2022年華僑、港澳、臺聯(lián)考高考數(shù)學(xué)試卷

1.設(shè)集合A={1,2,3,4,5},B={x\x26A],則力flB=()

A.{1}B.{1,2}C.{1,4}D.0

2.已知Z=含，則Z+Z=()

A.-B.1C.-D.3

22

3.已知向量五=(%+2,1+x),1=(%-2,1-％).若五〃a則()

A.%2=2B.|x|=2C.x2=3D.\x\=3

4.不等式或一：一3<0的解集是()

A.(-l,0)U(0,i)B.(-3,0)11(0,1)

C.(-oo,-l)U(|,+oo)D.(-oo,-3)U(l,+oo)

5.以(1,0)為焦點，y軸為準線的拋物線的方程是()

A.y2=x—|B.y2=x+1C.y2=2x—1D.y2=2x+1

6.底面積為2萬，側(cè)面積為67r的圓錐的體積是（）

A.8兀B.-C.2兀D.-

33

7.設(shè)與和乃是函數(shù)/(%)=/+2Q/+%+1的兩個極值點.若%2-％1=2,則

M=()

A.0B.1C.2D.3

8.已知函數(shù)f(x)=sin(2%+a).若/€)=/(*)=g,則9=()

A.2/CTT+GZ)B.2/c7T+g(/c€Z)

C.2/CTT——(fcGZ)D.2/CTT——(/cGZ)

9.函數(shù)y=2x(x>0)的反函數(shù)是()

A.丫=意。>1)B.y=log2i(x>1)

=D-y=1°g2^(0<x<1)

10.設(shè)等比數(shù)列｛a.｝的首項為1,公比為q,前〃項和為又.令%=Sn+2,若｛%｝也是

等比數(shù)列，貝叼=（）

A.-B.-C.-D.-

2222

11.若雙曲線C盤一，=1缶>0/>0）的一條漸近線與直線、=2%+1垂直，則C

的離心率為（）

A.5B.V5C.-D.-

42

12.在1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)的和能被3整除

的概率是（）

13.曲線y=x?Inx在點(1,0)處的切線的方程為.

14.已知。為坐標原點，點P在圓(x+l)2+y2=9上，則|OP|的最小值為.

15.若tan。=3,則tan2J=.

16.設(shè)函數(shù)/。)=嘰。＞0,且a力1)是增函數(shù)，若嫖可段=高則。=____.

/(2)-八一2)10

17.在正三棱柱48。一41當6中，AB=1,44]=等，則異面直線4名與所成角的

大小為.

18.設(shè)/(%)是定義域為R的奇函數(shù),g(x)是定義域為R的偶函數(shù).若/(x)+g(x)=2X,

則9(2)=.

19.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin力=3sinB,C=gc=?

(1)求a；

(2)求sinA

20.設(shè)｛時｝是首項為1,公差不為0的等差數(shù)列，且%,a2,成等比數(shù)列.

(1)求｛%J的通項公式；

n

(2)令勾=(-l)an,求數(shù)列｛bn｝的前"項和%.

21.甲、乙兩名運動員進行五局三勝制的乒乓球比賽，先贏得3局的運動員獲勝，并結(jié)

束比賽.設(shè)各局比賽的結(jié)果相互獨立，每局比賽甲贏的概率為|,乙匾的概率為最

(1)求甲獲勝的概率；

(2)設(shè)X為結(jié)束比賽所需要的局數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

22.已知橢圓C的左、右焦點分別為Fi(-c,0),F2(C,0),直線y=#x交C于4,B兩

點，\AB\=2V7,四邊形A&BF2的面積為4VI

⑴求c；

(2)求C的方程.

第2頁，共10頁

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：?.?集合4={123,4,5},

???B={x\x2EA}={-1,—y/2,—^3,—2,—V5,1,V2,V3,2,V5],

則4rB={L2},

故選：B.

先求出集合8,再利用交集運算求解即可.

此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.

2.【答案】D

2+i_(2+i)(I)_31.

【解析】解:-I

1+7--22

-31.31.

Z+Z=二-77?+二+小=3.

2222

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合共輾復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運算，即可求解.

本題主要考查共規(guī)復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：1〃方,a=(%4-2,14-%),b=(x-2,1-%).

???(%+2)(1—x)—(1+x)(x-2)=0,

:.-2x2+4=0,x2=2.

故選：A.

由已知可得%+2)(1—%)—(14-%)(%—2)=0,計算即可.

本題考查兩向量共線的坐標運算，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：不等式《一？一3<0,

X

即1—2%—3%2<0,%W0,

B|J3x2+2x-l>0,XH0,

解得X6(—8,-1)1)([,+8).

故選：C.

將分式不等式化簡，求解即可.

本題考查不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：以(1,0)為焦點，y軸為準線的拋物線中p=1,

所以頂點坐標為焦點與準線與X軸的交點的中點的橫坐標為也

即該拋物線的方程為：y?=2(%—=2x-1,

故選：C.

由拋物線的焦點坐標及拋物線的準線方程可得p的值，進而求出頂點的坐標，可得拋物

線的方程.

本題考查拋物線的平移及拋物線的方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為/,

由題意可得『一=?兀，解得「=魚，1=3/，

2

???圓錐的高/i="2—丫2—J(3或尸—(V2)=4.

