出的，用在邏輯運算上。后來用在數字電路中，就被稱為開關代數或邏輯代數，它是邏輯函數的基礎。第四頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日注意：1.邏輯代數和普通數學代數的運算相似，如有交換律、結合律、分配律，而且邏輯代數中也用字母表示變量，叫邏輯變量。2.邏輯代數和普通數學代數有本質區別，普通數學代數中的變量取值可以是正數、負數、有理數和無理數，是進行十進制（0～9）數值運算。而邏輯代數中變量的取值只有兩個：“0”和“1”。并且“0”和“1”沒有數值意義，它只是表示事物的兩種邏輯狀態。第五頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日2.2邏輯代數中的三種基本運算在二值邏輯函數中，最基本的邏輯運算有與（AND）、或（OR）、非（NOT）三種邏輯運算。2.2.1與運算與運算也叫邏輯乘或邏輯與，即當所有的條件都滿足時，事件才會發生，即“缺一不可。如圖2.2.1所示電路，兩個串聯的開關控制一盞燈就是與邏輯事例，只有開關A、B同時閉合時燈才會亮。第六頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日設開關閉合用“1”表示，斷開用“0”表示；燈亮用“1”表示，燈滅用“0”表示（邏輯賦值），則可得到表2.2.1所示的輸入輸出的邏輯關系，稱為真值表從表中可知，其邏輯規律服從“有0出0，全1才出1”這種與邏輯可以寫成下面的表達式：稱為與邏輯式，這種運算稱為與運算第七頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日也可以用圖2.2.2表示與邏輯，稱為邏輯門或邏輯符號，實現與邏輯運算的門電路稱為與門。2.2.2或運算或運算也叫邏輯加或邏輯或，即當其中一個條件滿足時，事件就會發生，即“有一即可若有n個邏輯變量做與運算，其邏輯式可表示為第八頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日如圖2.2.3所示電路，兩個并聯的開關控制一盞燈就是或邏輯事例，只要開關A、B有一個閉合時燈就會亮。用與前面相同的邏輯賦值同樣也可得到其真值表如表2.2.2所示，其邏輯規律服從“有1出1，全0才出0”

其邏輯式為上式說明：當邏輯變量A、B有一個為1時，邏輯函數輸出Y就為1。只有A、B全為0，Y才為0。第九頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日其邏輯門符號如圖2.2.4所示，實現或邏輯運算的門電路稱為或門。若有n個邏輯變量做或運算，其邏輯式可表示為3.非邏輯運算條件具備時，事件不發生；條件不具備時，事件發生，這種因果關系叫做邏輯非，也稱邏輯求反第十頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日如圖2.2.5所示電路，一個開關控制一盞燈就是非邏輯事例，當開關A閉合時燈就會不亮。非邏輯運算也叫邏輯非或非運算、反相運算，即輸出變量是輸入變量的相反狀態。其邏輯式為用與前面相同的邏輯賦值同樣也可得到其真值表如表2.2.3所示注：上式也可寫成第十一頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日其邏輯門符號如圖2.2.6所示，實現非邏輯運算的門電路稱為非門以上為最基本的三種邏輯運算，除此之外，還有下面的由基本邏輯運算組合出來的邏輯運算4.與非（NAND）邏輯運算與非運算是先與運算后非運算的組合。以二變量為例，布爾代數表達式為：其真值表如表2.2.4所示第十二頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日其邏輯規律服從“有0出1，全1才出0”

實現與非運算用與非門電路來實現，如圖2.2.7所示5.或非（NOR）運算

或非運算是先或運算后非運算的組合。以二變量A、B為例，布爾代數表達式為：第十三頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日或非邏輯規律服從有“1”出“0”全“0”出“1”或非運算用或非門電路來實現，如圖2.2.8所示其真值表如表2.2.5所示第十四頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日與或非運算是“先與后或再非”三種運算的組合。以四變量為例，邏輯表達式為：上式說明：當輸入變量A、B同時為1或C、D同時為1時，輸出Y才等于0。與或非運算是先或運算后非運算的組合。在工程應用中，與或非運算由與或非門電路來實現，其真值表見書P22表2.2.6所示，邏輯符號如圖2.2.9所示6.與或非運算第十五頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日其門電路的邏輯符號如圖2.2.10所示其布爾表達式（邏輯函數式）為7.異或運算符號“⊕”表示異或運算，即兩個輸入邏輯變量取值不同時Y=1，即不同為“1”相同為“0”，異或運算用異或門電路來實現其真值表如表2.2.6所示第十六頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日異或運算的性質

