數學物理方法冪級數展開第一頁，共九十二頁，2022年，8月28日第三章冪級數展開第二頁，共九十二頁，2022年，8月28日3學習要求與內容提要目的與要求：掌握復數項級數、冪級數、泰勒級數、與洛朗級數的概念、性質及基本計算方法、孤立奇點的概念及判定、零點與極點的關系。重點：難點：函數展開成泰勒級數與洛朗級數函數展開成洛朗級數第三頁，共九十二頁，2022年，8月28日4

無窮級數：一無窮多個數構成的數列w1，w2，w3，wn，寫成w1+w2+w3+wn+就稱為無窮級數。這僅是一種形式上的相加。這種加法是不是具有‘和數’呢？這個‘和數’的確切意義是什么？

為什么要研究級數？

(1)級數可作為函數的表達式，是研究函數的工具；

(2)常微分方程的級數解。

研究級數需關心的問題：

(1)級數的斂散性，收斂的定義、條件、判據；

(2)收斂級數或一致收斂級數所具有的性質等。第四頁，共九十二頁，2022年，8月28日53.1復數項級數(一)復數項級數1定義

設{wn}(n=1,2,…)為一復數列,表達式

的稱為復數項級數，其中是復數。2部分和級數前面n項的和

若部分和數列{sn}(n=1,2,…,)有復數極限s即若(3.1)本節內容與實數項級數類似，只作扼要介紹。第五頁，共九十二頁，2022年，8月28日6說明:

與實數項級數相同,判別復數項級數斂散性的基本方法是:則稱復數項級數(3.1)收斂于s,且稱s為(3.1)的和,寫成

若復數列{sn}(n=1,2,…,)沒有極限,則稱級數(3.1)為發散.第六頁，共九十二頁，2022年，8月28日7的斂散性.0?￥=nnz分析級數例1第七頁，共九十二頁，2022年，8月28日83.復數項級數收斂的條件證因為(1)定理

)(

11收斂的充要條件級數??￥=￥=+=nnnnnivuw

.

11都收斂和??￥=￥=nnnnvu第八頁，共九十二頁，2022年，8月28日9說明

復數項級數的審斂問題實數項級數的審斂問題(定理)

.

11??￥=￥=nnnnvu都收斂和級數于是第九頁，共九十二頁，2022年，8月28日10(3)絕對收斂定義若收斂，則稱絕對收斂

注1：一個絕對收斂的復級數的各項可以任意重排次序,而不改變其絕對收斂性,亦不改變其和.

(2)柯西判據：對于任一小的正數

，必存在一

N

使得

n>N

時有式中

p

為任意正整數.注2：級數絕對收斂的充分必要條件是實數項級數與都絕對收斂。第十頁，共九十二頁，2022年，8月28日11解所以原級數發散.

例1所以原級數收斂.

注3：兩個絕對收斂級數的和，積，仍絕對收斂。第十一頁，共九十二頁，2022年，8月28日12（二）復變函數項（簡稱函數項）級數：

設復變函數列wk(z)定義在區域B上，則由wk(z)構成的級數稱函數項級數

當選定z的一個確定值時，函數項級數變成一個復數項級數。

由于函數項級數定義在區域

B(或曲線l)上，所以它的收斂的概念是相對于定義域B(或曲線l)而言的。第十二頁，共九十二頁，2022年，8月28日13

1.復變函數項級數一致收斂的充分必要條件定義：任給ε

>0，存在一個與z無關的自然數N(ε)，當n>N(ε)時，對B(或l)上所有z，均有：(p為任意自然數)，則稱在B(或l)一致收斂。一致收斂級數的性質

性質1：若wk(z)在B內連續，函數級數在B內一致收斂，則和函數w(z)也是B內的連續函數。

這個性質說明：如果級數的每一項都是連續函數，則一致收斂級數可以逐項求極限。第十三頁，共九十二頁，2022年，8月28日14

性質2：若級數在區域B內的分段光滑曲線l上一致收斂，且wk(z)為l上的連續函數，則級數可沿l逐項積分：第十四頁，共九十二頁，2022年，8月28日15絕對一致收斂這是一種特殊形式的常用函數項級數。3.2冪級數冪級數：通項為冪函數的級數:（一）定義第十五頁，共九十二頁，2022年，8月28日16（二）冪級數的斂散性

