2023年廣東省中山市普通高校對口單招數學自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.一條線段AB是它在平面a上的射景的倍，則B與平面a所成角為（）A.30°B.45°C.60°D.不能確定

2.直線L過（-1，2）且與直線2x-3y+5=0垂直，則L的方程是（）A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0C.2x-3y+6=0D.2x-3y+8=0

3.設是l,m兩條不同直線，α,β是兩個不同平面，則下列命題中正確的是（）A.若l//α，α∩β=m，則l//m

B.若l//α，m⊥l，則m⊥α

C.若l//α，m//α，則l//m

D.若l⊥α，l///β則a⊥β

4.A.6B.7C.8D.9

5.“x=-1”是“x2-1=0”的（)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.在等比數列中，a1+a2=162，a3+a4=18，那么a4+a5等于（）A.6B.-6C.±2D.±6

7.已知，則sin2α-cos2α的值為（）A.-1/8B.-3/8C.1/8D.3/8

8.若sinα=-3cosα，則tanα=()A.-3B.3C.-1D.1

9.某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測.若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和是（）A.4B.5C.6D.7

10.A.15,5,25B.15,15,15C.10,5,30D.15,10,20

11.某學校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生視力是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數比例抽取部分學生進行調查，則最合理的抽樣方法是（）A.抽簽法B.系統抽樣法C.分層抽樣法D.隨機數法

12.設平面向量a（3，5）,b（-2，1），則a-2b的坐標是（）A.（7，3）B.（-7，-3）C.（-7，3）D.（7，-3）

13.設sinθ+cosθ，則sin2θ=()A.-8/9B.-1/9C.1/9D.7/9

14.若是兩條不重合的直線表示平面，給出下列正確的個數（）（1）（2）（3）（4）A.lB.2C.3D.4

15.已知x與y之間的一組數據：則y與x的線性回歸方程為y=bx+a必過點（）A.(2,2)B.(1,2)C.(1.5,0)D.(1.5,4)

16.不等式-2x2+x+3<0的解集是（）A.{x|x＜-1}B.{x|x＞3/2}C.{x|-1＜x＜3/2}D.{x|x<-1或x＞3/2}

17.由直線l1:3x+4y-7=0與直線l2:6x+8y+1=0間的距離為（）A.8/5B.3/2C.4D.8

18.下列函數中，既是偶函數又在區間（0,+∞)上單調遞減的是（）A.y=1/xB.y=ex

C.y=-x2+1D.y=lgx

19.若x2-ax+b＜0的解集為（1，2)，則a+b=()A.5B.-5C.1D.-1

20.已知等差數列的前n項和是，若，則等于（）A.

B.

C.

D.

二、填空題(10題)21.若x＜2，則_____.

22.若直線的斜率k=1，且過點(0,1)，則直線的方程為

。

23.

24.

25.雙曲線x2/4-y2/3=1的虛軸長為______.

26.

27.若函數_____.

28.

29.若ABC的內角A滿足sin2A=則sinA+cosA=_____.

30.不等式|x-3|<1的解集是

。

三、計算題(5題)31.有四個數，前三個數成等差數列，公差為10，后三個數成等比數列，公比為3，求這四個數.

32.有語文書3本，數學書4本，英語書5本，書都各不相同，要把這些書隨機排在書架上.(1)求三種書各自都必須排在一起的排法有多少種?(2)求英語書不挨著排的概率P。

33.解不等式4<|1-3x|<7

34.近年來，某市為了促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為“廚余垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四類，并分別垛置了相應的垃圾箱，為調查居民生活垃圾的正確分類投放情況，現隨機抽取了該市四類垃圾箱總計100噸生活垃圾，數據統計如下(單位：噸)：(1)試估計“可回收垃圾”投放正確的概率;(2)試估計生活垃圾投放錯誤的概率。

35.某小組有6名男生與4名女生，任選3個人去參觀某展覽，求(1)3個人都是男生的概率;(2)至少有兩個男生的概率.

四、簡答題(10題)36.已知雙曲線C的方程為，離心率，頂點到漸近線的距離為，求雙曲線C的方程

37.如圖，在直三棱柱中，已知（1）證明：AC丄BC；（2）求三棱錐的體積.

38.化簡a2sin(-1350°)+b2tan405°-(a-b)2cot765°-2abcos(-1080°)

39.拋物線的頂點在原點，焦點為橢圓的左焦點，過點M（-1，-1）引拋物線的弦使M為弦的中點，求弦長

40.據調查，某類產品一個月被投訴的次數為0，1，2的概率分別是0.4，0.5，0.1，求該產品一個月內被投訴不超過1次的概率

41.證明上是增函數

42.化簡

43.在拋物線y2=12x上有一弦（兩端點在拋物線上的線段）被點M（1，2）平分.（1）求這條弦所在的直線方程；（2）求這條弦的長度.

44.已知拋物線y2=4x與直線y=2x+b相交與A，B兩點，弦長為，求b的值。

45.已知是等差數列的前n項和，若，.求公差d.

五、證明題(10題)46.△ABC的三邊分別為a,b,c,為且,求證∠C=

47.長、寬、高分別為3,4,5的長方體，沿相鄰面對角線截取一個三棱錐(如圖).求證：剩下幾何體的體積為三棱錐體積的5倍.