1.交換律：2.結合律：3.分配律：推論：當n個變量做異或運算時，若有偶數個變量取“1”時，則函數為“0”；若奇數個變量取1時，則函數為1.4.第十七頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日8.同或運算：其布爾表達式為符號“⊙”表示同或運算，即兩個輸入變量值相同時Y=1，即相同為“1”不同為“0”。同或運算用同或門電路來實現，它等價于異或門輸出加非門，其真值表如表2.2.7所示其門電路的邏輯符號如圖2.2.11所示第十八頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日2.3邏輯代數的基本公式和常用公式2.3.1基本公式表2.3.1為邏輯代數的基本公式，也叫布爾恒等式表2.3.1邏輯代數的基本公式返回A返回B第十九頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日A·0=0A+0=AA·1=AA+1=12.交換律、結合律、分配律a.交換律：AB=BAA+B=B+Ab.結合律：A（BC）=（AB）CA+（B＋C）=（A＋B）+Cc.分配律：A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)1.關于變量與常數關系的定理說明：由表中可以看出鏈接A第二十頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日a.互補律：b.重疊律：A·A=AA+A=Ac.非非律：d.吸收律：A+AB=AA(A+B)=Ae.摩根定律：注：以上定律均可由真值表驗證3.邏輯函數獨有的基本定理鏈接B第二十一頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日2.3.2若干常用公式表2.3.2為常用的一些公式表2.3.2常用公式第二十二頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日說明：1.A＋AB＝A：在兩個乘積項相加時，如果其中一項包含另一項，則這一項是多余的，可以刪掉；2.A＋AB＝A＋B：在兩個乘積項相加時，如果其中一項含有另一項的取反因子，則此取反因子多余的，可從該項中刪除；3.AB＋AB＝A：在兩個乘積項相加時，如果它們其中的一個因子相同，而另一個因子取反，則兩項合并，保留相同因子；4.A（A＋B）＝A：在當一項和包含這一項的和項相乘時，其和項可以消掉第二十三頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日5.AB＋AC＋BC＝AB＋AC：在三個乘積項相加時，如果前兩項中的一個因子互為反，那么剩余的因子組成的另一項則是多余的，可以刪掉；公式AB＋AC＋BCD＝AB＋AC的原理和上述相同6.A（AB）＝AB：如果某項和包含這一項的乘積項取反相乘時，則這一項可以刪掉；7.A（AB）＝A：當某個項取反和包含這一項的乘積項取反相乘時，則只保留這個取反項以上的公式比較常用，應該能熟用，為以后邏輯函數的化簡打好基礎第二十四頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日2.4邏輯代數的基本定理2.4.1代入定理內容：任何一個含有變量A

的等式，如果將所有出現A的位置都用同一個邏輯函數G來替換，則等式仍然成立。利用代入定理可以證明一些公式，也可以將前面的兩變量常用公式推廣成多變量的公式第二十五頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日證明：方程的左邊有A的地方代入G得：B[(A十D)十C]＝B(A十D)十BC＝BA十BD十BC方程的右邊有A的地方代入G得：B(A十D)十BC＝BA十BD十BC故B[(A十D)十C]＝B(A十D)十BC例2.4.1若B(A十C)＝BA十BC，現將所有出現A的地方都代入函數G＝A十D，則證明等式仍成立

第二十六頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日證明：設G＝BC代入公式左右的B中同理設G＝B＋C代入式子左右的B例2.4.2試用代入規則證明摩根定律適用多變量的情況可得故：可得第二十七頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日內容：若已知邏輯函數Y的邏輯式，則只要將Y式中所有的“.”換為“+”,“+”換為“.”,常量“0”換成“1”，“1”換成“0”，所有原變量變成反變量，所有反變量換成原變量，得到的新函數即為原函數Y的反函數（補函數）Y。利用摩根定律，可以求一個邏輯函數的反函數。2.反演定理注意：1.

變換中必須保持先與后或的順序；2.對跨越兩個或兩個以上變量的“非號”要保留不變；第二十八頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日解：由摩根定理或直接求反例2.4.3已知Y＝A（B＋C）＋C

D，求Y

第二十九頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日解：由反演定理例2.4.4若Y＝[（AB）＋C＋D]+C，求反函數或直接求反得第三十頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日3.對偶規則對偶式：設Y是一個邏輯函數，如果將Y中所有的“+”換成與“·”，“.”換成與“+”，“1”換成與“0”，“0”換成與“1”，而變量保持不變，則所得的新的邏輯式YD稱為Y的對偶式。如：第三十一頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日對偶規則：如果兩個函數Y和G相等，則其對偶式YD和GD也必然相等，Viceversa。利用對偶式可以證明一些常用公式例1.1.5試利用對偶規則證明分配律A＋BC=(A+B)(A+C)式子成立證明：設Y＝A＋BC，G＝(A+B)(A+C)，則它們的對偶式為由于故Y＝G，即A＋BC=(A+B)(A+C)