1.阿貝爾定理

如果級數

在z0點收斂，那么在以a點為圓心，為半徑的圓內絕對收斂，而

上一致收斂。

如果級數在z1點發散，則在

內處處發散。

由于發散的冪級數沒有多大用處，故重點研究冪級數的斂散性。2.求收斂圓半徑R的公式

絕對收斂是指

收斂，后者為正項級數，因此可用正項級數的比值判別法和根式判別法確第十六頁，共九十二頁，2022年，8月28日17(1)比值判別法引入收斂半徑定收斂半徑

R。絕對收斂發散絕對收斂發散則若:級數的柯西判據,所以絕對收斂.第十七頁，共九十二頁，2022年，8月28日18所以收斂半徑為注意:冪級數在收斂圓上的斂散性需具體分析！（2）當CRz0·R第十八頁，共九十二頁，2022年，8月28日19(2)根式判別法發散所以絕對收斂對應級數絕對收斂則若:第十九頁，共九十二頁，2022年，8月28日20如果:(極限不存在),4.復變冪級數在收斂圓內的性質那么設冪級數的收斂半徑為?￥=-00)(kkkzza是收斂圓內的解析函數。(1)?￥=-=0)()(

kkkz0zazw它的和函數Rz0z<-第二十頁，共九十二頁，2022年，8月28日21(2)在收斂圓內可以逐項積分,

)(zw即?òò￥=<-?-=0.,d)(d)(kckkcRz0zczz0zazzw

且可表為連續函數的回路積分。第二十一頁，共九十二頁，2022年，8月28日22

證明:記

CR1上點為，CR1內任一點為

z，則圓上的冪級數可寫為利用柯西公式用有界函數相乘后，在CR1上一致收斂第二十二頁，共九十二頁，2022年，8月28日23且冪級數在收斂圓內可任意逐項求導證明:冪級數乘以(3)在收斂圓內的導數可將其冪級數逐項求導得到,)(zw.)()(11?￥=--=￠kkkz0zkazw即Rz0z<-第二十三頁，共九十二頁，2022年，8月28日24故收斂半徑例1求冪級數

的收斂半徑解第二十四頁，共九十二頁，2022年，8月28日25解例2求

的收斂半徑.第二十五頁，共九十二頁，2022年，8月28日26例3計算解:和函數第二十六頁，共九十二頁，2022年，8月28日275.冪級數的運算與性質在收斂半徑R=min(r1,r2)內:如果當時,又設在內解析且滿足那末當時,(2)冪級數的代換(復合)運算第二十七頁，共九十二頁，2022年，8月28日28思考思考題答案不一定。冪級數在收斂圓周上的斂散性如何斷定?由于在收斂圓周上確定,可以依復數項級數斂散性討論。思考題答案第二十八頁，共九十二頁，2022年，8月28日29§3.23.(1)（4）(5）4.(1)(3)本講作業第二十九頁，共九十二頁，2022年，8月28日303.3泰勒級數展開上節證明了：冪級數在其收斂圓內解析本節證明其逆定理：解析函數可以展開成冪級數，且這種展開式是唯一的。

——解析函數與冪級數的密切關系其中展開系數

ak稱為泰勒級數

如圖：設

f(z)在區域Ｂ內解析，z0為Ｂ內任一點，Ｒ為z0到Ｂ區邊界的最短距離，則當|z–z0|<R

時，

f(z)可展開為泰勒級數(一)解析函數的泰勒展開定理CR1為半徑為Ｒ的圓。

BCR1z第三十頁，共九十二頁，2022年，8月28日31證明：

1.設f(z)在Ｂ內解析,在圖示的CR1圓上應用柯西公式其中z為圓CR1內某一點,|z–z0|=r，CR1為包含z的圓，|ζ–z0|=R,(0<r<R)，ζ為CR1上的點。