48.若x∈(0,1),求證：log3X3<log3X<X3.

49.己知x∈(1，10)，A=lg2x，B=lgx2，證明:A<B.

50.己知正方體ABCD-A1B1C1D1，證明：直線AC1與直線A1D1所成角的余弦值為.

51.己知直線l:x+y+4=0且圓心為(1,-1)的圓C與直線l相切。證明:圓C的標準方程為(x-1)2

+(y+1)2

=8.

52.

53.己知

a

=(-1，2)，b

=(-2，1)，證明：cos〈a，b〉=4/5.

54.己知sin(θ+α)=sin(θ+β)，求證：

55.如圖所示，四棱錐中P-ABCD，底面ABCD為矩形，點E為PB的中點.求證：PD//平面ACE.

六、綜合題(2題)56.己知橢圓與拋物線y2=4x有共同的焦點F2，過橢圓的左焦點F1作傾斜角為的直線，與橢圓相交于M、N兩點.求：(1)直線MN的方程和橢圓的方程;(2)△OMN的面積.

57.己知點A(0,2)，5(-2,-2).(1)求過A,B兩點的直線l的方程;(2)己知點A在橢圓C:上，且(1)中的直線l過橢圓C的左焦點。求橢圓C的標準方程.

參考答案

1.B根據線面角的定義，可得AB與平面a所成角的正切值為1，所以所成角為45°。

2.A由于直線與2x-3y+5=0垂直，因此可以設直線方程為3x+2y+k=0，又直線L過點（-1,2），代入直線方程得3*（-1）+2*2+k=0，因此k=-1，所以直線方程為3x+2y-1=0。

3.D空間中直線與平面的位置關系，平面與平面的位置關系.對于A:l與m可能異面，排除A;對于B;m與α可能平行或相交，排除B;對于C:l與m可能相交或異面，排除C

4.D

5.A命題的條件.若x=-1則x2=1，若x2=1則x=±1，

6.D設公比等于q，則由題意可得，，解得，或。當時，，當時，，所以結果為。

7.B三角函數的恒等變換，二倍角公式.sin2α-cos2α=-cos2α=2sin2α-1=-3/8

8.A同角三角函數的變換.若cosα=0,則sinα=0,顯然不成立，所以cosα≠0，所以sinα/cosα=tanα=-3.

9.C分層抽樣方法.四類食品的比例為4:1:3:2,則抽取的植物油類的數量為20×1/10=2,抽取的果蔬類的數量為20×2/10=4,二者之和為6,

10.D

11.C為了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生視力是否存在顯著差異，這種方式具有代表性，比較合理的抽樣方法是分層抽樣。

12.A由題可知，a-2b=（3,5）-2（-2,1）=（7,3）。

13.A三角函數的計算.因為sinθ+cosθ=1/3，（sinθ+cosθ）2=1/9=1+sin2θ所以sin2θ=-8/9

14.B若兩條不重合的直線表示平面，由直線和平面之間的關系可知（1）、（4）正確。

15.D線性回歸方程的計算.由于

16.D一元二次不等式方程的計算.-2x2+x+3＜0,2x2-x-3＞0即（2x-3)（x+1)＞0，x＞3/2或x＜-1.

17.B點到直線的距離公式.因為直線l2的方程可化為3x+4y+1/2=0所以直線l1與直線l2的距離為=3/2

18.C函數的奇偶性，單調性.根據題意逐-驗證，可知y=-x2+1是偶函數且在（0,+∞)上為減函數.

19.A一元二次不等式與一元二次方程的應用，根與系數的關系的應用問題.即方程x2-ax+b=0的兩根為1，2.由根與系數關系得解得a=3.所以a+b=5.

20.D設t=2n-1，則St=t(t+1+1)=t(t+2)，故Sn=n(n+2)。

21.-1，

22.3x-y+1=0因為直線斜率為k=1且過點（0,1），所以方程是y-2=3x，即3x-y+1=0。

23.2π/3

24.

25.2雙曲線的定義.b2=3,.所以b=.所以2b=2.

26.{x|0<x<3}

27.1，

28.-16

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.原式=

39.

40.設事件A表示“一個月內被投訴的次數為0”，事件B表示“一個月內被投訴的次數為1”∴P（A+B）=P（A）+P（B）=0.4+0.5=0.9

41.證明：任取且x1＜x2∴即∴在是增函數

42.1+2cos2a-cos2=1+2cos2a-（cos2a-sin2a）=1+cos2a+sin2a=2

43.∵（1）這條弦與拋物線兩交點

∴

44.

45.根據等差數列前n項和公式得解得：d=4

46.

47.證明：根據該幾何體的特征，可知所剩的幾何體的體積為長方體的體積減去所截的三棱錐的體積，即

48.

49.證明：考慮對數函數y=lgx的限制知

:當x∈(1，10)時，y∈(0,1)A-B=lg2

x-lgx2

=lgx·lgx-2lgx=lgx(lgx-2)∵lgx∈(0,1)∴lgx-2<0A-B<0∴A<B

50.