第三十二頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日證明：設則它們的對偶式為由于故Y＝G，即例1.1.6試利用對偶規則證明吸收律A＋AB＝A＋B式子成立第三十三頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日2.5邏輯函數的定義：其中：A1,A2…An稱為n個輸入邏輯變量，取值只能是“0”或是“1”，Y為輸出邏輯變量，取值只能是“0”或是“1”則F稱為n變量的邏輯函數在數字電路中，輸入為二值邏輯變量，輸出也是二值變量，則表示輸入輸出的邏輯函數關系，即如Y＝A＋BC，表示輸出等于變量B取反和變量C的與，再和變量A相或。2.5.1邏輯函數第三十四頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日一、邏輯真值表2.5.2邏輯函數的幾種表示方法

邏輯函數的表示方法很多，比較常用的如下：邏輯真值表就是采用一種表格來表示邏輯函數的運算關系，其中輸入部分列出輸入邏輯變量的所有可能取值得組合，輸出部分根據邏輯函數得到相應的輸出邏輯變量值。如表2.5.1表示的異或邏輯關系的函數，即YBA011101110000輸出輸入表2.5.1Y＝AB＋AB第三十五頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日二、邏輯函數式按一定邏輯規律寫成的函數形式，也是邏輯代數式。與普通函數數不同的是，邏輯函數式中的輸入輸出變量都是二值的邏輯變量。如異或關系的邏輯函數可寫成Y＝AB＋AB三、邏輯圖法

采用規定的圖形符號，來構成邏輯函數運算關系的網絡圖形圖2.5.1表示的是異或關系的邏輯圖第三十六頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日四波形圖法:

一種表示輸入輸出變量動態變化的圖形，反映了函數值隨時間變化的規律，也稱時序圖。如圖2.5.2表示異或邏輯關系的波形。除上面介紹的四種邏輯函數表示方法外，還有卡諾圖法、點陣圖法及硬件描述語言等。在后面的課程中將重點介紹卡諾圖法。第三十七頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日五、各種表示方法間的相互轉換在設計數字電路時，有時需要進行各種表示邏輯函數方法的轉換。1.真值表與邏輯函數式的相互轉換通過下面的例子得出由真值表寫出邏輯函數的方法例2.5.1某邏輯函數的真值表如表2.5.2所示，寫出邏輯函數式輸入輸出ABCY10

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1表2.5.2輸出Y20

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1（1）由真值表寫邏輯函數式第三十八頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日解：邏輯式為輸入輸出ABCY10

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1總結：①找出真值表中使邏輯函數為“1”的輸入變量的組合；第三十九頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日②對應每個輸出為“1”變量組合關系為與的關系，即乘積項，其中如圖輸入變量取值為“1”的寫成原變量，輸入變量取值為“0”的寫成反變量，如AB

C輸入輸出ABCY10

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1③將這些乘積項相加，即得到輸出的邏輯式第四十頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日例2.5.2已知真值表如表2.5.3所示，試寫出輸出的邏輯函數輸入輸出ABCY0

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0表2.5.3解：其輸出的邏輯函數為第四十一頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日（2）由邏輯函數式寫出真值表將輸入變量所有取值組合，代入邏輯函數式，得出輸出的值，并以表的形式表示出來。例2.5.3寫出邏輯函數Y＝AB＋C的真值表解：其真值表如表2.5.4所示輸入輸出ABCY0

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0表2.5.4第四十二頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日2.邏輯函數式與邏輯圖的相互轉換（1）由邏輯函數式畫出邏輯圖用邏輯符號代替邏輯函數中的邏輯關系，即可得到所求的邏輯圖例2.5.4畫出邏輯函數Y＝[（AB+C）＋（AC）＋B]的邏輯電路解：其實現電路如圖2.5.3所示第四十三頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日（2）由邏輯圖寫出邏輯函數式已知邏輯圖，根據邏輯門的輸入輸出關系，寫出整個邏輯圖的輸入輸出關系，得出輸出的邏輯函數式例2.5.5已知邏輯電路如圖2.5.4，試寫出輸出端的邏輯函數式，并寫出真值表解：輸出的邏輯式為第四十四頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日由邏輯式寫出真值表，如表2.5.5所示輸入輸出ABCY0

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1表2.5.5第四十五頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日例2.5.6設計一個邏輯電路，當三個輸入A、B、C至少有兩個為低電平時，該電路輸出為高，試寫出該要求的真值表和邏輯表達式，畫出實現的邏輯圖解：由邏輯要求寫出真值表，如表2.5.6所示輸入輸出ABCY0