如圖:.內任意點.CR1.r第三十一頁，共九十二頁，2022年，8月28日322.將被積函數變成級數利用

將

展開成以z0為中心的級數

被積函數寫成：3.將上式沿CR1積分級數

在CR1上一致收斂

和

f(ζ)在CR1上有界第三十二頁，共九十二頁，2022年，8月28日33級數

在

B內一致收斂逐項積分于是其中4.展開式是唯一的第三十三頁，共九十二頁，2022年，8月28日34

若

f(z)能展開成另一種形式：(1)那么當z=z0：(2)對z求導：……——展開式唯一第三十四頁，共九十二頁，2022年，8月28日35

來求

ak

。

由展開式的唯一性，可以用任何方便的辦法來求解一個解析函數的泰勒展開式，不必一定要用積分表達式說明：(1)解析函數與泰勒級數之間存在密切關系：

a.冪級數在其收斂圓內解析；

b.解析函數可以展開成冪級數，且這種展開式是唯一的。(2)如果f(z)在B內有一階導數存在，則f(z)可在B內每一點的鄰域內展開成泰勒級數。而對于實變函數來說，f(x)的一階導數存在，它的二階或高階導數可能不存在，因此f(x)就不可能展開成泰勒級數。第三十五頁，共九十二頁，2022年，8月28日36;,00級數稱為麥克勞林級數時當=z

因為解析，可以保證無限階導數的連續性;注意：

所以復變函數展為泰勒級數的實用范圍就要比實變函數廣闊的多。說明:第三十六頁，共九十二頁，2022年，8月28日37(三)將函數展開成泰勒級數常用方法:

直接法和間接法.1.直接法:由泰勒展開定理計算系數.

)(

0展開成冪級數在將函數zzf例1，故有第三十七頁，共九十二頁，2022年，8月28日38,

在復平面內處處解析因為ze。

￥=R所以級數的收斂半徑2.間接展開法

:

借助于一些已知函數的展開式,結合解析函數的性質,冪級數運算性質(逐項求導,積分等)和其它數學技巧(代換等),求函數的泰勒展開式。間接法的優點:

不需要求各階導數與收斂半徑,因而比直接展開更為簡潔,使用范圍也更為廣泛。第三十八頁，共九十二頁，2022年，8月28日39例2.

0

sin

的泰勒展開式在利用間接展開法求=zz第三十九頁，共九十二頁，2022年，8月28日40附:常見函數的泰勒展開式第四十頁，共九十二頁，2022年，8月28日41第四十一頁，共九十二頁，2022年，8月28日42例3解上式兩邊逐項求導,,11)1(12-==+zzz上有一奇點在由于,,1區域內解析即在<z故可在其解析區域內展開成的冪級數z第四十二頁，共九十二頁，2022年，8月28日43例4*分析如圖,-1OR=1xy.

1

的冪級數內可以展開成所以它在zz=,

1

,

1

)1ln(

是它的一個奇點平面內是解析的向左沿負實軸剪開的在從--+z第四十三頁，共九十二頁，2022年，8月28日44即

將展開式兩端沿

l逐項積分,得解,

0

1

的曲線到內從為收斂圓設zzl<第四十四頁，共九十二頁，2022年，8月28日453.4解析延拓解析延拓：將解析函數定義域加以擴大

例;冪級數：在以z=0為圓心的單位圓B內代表一個解析函數，令為級數的收斂域B即解析函數定義域半徑R=1

。

在單位圓B內，取一點z0=i/2

為圓心進行將f1(z)泰勒展開這級數的收斂域b的半徑為（一）解析延拓第四十五頁，共九十二頁，2022年，8月28日46

上例說明，收斂域b

跨出原來的收斂域B

之外，而級數(1)在收斂域B內.b

代表解析函數

f2(z)，于是稱f2(z)為f1(z)

在

b內的解析延拓。

定義：若f1(z)和f2(z)分別在B,b內解析，且在B與b重疊的區域中有f1(z)=f2(z)，則稱f2(z)為f1(z)在b中的解析延拓，f1(z)為f2(z)在B中的解析延拓。

可以證明，無論采用何種方法，函數f(z)

的解析延拓是唯一的。這樣，可以采用某些最方便的方法來進行解析延拓。Bb第四十六頁，共九十二頁，2022年，8月28日47首先在B1

內任取一點

z0，將f1

(z)在

z0

的鄰域展開成泰勒級數設級數的收斂區域為B2。如果B2超出了B1的范圍。由于在B1和B2的重疊區域f1(z)=

f2(z)，所以f2(z)

就是f1(z)

在

B2中的解析延拓。這樣不斷作下去，得到一系列的解析{Bn,fn(z)}

(n=2,3...)。

一個解析元素{Bn,fn(z)}

的全部解析延拓的集合，稱為f1(z)所產生的完全解析函數F(z)，F(z)的定義域是鄰解析元素給出的定義域的總和。(二)泰勒級數展開解析延拓的方法第四十七頁，共九十二頁，2022年，8月28日48§3.3(1)（3）(6）(8)本講作業第四十八頁，共九十二頁，2022年，8月28日493.5洛朗級數展開(一)問題的引入第四十九頁，共九十二頁，2022年，8月28日50例1.都不解析,但在圓環域及內都是解析的.而1,1112<+++++=-zzzzzkLL:10

