菱形【學習目標】理解菱形的概念.把握菱形的性質定理及判定定理．【要點梳理】【高清課堂特別的平行四邊形〔菱形〕學問要點】要點一、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.要點詮釋：菱形的定義的兩個要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個平行四邊形，然后增加一對鄰邊相等這個特別條件.要點二、菱形的性質菱形除了具有平行四邊形的一切性質外，還有一些特別性質：1.菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線相互垂直，并且每一條對角線平分一組對角.菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸〔對角線所在的直線中心.〔1〕菱形分成完全全等的兩局部.；另一種是兩條對角線乘積的一半〔即四個小直角三角形面積之和〕.實際上，任何一個對角線相互垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘積的一半.菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關計算問題.要點三、菱形的判定菱形的判定方法有三種：定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.對角線相互垂直的平行四邊形是菱形.四條邊相等的四邊形是菱形.法是在四邊形的根底上加上四條邊相等.【典型例題】11〔2023?石景山區一模ABCDE，FAD，ABAE=AF，EF并延長，交CB的延長線于點G，連接BD．求證：四邊形EGBD是平行四邊形；連接AG，假設∠FGB=30°，GB=AE=1，求AG〔1〕連接AC，再依據菱形的性質得出EG∥BD，依據對邊分別平行證明是平行〕過點A作AH⊥BC，再依據直角三角形的性質和勾股定理解答即可．【答案與解析】〔1〕證明：連接〔1〕證明：連接AC1：∵四邊形ABCD∴AC∠DAB，且AC⊥BD，∵AF=AE，∴AC⊥EF，又∵菱形ABCD，ED∥BG，∴四邊形EGBD∵∠FGB=30°，∴∠DBC=30°，∴∠ABH=2∠DBC=60°，∵GB=AE=1，∴AB=AD=2，Rt△ABH∵∠FGB=30°，∴∠DBC=30°，∴∠ABH=2∠DBC=60°，∵GB=AE=1，∴AB=AD=2，Rt△ABH，∠AHB=90°，∴AH=，BH=1．∴AH=，BH=1．依據勾股定理得，AG=．Rt△AGH依據勾股定理得，AG=．角形的性質解題．舉一反三：【變式1〔2023?溫州模擬〕如圖，在菱形ABCD中，點E是AB上的一點，連接DE交AC于點O，連接BO，且∠AED=50°，則∠CBO= 度．【答案】50；解：在菱形ABCDAB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB，∠BCO=∠DCO，，∴在△BCO△DCO，∴△BCO≌△DCOSA，∴∠CBO=∠CDO=50°．【高清課堂特別的平行四邊形〔菱形〕1】【變式2】菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，假設周長為8，則此菱形的高等于( )．1A.2【答案】C；1提示：由題意，∠A＝3022×2＝1.2、如下圖，在△ABC2、如下圖，在△ABCCDACBDE∥AC，DF∥BCDECF菱形嗎試說明理由．【思路點撥】由菱形的定義去判定圖形，由DE∥AC，DF∥BC知四邊形DECF是平行四邊形，再由∠1＝∠2＝∠3【答案與解析】解：四邊形DECF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥BC∴四邊形DECF∵CDACB，∴∠1＝∠2∵DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴CF＝DF，∴四邊形DECF在用菱形的定義判定一個四邊形是菱形時再由一對鄰邊相等來判定它是菱形．舉一反三：【變式】如下圖，ADABCEF垂直平分AD，分別交AB于EAC于F，則四邊形AEDF【答案】解：四邊形AEDF是菱形，理由如下：∵EFAD，∴△AOFDOF關于直線EF∴∠ODF＝∠OAF，又∵ADBAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴AEDF是平行四邊形，∴EO＝OFYAEDF的對角線A、EF相互垂直平分．3、如下圖，在△ABCBAC＝90°，AD⊥BC3、如下圖，在△ABCBAC＝90°，AD⊥BCD，CEACDADG，交AB于點E，EF⊥BCF．求證：四邊形AEFGAE＝EFAEFGAEFG是平行四邊形或AG＝GF＝AE【答案與解析】證明：方法一：∵CEACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．∴AE＝AG．∴EF∴AE＝AG．∴EFAG．∴四邊形AEFG又∵AE＝AG，∴四邊形AEFG方法二：∵CEACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴AE＝AG．在△AEGFEGAE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴AG＝FG．∴AE＝EF＝FG＝AG．∴四邊形AEFG【總結升華】判定一個四邊形是菱形，關鍵是把條件轉化成判定方法所需要的條件．舉一反三： Y【變式】如下圖，在 ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，過A點作AG∥DBCB的延長線于點G．(1)求證：DE∥BF；(2)假設∠G＝90°，求證四邊形DEBF【答案】Y證明：(1) ABCD中，AB∥CD，AB＝CD∵E、F分別為AB、CD1 1∴DF＝2DC，BE＝2AB∴DF∥BE．DF＝BE∴四邊形DEBF∴DE∥BF(2)證明：∵AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC又∵F為邊CD1∴BF＝2DC＝DF又∵四邊形DEBF∴四邊形DEBF類型三、菱形的應用4、如下圖，是一種長m，寬m的矩形瓷磚，E、F、G、H分別為矩形四邊BC、CD、DA、AB的中點，陰影局部為淡黃色花紋，中間局部為白色，現有一面長m，寬m的墻壁預備貼如下圖規格的瓷磚．試問：這面墻最少要貼這種瓷磚多少塊全部貼滿后，這面墻壁會消滅多少個面積一樣的菱形【答案與解析】解：墻壁長m，寬m