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0表2.5.6第四十六頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日由真值表寫出邏輯式為輸入輸出ABCY0

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0表2.5.6第四十七頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日其實現的邏輯圖如圖2.5.5所示第四十八頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日3.波形圖與真值表的相互轉換（1）由波形圖得到真值表根據所給的波形，列出各輸入變量組合所對應的輸出值例2.5.7已知邏輯函數Y的輸出波形如圖2.5.6所示，試分析其邏輯功能。解：由所給的波形寫出輸入輸出的真值表，如表2.5.7所示第四十九頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日由真值表可知，當輸入變量A、B取值相同時，輸出Y＝1；A、B取值不同時，輸出Y＝0。故輸出和輸入是同或關系。其邏輯函數式為YBA010111001100輸出輸入表2.5.7第五十頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日例2.5.8已知圖2.5.7所示是某個數字邏輯電路的輸入輸出波形，試畫出該組合邏輯電路圖，并判斷其邏輯功能解:由波形得出真值表如表2.5.8所示輸入輸出ABCY0

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0表2.5.8第五十一頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日由真值表寫出輸出的邏輯式輸入輸出ABCY0

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0表2.5.8由真值表可知，當輸入有奇數個“1”時，輸出為“1”。故此電路為“判奇電路”，其邏輯圖如圖2.5.8所示第五十二頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日（2）由真值表畫出波形圖按照真值表的輸入取值，畫出輸入輸出的波形。例2.5.9已知邏輯函數的真值表如表2.5.9所示，試畫出輸入輸出波形和輸出端的邏輯函數式。輸入輸出ABCY0

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0表2.5.9解：由真值表畫出輸入輸出波形如圖2.5.9所示第五十三頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日輸出端的邏輯式為輸入輸出ABCY0

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0表2.5.9第五十四頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日2.5.3邏輯函數的兩種標準型一種輸入輸出的邏輯關系可以有多種等效的表達式表示，但可以化為標準形式。其標準型有兩種：標準與或式和標準或與式1.最小項a.定義:在n變量的邏輯函數中，設有n個變量A1~An，而m是由所有這n個變量組成的乘積項（與項）。若m中包含的每一個變量都以Ai或Ai的形式出現一次且僅一次，則稱m是n變量的最小項。注：n個變量構成的最小項有2n個，通常用mi表示第i個最小項，變量按A1~An排列，以原變量出現時對應的值為“1”，以反變量出現時對應的值取“0”，按二進制排列時，其十進制數即為i。一、最小項和最大項第五十五頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日表2.5.10、表2.5.11、表2.5.12分別為二變量、三變量和四變量的最小項第五十六頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日第五十七頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日b.最小項的性質①對于任一個最小項，僅有一組變量取值使它的值為“1”，而其它取值均使它為“0”。或者說在輸入變量的任何取值必有一個最小項也僅有一個最小項的值為“1”。②n變量組成的全體最小項之邏輯和為“1”。即第五十八頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日2.最大項a.定義：在n變量的邏輯函數中，設有n個變量A1~An，而M是由所有這n個變量組成的和項（或項）。若M中包含的每一個變量都以Ai或Ai的形式出現一次且僅一次，則M是n變量的最大項。注：

n個變量構成的最大項也有2n個，通常用Mi表示第i個最大項，變量按A1~An排列，以原變量出現時對應的值為“0”，以反變量出現時對應的值取“1”，按二進制排列時，其十進制數即為i。第五十九頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日表2.5.13、表2.5.14分別為二變量、三變量的最大項，四變量最大項課下自己寫出第六十頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日b.最大項的性質

①對于任一個最大項，僅有一組變量取值使它的值為“0”，而其它取值均使它為“1”。或者說在輸入變量的任何取值必有一個最大項也僅有一個最大項的值為“0”。②n變量組成的全體最大項之邏輯積為“0”。即第六十一頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日二、邏輯函數的標準與或式型－最小項之和標準型如與或型特點：1.式子為乘積和的形式；2.不一定包含所有的最小項，但每一項必須為最小項。第六十二頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日標準與或式的寫法：在n變量的邏輯函數中，若某一乘積項由于缺少一個變量不是最小項，則在這項中添加此變量與這個變量的反變量之和這一項，使之稱為最小項，即利用公式A＋A＝1例2.5.10將邏輯函數Y＝A＋BC寫成標準與或式解：注意：變量的排列順序。第六十三頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日三、邏輯函數的標準或與式型－最大項之積標準型如與或型特點：1.式子為和積的形式；2.邏輯函數不一定包含所有的最大項，但每一項必須為最大項。第六十四頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日標準或與式的寫法：在n變量的邏輯函數中，若某一和項由于缺少一個變量不是最大項，則在這項中加上此變量與這個變量的反變量之積這一項，即利用公式AA＝0，然后利用公式A＋BC＝（A＋B）（A＋C）使之稱為最大項例2.5.11將邏輯函數Y＝AC＋BC寫成或與式解：第六十五頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日四、最小項與最大項的關系設有三變量A、B、C的最小項，如m5＝ABC，對其求反得由此可知對于n變量中任意一對最小項mi和最大項Mi，都是互補的，即第六十六頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日五、標準與或式和或與式之間的關系若某函數寫成最小項之和的形式為則此函數的反函數必為如表2.5.15中第六十七頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日上式或寫成利用反演定理可得第六十八頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日六、邏輯函數的兩種標準形式：有時需要把任意邏輯函數變換為兩種標準形式：與或式（最小項之和）和或與式（最大項之積）。實現這種變換方法很多，可以利用添項、真值表、卡諾圖等實現，這里介紹利用添項和真值表將邏輯函數變換成標準型。1.利用真值表首先寫出邏輯函數的真值表，由真值表寫出最小項和最大項。標準與或式寫法

