圓的一般方程

高二年級數學2.從方程的角度來看，圓的方程有什么代數特征呢？1.圓的標準方程是什么？圓心坐標為，半徑為（）的圓的標準方程為（1）把圓的標準方程中的括號展開、整理之后，得到的方程形式是什么樣的？展開得，整理得，（2）一般地，圓的標準方程展開、整理之后，得到的方程形式是什么樣的？展開得，整理得，令原方程可以表示成①一般地，二元二次方程①是否都是圓的方程呢？滿足圓的定義，即可以化成圓的標準方程形式因此，當時，方程①表示以為圓心，為半徑的圓.當時，方程①只有實數解所以方程①表示一個點.當時，方程①沒有實數解，所以方程①不表示任何圖形.一般地，二元二次方程

①

（1）當時，稱①式為圓的一般方程.其中，圓心為，半徑為.新知提煉一般地，二元二次方程

①

（2）當時，方程表示一個點;（3）當時，方程不表示任何圖形.新知提煉

例1.判斷下列方程是否是圓的方程；如果是，寫出圓心坐標與半徑；如果不是，說明理由；（1）解：其中，所以此方程不是圓的方程.因為，（2）所以這是圓的方程.解：其中，因為，又因為原方程可以化為所以是圓心為，半徑為5的圓的方程.即（3）解：方程兩邊除以4，得所以這是圓心為，半徑為

的圓的方程.原方程可以化為即，思考：可以通過圓的一般方程直接判斷點與圓的位置關系嗎？一般地，圓的一般方程為

，點，則點在圓內

；

點在圓上；點在圓外

.

新知提煉

例2.判斷點

與圓的位置關系.解：因為，所以點A在圓內；因為，所以點B在圓上；因為，所以點C在圓外.分析：圓的方程有圓的標準方程和一般方程

兩種形式.思路1：求圓的標準方程.思路2：求圓的一般方程.

例3.已知

都是P上的點，求這個圓的方程.

例3.已知

都是P上的點，求這個圓的方程.解：(法1待定系數法）設P的圓心坐標為，半徑為（）.則P的標準方程為由題意得,即解得因此，所求圓的方程為

例3.已知

都是P上的點，求這個圓的方程.

例3.已知

都是P上的點，求這個圓的方程.法2：(數形結合）設線段AB和線段BC的垂直平分線分為l,

m，則圓心P為直線l和直線m的交點.由題知，，所以.

因此，直線l的方程為由中點坐標公式知，AB的中點坐標為.

例3.已知

都是P上的點，求這個圓的方程.法2：(數形結合）設線段AB和線段BC的垂直平分線分為l,

m，則圓心P為直線l和直線m的交點.由題知，，所以.

因此，直線l的方程為由中點坐標公式知，AB的中點坐標為.

例3.已知

都是P上的點，求這個圓的方程.同理可得,直線m的方程為.

例3.已知

都是P上的點，求這個圓的方程.同理可得,直線m的方程為解得因此，圓心P滿足所以，圓心P坐標為，且因此，所求圓的方程為

例3.已知

都是P上的點，求這個圓的方程.法3：(一般方程）設所求圓的方程為因為A,

B,C都是圓上的點，因此解得因此，所求圓的方程為

課堂小結圓的標準方程圓的一般