內在圓環域<<z所以,121LL++++++=-kzzzz即內可以展開成冪級數.第五十頁，共九十二頁，2022年，8月28日51[]LL+-++-+-+-=kzzzz)1()1()1(1112.)1()1()1(1)1(121L+-+-+-++-=--kzzzz

由此推想，若f(z)在R

2<z-

z0<R1

內解析,f(z)可以展開成含有負冪次項的級數,即內，在圓環域110<-<z第五十一頁，共九十二頁，2022年，8月28日52

本節將討論在以z0為中心的圓環域內解析的函數的級數表示法。它是后面將要研究的解析函數在孤立奇點鄰域內的性質以及定義留數數和計算留數的基礎。第五十二頁，共九十二頁，2022年，8月28日53(二)洛朗級數定理C為圓環域內繞的任一正向簡單閉曲線.

,)()(0kkkzzazf-=?￥-￥=內處處解析，在環形域設

)(

102RzzRzf<-<內可展開成洛朗級數在那末Bzf

)(

為洛朗系數..第五十三頁，共九十二頁，2022年，8月28日54證對于第一個積分(CR1):Bzz0.z...第五十四頁，共九十二頁，2022年，8月28日55對于第二個積分:所以

因為.z...第五十五頁，共九十二頁，2022年，8月28日56則第五十六頁，共九十二頁，2022年，8月28日57則

對于C為在圓環域內繞的任何一條正向簡單kkkkkkzzazza-￥=-￥=-+-=??)()(0100.)(0kkkzza-=?￥-￥=閉曲線.可用一個式子表示為:kkaa-與第五十七頁，共九十二頁，2022年，8月28日58說明:函數在圓環域內的洛朗展開式在圓環域內的洛朗(Laurent)級數.1)2)某一圓環域內的解析函數展開為含有正、負冪項的級數是唯一的.定理給出了將圓環域內解析的函數展為洛朗級數的一般方法.kkkzzazf)()(0-=?￥-￥=第五十八頁，共九十二頁，2022年，8月28日59(三)函數的洛朗展開式常用方法:1.直接法2.間接法

1.直接展開法利用定理公式計算系數),2,1,0(d)()(π2110L±±=-=ò+kzfiaCkkzzz然后寫出.)()(0kkkzzazf-=?￥-￥=根據正、負冪項組成的的級數的唯一性,可用代數運算、代換、求導和積分等方法去展開.2.間接展開法第五十九頁，共九十二頁，2022年，8月28日60例2解由定理知:,)(kkkzazf?￥-￥==而zzzd)()(π2110ò+-=Ckkzfiazzzdπ213ò+=Ckei目標求ak

令f1=eζ,則f1=eζ在閉合回路C內和C上均解析，故由解析函數的導數公式

zzzdπ2(k+1)!3ò+=Ck1eif(k+1)+=)!1((k+1)kfka1(0)即有

如何計算ak?.第六十頁，共九十二頁，2022年，8月28日61間接法解：直接展開ezzzzdπ213ò+=Ckkeia022)(dd)!2(1=++ú?ùê?é+=zzkkezk)!2(1+=k?￥-=+=2)!2()(

kkkzzf故第六十一頁，共九十二頁，2022年，8月28日62例3內是處處解析的,試把f(z)

在這些區域內展開成洛朗級數.解:

)2)(1(1)(

在圓環域函數--=zzzf

,

10

)1內在<<z間接展開法第六十二頁，共九十二頁，2022年，8月28日63oxy1=)(

zf所以LL+++++=-nzzzz2111則,1<z由于12<z從而是泰勒級數第六十三頁，共九十二頁，2022年，8月28日6412oxy由且仍有

,

21

)2內在<<z第六十四頁，共九十二頁，2022年，8月28日652oxy由此時,

2

)3內在￥<<z)(

zf于是第六十五頁，共九十二頁，2022年，8月28日66仍有,121

<<zz此時)(

zf故注意:奇點但卻不是函數的奇點

.本例中圓環域的中心是各負冪項的第六十六頁，共九十二頁，2022年，8月28日67說明:1.函數在以為中心的圓環域內的洛朗級數中盡管含有的負冪項,而且又是這些項的奇點,但是可能是函數的奇點,也可能的奇點.不是2.給定了函數與復平面內的一點以后,函數在各個不同的圓環域中有不同的洛朗展開式(包括泰勒展開式作為它的特例).第六十七頁，共九十二頁，2022年，8月28日68解：間接法即通過展開sinz為級數求解：例4.