：由真值表確定邏輯函數為“1”的項作為函數的最小項(乘積項）。若輸入變量取“1”，則寫成原變量；若輸入變量取值為“0”，則寫成反變量。不同的輸出“1”為和的關系。第六十九頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日標準或與式寫法：由真值表確定邏輯函數為“0”的項作為函數的最大項（和項）。若輸入變量取“1”，則寫成反變量；若輸入變量取值為“0”，則寫成原變量。不同的輸出“0”為積的關系。例2.5.12試將下列函數利用真值表轉化成兩種標準形式

解：其真值表如表2.5.16所示第七十頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日邏輯函數的標準或與型為則邏輯函數的標準與或型為第七十一頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日標準或與式的寫法：在邏輯函數中，先將邏輯函數化為和積式。若某一和項由于缺少一個變量不是最大項，則在這項中添加此變量與這個變量的反變量之積這一項，再利用A＝A＋BB＝（A＋B）（A＋B）使之稱為最大項2.利用公式A＋A＝1及A·A＝0將邏輯函數變換為與或式和或與式標準與或式寫法

：在邏輯函數中，先將函數化成與或式（不一定是最小項），則在與項中利用公式A＋A＝1添加所缺的邏輯變量，寫成最小項的形式例2.5.13試利用添加項的方法將下面邏輯函數轉化成與或標準式第七十二頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日解：標準與或式為

例2.5.14試用添加項方法將下面邏輯函數轉化成或與標準式解:第七十三頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日a.在將一個n變量的邏輯函數寫成與或式（最小項之和）后，若要寫成或與式（最大項之和）時，其最大項的編號是除了最小項編號外的號碼，最小項與最大項的總個數為2n；b.由i個最小項構成的與或式（最小項之和）邏輯函數，其反函數可以用i個最大項的或與式（最大項之和）表示，其編號與最小項編號相同。總結：第七十四頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日例1.2.5將下面邏輯函數轉化成兩種標準式，并求其反函數

解：標準與或式為標準或與式為第七十五頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日（注：反函數的最大項編碼與原函數最小項編碼相同）反函數為第七十六頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日2.5.4邏輯函數形式的變換除了上述標準與或式和標準或與式的外，還需要將邏輯函數變換成其它形式。假如給出的是一般與或式，要用與非門實現，就需要將其變成與非－與非式。一、與或式化為與非－與非式－－利用反演定理例2.5.10將下式Y=AC+BC用與非門實現，并畫出邏輯圖。解：用二次求反，將第一級非號用摩根定理拆開，第二級保持不變。第七十七頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日如果本身有反變量輸入，則用二級與非門就可實現該函數，其邏輯電路如圖2.5.10所示。如果只有原變量輸入，另外要用與非門實現反相C，其邏輯電路如圖2.5.11所示第七十八頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日二、將與非式化為與或非式例2.5.11將Y=AC+BC用與或非門實現，畫出邏輯圖。解：先用反演定理求函數Y的反函數Y

，并整理成與或式，再將左邊的反號移到等式右邊，即兩邊同時求反。這就可用與或門實現。其電路如圖2.5.12所示多余項第七十九頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日三、將與或式化為或非－或非式解：先將函數Y化為與或非形式，再用反演定理求Y

