第10頁共10頁2023年普通高等學校招生全國統一考試數學〔文史類〕〔北京卷〕本試卷分第一卷〔選擇題〕和第二卷〔非選擇題〕兩局部，第一卷1至2頁，第二卷3至9頁，共150分．考試時間120分鐘．考試結束，將本試卷和答題卡一并交回．第一卷〔選擇題共40分〕考前須知： 1．答第一卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目涂寫在答題卡上． 2．每題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．不能答在試卷上．一、本大題共8小題，每題5分，共40分．在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．假設集合，，那么集合等于〔〕A． B．C． D．2．假設，那么〔〕A． B．C． D．3．“雙曲線的方程為〞是“雙曲線的準線方程為〞的〔〕A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．中，，，，那么角等于〔〕A． B． C． D．5．函數的反函數為〔〕A． B．C． D．6．假設實數滿足那么的最小值是〔〕A．0 B． C．1 D．27．等差數列中，，，假設，那么數列的前5項和等于〔〕A．30 B．45 C．90 D．1868．如圖，動點在正方體的對角線上，過點作垂直于平面的直線，與正方體外表相交于．設，，那么函數的圖象大致是〔〕AABCDMNPA1B1C1D1yxA．OyxB．OyxC．OyxD．O2023年普通高等學校招生全國統一考試數學〔文史類〕〔北京卷〕第二卷〔共110分〕考前須知：1．用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上．2．答卷前將密封線內的工程填寫清楚．二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．9．假設角的終邊經過點，那么的值為．10．不等式的解集是．11．向量與的夾角為，且，那么的值為．12．的展開式中常數項為；各項系數之和為．〔用數字作答〕13．如圖，函數的圖象是折線段，其中的坐標分別為，那么；2BCAyx1O2BCAyx1O3456123414．函數，對于上的任意，有如下條件：①； ②； ③．其中能使恒成立的條件序號是．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15．〔本小題共13分〕函數〔〕的最小正周期為．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求函數在區間上的取值范圍．16．〔本小題共14分〕ACBP如圖，在三棱錐中，，，，．ACBP〔Ⅰ〕求證：；〔Ⅱ〕求二面角的大小．17．〔本小題共13分〕函數，且是奇函數．〔Ⅰ〕求，的值；〔Ⅱ〕求函數的單調區間．18．〔本小題共13分〕甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分到四個不同的崗位效勞，每個崗位至少有一名志愿者．〔Ⅰ〕求甲、乙兩人同時參加崗位效勞的概率；〔Ⅱ〕求甲、乙兩人不在同一個崗位效勞的概率．19．〔本小題共14分〕的頂點在橢圓上，在直線上，且．〔Ⅰ〕當邊通過坐標原點時，求的長及的面積；〔Ⅱ〕當，且斜邊的長最大時，求所在直線的方程．20．〔本小題共13分〕數列滿足，〔〕，是常數．〔Ⅰ〕當時，求及的值；〔Ⅱ〕數列是否可能為等差數列？假設可能，求出它的通項公式；假設不可能，說明理由；〔Ⅲ〕求的取值范圍，使得存在正整數，當時總有．2023年普通高等學校招生全國統一考試數學〔文史類〕〔北京卷〕參考答案一、選擇題〔本大題共8小題，每題5分，共40分〕1．D 2．A 3．A 4．C 5．B 6．A 7．C 8．B二、填空題〔本大題共6小題，每題5分，共30分〕9． 10． 11． 12．10 32 13． 14．②三、解答題〔本大題共6小題，共80分〕15．〔共13分〕解：〔Ⅰ〕．因為函數的最小正周期為，且，所以，解得．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得．因為，所以，所以．因此，即的取值范圍為．16．〔共14分〕解法一：〔Ⅰ〕取中點，連結．ACBACBDP．，．，平面．平面，．〔Ⅱ〕，，．ACBEACBEP．又，即，且，平面．取中點．連結．，．是在平面內的射影，．是二面角的平面角．在中，，，，．二面角的大小為．解法二：〔Ⅰ〕，，．又，．ACBACBPzxyE平面．平面，．〔Ⅱ〕如圖，以為原點建立空間直角坐標系．那么．設．，，．取中點，連結．，，，．是二面角的平面角．，，，．二面角的大小為．17．〔共13分〕解：〔Ⅰ〕因為函數為奇函數，所以，對任意的，，即．又所以．所以解得．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得．所以．當時，由得．變化時，的變化情況如下表：00所以，當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．當時，，所以函數在上單調遞增．18．〔共13分〕解：〔Ⅰ〕記甲、乙兩人同時參加崗位效勞為事件，那么，即甲、乙兩人同時參加崗位效勞的概率是．〔Ⅱ〕設甲、乙兩人同時參加同一崗位效勞為事件，那么，所以，甲、乙兩人不在同一崗位效勞的概率是．19．〔共14分〕解：〔Ⅰ〕因為，且邊通過點，所以所在直線的方程為．設兩點坐標分別為．由得．所以．又因為邊上的高等于原點到直線的距離．所以，．〔Ⅱ〕設所在直線的方程為，由得．因為在橢圓上，所以．設兩點坐標分別為，那么，，所以．又因為的長等于點到直線的距離，即．所以．所以當時，邊最長，〔這時〕此時所在直線的方程為．20．〔共13分〕解：〔Ⅰ〕由于，且．所以當時，得，故．從而．〔Ⅱ〕數列不可能為等差數列，證明如下：由，得，，．假設存在，使為等差數列，那么，即，解得．于是，．這與為等差數列矛盾．所