0

sin

0洛朗級數的去心鄰域內展開成在將函數=zzz第六十八頁，共九十二頁，2022年，8月28日693.6孤立奇點的分類定義：若函數f(z)在點z0處不解析（或沒有定義），但在點z0的某個空心鄰域內解析，則稱點z0為f(z)的孤立奇點。(一)孤立奇點的概念例1z=0是函數的孤立奇點.是函數的孤立奇點.注意:

孤立奇點一定是奇點,但奇點不一定是孤立奇點.第六十九頁，共九十二頁，2022年，8月28日70例2

指出函數在點的奇點特性.解即在的不論怎樣小的去心鄰域內,

的奇點存在,

函數的奇點是1/z=0和sin(1/z)=0對應的點，即總有不是孤立奇點.所以，因為01lim=p￥?kk第七十頁，共九十二頁，2022年，8月28日71

定義

設z0是解析函數f(z)的孤立奇點，f(z)在點z0的某去心鄰域

內的羅朗展式為

(1)若展式中不含有z-z0的負冪項，則稱z0為f(z)的可去奇點；

(2)若展式中只含有z-z0的有限(m)項負冪項，則稱z0是f(z)的極點，稱m為極點z0的階，按照m=1或m＞1，稱z0是f(z)的單極點或m階的極點；

(3)若展式中含有z-z0的無窮多個負冪項，則稱z0為f(z)的本性奇點。(二)孤立奇點的分類第七十一頁，共九十二頁，2022年，8月28日72其和函數為在解析的函數.說明:(1)(2)無論在是否有定義,補充定義則函數在解析.1．可去奇點如果洛朗級數中不含的負冪項,那末孤立奇點稱為的可去奇點.1)定義,)(0的孤立奇點若是zfz.)()()(0010LL+-++-+=kkzzazzaazf,)(00azf=?íì=1=000,,)()(zzazzzFzf第七十二頁，共九十二頁，2022年，8月28日732)可去奇點的判定(1)定義判斷:的洛朗級數無負在如果冪項則為的可去奇點.(2)

極限判斷若極限存在且為有限值,則為的可去奇點.如果補充定義:時,那末在解析.例3中不含負冪項,是的可去奇點.第七十三頁，共九十二頁，2022年，8月28日74例4

說明為的可去奇點.解由定義判斷所以為的可去奇點.無負冪項極限判斷的可去奇點.為第七十四頁，共九十二頁，2022年，8月28日752.極點

其中關于的最高冪為即級極點.那末孤立奇點稱為函數的或寫成1)定義

如果洛朗級數中只有有限多個的負冪項,1012020)()()()(-------+-++-=zzazzazzazfmmLL+-++)(010zzaa)0,1(13-mam第七十五頁，共九十二頁，2022年，8月28日76說明:1.2.特點:(1)(2)的極點,則為函數如果例5有理分式函數是二級極點,是一級極點.L+-+-+=+-+--20201)()()(zzazzaazgmmm內是解析函數在d<-0zz第七十六頁，共九十二頁，2022年，8月28日772)極點的判定方法的負冪項為有的洛朗展開式中含有限項.在點的某去心鄰域內其中在的鄰域內解析,且(1)定義判別(2)定義的等價形式判別(3)極限判斷.第七十七頁，共九十二頁，2022年，8月28日78本性奇點3.如果洛朗級數中含有無窮多個那末孤立奇點稱為的本性奇點.的負冪項,例如，含有無窮多個z的負冪項特點:

在本性奇點的鄰域內不存在且不為同時不存在.為本性奇點，所以0=z第七十八頁，共九十二頁，2022年，8月28日79(三)函數在無窮遠點的性態1.定義如果函數在無窮遠點的去心鄰域內解析,則稱點為的孤立奇點.Rxyo第七十九頁，共九十二頁，2022年，8月28日80作變換并且規定此變換將:映射為擴充z平面擴充

t平面映射為映射為映射為第八十頁，共九十二頁，2022年，8月28日812