，并用摩根定理展開，再求Y，就可得到或非－或非式。例2.5.11將下式Y=AC+BC

用或非門實現。其實現電路如圖2.5.13所示第八十頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日或者先寫成最大項之積形式，再兩次取反，利用反演定理得到或非式第八十一頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日2.6邏輯函數的化簡方法一個邏輯函數有多種不同形式的邏輯表達式，雖然描述的邏輯功能相同，但電路實現的復雜性和成本是不同的。邏輯表達式越簡單，實現的電路越簡單可靠，且低成本。因此在設計電路時必須將邏輯函數進行簡化。注：隨著集成電路的發展，集成芯片的種類越來越多。邏輯函數是否“最簡”已無太大意義。但作為設計思路，特別對于中小規模集成電路，邏輯函數的簡化是不能忽視的邏輯函數的簡化方法很多，主要有邏輯代數簡化法（公式法）和卡諾圖法第八十二頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日2.6.1公式化簡法公式法化簡就是利用邏輯代數的一些定理、公式和運算規則，將邏輯函數進行簡化。實現電路的器件不同，最終要得到的邏函數的形式不同，其最簡的定義也不同。對于要小規模集成門電路實現的電路，常用的門為與非門、或非門、與或非門等。由上一節可知，其最終都可以由與或式、或與式轉換而成。故最常用的是最簡與或式和最簡或與式。最簡與或式：最簡的與或式所含乘積項最少，且每個乘積項中的因子也最少。最簡或與式：最簡的或與式所含和項最少，且每個和項中的相加的項也最少。第八十三頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日1.與或式的簡化(1)與或式：就是先與后或式（乘積和），最簡的與或式是所含與項最少，且每個與項的邏輯變量最少，則這個與或式是最簡的。下面討論公式法常用的化簡方法。上式Y1和Y2實現同樣的邏輯功能，但Y1中不僅所含變量多，而且乘積項也多了一項，要用3個與門（不含非門）和一個或門實現，而Y2的變量有3個，兩個乘積項，用2個與門、1個或門實現即可，這樣即節省元件，也減少布線和功耗。2.6.1公式化簡法第八十四頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日(2)與或式的簡化方法a.合并項法：利用AB＋AB＝B消去一個變量；b.消除法：利用A＋AB＝A＋B消去多余變量；c.配項法：利用A＋A＝1

增加一些項，再進行簡化說明：一般化簡需要各種方法綜合起來。化簡需要技巧和經驗，需多練習。另外最后的結果是否為最簡，難以判斷。2.6.1公式化簡法第八十五頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日例2.6.1將下式化為最簡與或式配項ABC解法一：配項法2.6.1公式化簡法第八十六頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日解法二：用吸收法和消去法二種方法結果一致，但過程繁簡不同。盡量選擇最佳方法，使化簡過程簡單2.6.1公式化簡法第八十七頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日例2.6.2試將下面的邏輯函數簡化為最簡與或式解：注：從原式看，很難看出是不是最簡，而且用代數法簡化邏輯函數，不僅要熟悉邏輯代數公式，而且要靈活運用，而且不能保證最后結果最簡。2.6.1公式化簡法第八十八頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日例2.6.3試將下面邏輯函數簡化成最簡與或式解：多余項反演定理2.6.1公式化簡法第八十九頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日練習：試將下面邏輯函數簡化成最簡與或式2.6.1公式化簡法第九十頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日2.或與式的簡化a.利用公式A(A＋B)＝A及A(A+B)=AB化簡解：例2.6.4試將下面的邏輯函數簡化為最簡或與式2.6.1公式化簡法第九十一頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日b.利用兩次求對偶式進行簡化再求對偶式如例2.6.4的邏輯函數：其對偶式為2.6.1公式化簡法第九十二頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日2.6.2卡諾圖化簡法公式法簡化邏輯函數不直觀，且要熟練掌握邏輯代數的公式以及簡化技巧，而卡諾圖法能克服公式法的不足，可以直觀地給出簡化的結果。一.卡諾圖a.定義：將邏輯函數的真值表圖形化，把真值表中的變量分成兩組分別排列在行和列的方格中，就構成二維圖表，即為卡諾圖，它是由卡諾（Karnaugh）和范奇（Veich）提出的。b.卡諾圖的構成：將最小項按相鄰性排列成矩陣，就構成卡諾圖實質是將邏輯函數的最小項之和以圖形的方式表示出來。最小項的相鄰性就是它們中變量只有一個是不同的。第九十三頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日下面表2.6.1是二變量的卡諾圖2.6.2卡諾圖化簡法第九十四頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日表2.6.2為三變量的卡諾圖2.6.2卡諾圖化簡法第九十五頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日表2.6.3為4變量的卡諾圖2.6.2卡諾圖化簡法第九十六頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日從上面卡諾圖可以看出任意兩個相鄰的最小項在圖上是相鄰的，并且圖中最左列的最小項與左右列相應最小項也是相鄰的（如m0和m2，m8和m10)。位于最上面和最下面的相應最小項也是相鄰的（m0和m8,m2和m10)，所以四變量的最小項有四個相鄰最小項。可以證明n變量的卡諾圖中的最小項有n個相鄰最小項2.6.2卡諾圖化簡法第九十七頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日n變量的卡諾圖可有n2.6.2卡諾圖化簡法第九十八頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日二.邏輯函數的卡諾圖表示法如果畫出邏輯函數的卡諾圖，首先將邏輯函數化成標準與或型（最小項和），在相應的最小項位置填“1”，其方法如下a.利用真值表：將邏輯函數的真值表做出，將表中對應“1”項的最小項填到卡諾圖中2.6.2卡諾圖化簡法例2.6.5畫出下面函數的卡諾圖第九十九頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日解：其真值表如表2.6.5所示,其卡諾圖如表2.6.6所示輸入輸出ABCY0

0

0

0

1

1

1

10

0

1

1

0

0

1

10

1

0

1

0

1

0

10

0

1

1

0

0

0

1表2.6.52.6.2卡諾圖化簡法第一百頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日b.化為標準與或型例2.6.6畫出下面邏輯函數的卡諾圖解：2.6.2卡諾圖化簡法第一百零一頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日2.6.2卡諾圖化簡法第一百零二頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日(3)觀察法采用觀察法不需要前兩種方法需要將邏輯函數轉換成最小項，而是采用觀察邏輯函數，將應為“1”的項填到卡諾圖中例2.6.7用卡諾圖表示下面的邏輯函數解：其卡諾圖如表2.6.7所示2.6.2卡諾圖化簡法AA11111111第一百零三頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日例2.6.8畫出下列函數的卡諾圖解:Y的卡諾圖如表2.6.8所示2.6.2卡諾圖化簡法1111111111第一百零四頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日例2.6.9畫出下列函數的卡諾圖解:Y的卡諾圖如表2.6.9所示2.6.2卡諾圖化簡法111111111第一百零五頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日練習：畫出下列函數的卡諾圖2.6.2卡諾圖化簡法第一百零六頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日三、利用卡諾圖簡化邏輯函數①卡諾圖的性質a.卡諾圖上任何2（21)個標“1”的相鄰最小項，可以合并成一項，并消去1個取值不同的變量例如表2.6.10中，有消去變量D2.6.2卡諾圖化簡法第一百零七頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日b.卡諾圖上任何4（22)個標“1”的相鄰最小項，可以合并成一項，并消去2個取值不同的變量例如表2.6.11中，有消去變量AC2.6.2卡諾圖化簡法第一百零八頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日2.6.2卡諾圖化簡法第一百零九頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日c.卡諾圖上任何8（23)個標“1”的相鄰最小項，可以合并成一項，并消去3個取值不同的變量例如表2.6.12中，有消去變量ABC2.6.2卡諾圖化簡法第一百一十頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日或者下面的圈“1”法2.6.2卡諾圖化簡法第一百一十一頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日②卡諾圖簡化邏輯函數為與或式的步驟a.將邏輯函數化為最小項（可略去）；b.畫出表示該邏輯函數的卡諾圖；c.找出可以合并的最小項,即1的項（必須是2n個1)，進行圈“1”，圈“1”的規則為：2.6.2卡諾圖化簡法*圈內的“1”必須是2n個；*“1”可以重復圈，但每圈一次必須包含沒圈過的“1”；*每個圈包含“1”的個數盡可能多，但必須相鄰，必須為2n個；第一百一十二頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日圈“1”的規則為2.6.2卡諾圖化簡法*圈數盡可能的少；*要圈完卡諾圖上所有的“1”。d.圈好“1”后寫出每個圈的乘積項，然后相加，即為簡化后的邏輯函數。注：卡諾圖化簡不是唯一，不同的圈法得到的簡化結果不同，但實現的邏輯功能相同的。第一百一十三頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日解：其卡諾圖如表2.6.13所示圈法如圖，則例2.6.10用卡諾圖簡化下面邏輯函數2.6.2卡諾圖化簡法111111第一百一十四頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日或者圈法如表2.6.14所示，則故卡諾圖簡化不是唯一的2.6.2卡諾圖化簡法與第一種圈法相比第一百一十五頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日例2.6.11用卡諾圖簡化下面邏輯函數解：其卡諾圖如表2.6.15所示則簡化后的邏輯函數為12.6.2卡諾圖化簡法11111111111第一百一十六頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日注：以上是通過合并卡諾圖中的“1”項來簡化邏輯函數的，有時也通過合并“0”項先求F的反函數，再求反得Y例如上面的例題,圈“0”情況如表2.6.15所示，可得1111111111112.6.2卡諾圖化簡法第一百一十七頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日例2.6.12用卡諾圖簡化下面邏輯函數可得2.6.2卡諾圖化簡法11111111111第一百一十八頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日練習：③利用卡諾圖簡化邏輯函數為或與式在卡諾圖上圈“0”的最小項，其規則與化成與或式相同，但寫最簡或與式時，消去取值不同的變量，保留取值相同的變量。寫相同變量時，取值為“0”寫成原變量，取值為“1”寫成反變量，每個圈寫這些相同變量的和，不同的圈為乘積的關系。2.6.2卡諾圖化簡法第一百一十九頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日例2.6.13用卡諾圖將下面邏輯函數簡化成最簡與或式和或與式解：其卡諾圖如表2.6.17所示對于與或式，圈“1”，則注：Y的最簡與或式不是唯一的2.6.2卡諾圖化簡法11111111000000001第一百二十頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日對于或與式，圈“0”，則由表2.6.17的卡諾圖可得故2.6.2卡諾圖化簡法第一百二十一頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日例2.6.14試將下面邏輯函數化成最簡與或式和或與式。解：卡諾圖如表2.6.18所示圈“1”化成最簡與或式，則可得2.6.2卡諾圖化簡法0111111000000000第一百二十二頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日圈“0”化成最簡或與式為2.6.2卡諾圖化簡法第一百二十三頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日例2.6.15試將下面邏輯函數化成最簡與或式和或與式解：由于最大項對應輸入函數取值為“0”，如M6＝A＋B＋C＋D，當ABCD＝0110時，M6=0，故在相應最大項的位置上填“0”即可得邏輯函數的卡諾圖。則Y的卡諾圖如表2.6.19所示則最簡與或式為2.6.2卡諾圖化簡法0000000111111111第一百二十四頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日圈“0”可得最簡的或與式為2.6.2卡諾圖化簡法第一百二十五頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日練習：將下列函數簡化成最簡與或式和或與式2.6.2卡諾圖化簡法*2.6.3奎恩－麥克拉斯基化簡法（Q－M法）（自學）第一百二十六頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日2.7具有無關項的邏輯函數及其化簡2.7.1約束項、任意項和邏輯函數式中的無關項1.定義：a.約束項：在邏輯函數中，輸入變量的取值不是任意的，受到限制。對輸入變量取值所加的限制稱為約束，被約束的項叫做約束項。例如有三個邏輯變量A、B、C分別表示一臺電動機的正轉、反轉和停止。若A＝1表示電動機正轉，B＝1表示電動機反轉，C＝1表示電動機停止，則其ABC的只能是100、010、001，而其它的狀態如000、011、101、110、111是不能出現的狀態，故ABC為具有約束的變量，恒為0。可寫成這些恒等于“0”的最小項稱為約束項第一百二十七頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日b.任意項：輸入變量的某些取值對電路的功能沒影響，這些項稱為任意項

。例如8421BCD碼取值為0000~1001十個狀態，而1010~1111這六個狀態不可能出現，故對應的函數取“0”或取“1”對函數沒有影響，這些項就是任意項項。c.無關項：將約束項和任意項統稱為無關項。即把這些最小項是否寫入卡諾圖對邏輯函數無影響2.含有無關項的邏輯函數的表示方法最小項的表達式為其中∑d為無關項也可以寫成2.7.1約束項、任意項和邏輯函數式中的無關項第一百二十八頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日③化簡時，根據需要無關項可以作為“1”也可作“0”處理，以得到相鄰最小項矩形組合最大（包含“1”的個數最多）為原則。3.無關項在化簡邏輯函數中的應用利用無關項可以使得函數進一步簡化步驟：①將給定的邏輯函數的卡諾圖畫出來;②將無關項中的最小項在卡諾圖相應位置用“×”表示出來；2.7.1約束項、任意項和邏輯函數式中的無關項第一百二十九頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日例2.6.1用卡諾圖簡化下列邏輯函數，并寫成最簡與或式和或與式解：Y的卡諾圖如表2.6.1所示則最簡與或式為2.7.1約束項、任意項和邏輯函數式中的無關項111111××××××××第一百三十頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日還有另一種圈法，如圖2.6.2所示簡化后的邏輯函數為2.7.1約束項、任意項和邏輯函數式中的無關項此種圈法圈數少，變量少，比上一種簡單第一百三十一頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日寫成或與式為2.7.1約束項、任意項和邏輯函數式中的無關項第一百三十二頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日例1.4.13試簡化下列邏輯函數，寫最簡成與或式和或與式解：約束條件為則Y的卡諾圖如表2.6.4所示最簡與或式為（即AB取值不能相同）2.7.1約束項、任意項和邏輯函數式中的無關項11111××××××××第一百三十三頁，共一百五十一頁，2022年，8月28日圈“0”則最簡或與式為2.7.1約束項、任意項和邏輯函