二圓錐的體積是U=gX2兀x4=拳

故選：B.

設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為/,由已知列式求得，?與/,再由勾股定理求圓錐的高，

然后代入圓錐體積公式求解.

本題考查圓錐體積的求法，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：-函數(shù)/(%)=/+2a/+%+1,

???f(x)=3x2+4ax+1,

32

又%1和％2是函數(shù)/(%)=x+2ax+%+1的兩個極值點，

則不和是方程3產(chǎn)+4QX+1=。的兩根，

故/+%2=-T，X1,X2=3,

又％2—%1=2,

2

則Ql-X2)=(%1+%2)2-4%i&=%

之

即Fin-16-a----4=4,.

93

則=3,

故選：D.

先求出/■'(%)=3x2+4ax+1,又/和&是函數(shù)f(%)=x3+2ax2+x+1的兩個極值點,

則X1和乃是方程3久2+4ax+1=0的兩根，再利用韋達定理可解.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題，屬于中檔題.

8.【答案】D

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【解析】解：T函數(shù)/(x)=sin(2x+w),/(§=/(-己)=g，

二函數(shù)/(尤)的一條對稱軸為x=0,即sing=1或sinx=-1,故3=2/OT+](k€Z).或

(P=2kn-](keZ).

???sin(與+,)=sin(—y-+<p)=1①.不妨k=0時，

(P=1時，①不成立；當中=一]時，①成立，

故9=2/CTT——(/c6Z),

故選：D.

由題意，可得函數(shù)/'(x)的一條對稱軸為x=0,即@=2/CTT+6Z).或a=2k兀一

|-(/ceZ).再檢驗選項，可得結(jié)論.

本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

9.【答案】A

【解析】解：由y=21(x>0)可得：=log2y>

因為x>0,所以3>0,則y>l,

所以原函數(shù)的反函數(shù)為y=毒。>1).

故選：4

根據(jù)x的范圍求出y的范圍，再反解出x,然后根據(jù)反函數(shù)的定義即可求解.

本題考查了求解函數(shù)的反函數(shù)的問題，考查了學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】B

2

【解析】解：由題意可知，%=1,a2=q>a3=q,

???bn=Sn+2,若｛%｝也是等比數(shù)列，

???b1=瓦打，即(3+q)=(1+2)(3+q+q2),即2q?-3q=0,解得q=|或q=0(舍

去).

故選：B.

2

由題意可知，的=1,a2=q,a3=q,再結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

1I.【答案】D

【解析】解：由雙曲線C號一，=l(a>0">0)的方程可得漸近線方程為y=土打

由題意可得2=

a2

所以雙曲線的離心率e=(=Jl+f=Jl+i=^,

故選：D.

由雙曲線的方程可得漸近線的方程，由題意可得漸近線的斜率，進而求出a,6的關(guān)系，

再求離心率的值.

本題考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用及直線相互垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】C

【解析】在1,2,3,4,5,6,1,8,9中任取3個不同的數(shù)，

基本事件總數(shù)n=C楙=84,

1,4,7被3除余1；2,5,8被3除余2；3,6,9剛好被3除，

???若要使選取的三個數(shù)字和能被3整除，

則需要從每一組中選取一個數(shù)字，或者從一組中選取三個數(shù)字，

.?.這3個數(shù)的和能被3整除的不同情況有：

C初超+0廢=30,

??.這3個數(shù)的和能被3整除的概率為P=靜=2

8414

故選：C.

基本事件總數(shù)n=國=84,1,4,7被3除余1；2,5,8被3除余2；3,6,9剛好被

3除，若要使選取的三個數(shù)字和能被3整除，則需要從每一組中選取一個數(shù)字，或者從

一組中選取三個數(shù)字，由此能求出結(jié)果.

本題考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

13.【答案】x-y-1=0

【解析】

【分析】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究在曲線上某點的切線方程，是基礎(chǔ)題.

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=1時的導(dǎo)數(shù)值，即切線的斜率，然后由直線的點

斜式方程得答案.

【解答】

解：由y=xlnx,得y'=Inx+x*=Inx+1,

???yL=i=Ini+1=1,

即曲線y=xlnx在點(1,0)處的切線的斜率為1,

則曲線y=xlnx在點(1,0)處的切線方程為y-0=lx(x-l),整理得：x-y-1=0.

故答案為：x-y-1=0.

14.【答案】2

第6頁，共10頁

3cos0—1,y=3sin0,即P(3cos9—l,3sin0),

???\0P\=J(3cos。-1尸+(3sin?)2=V10-6cos6,

則當cos。=1時，|0P|有最小值為2.

故答案為：2.

由圓的參數(shù)方程可得尸的坐標，再由兩點間的距離公式寫出10P|,結(jié)合三角函數(shù)求最值.

本題考查圓的應(yīng)用，考查圓的參數(shù)方程，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】一：

4

【解析】解：由tan。=3,得tan2。=二嗎==一；

l-tanz01-3Z4

故答案為：—

由已知直接利用二倍角的正切求解.

本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查倍角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】3

【解析】解：?.,函數(shù)/(x)=ax(a>0,且aH1),

.../⑴-)(-1)_a-J=]=￡

一/(2)-/(-2)-a2-a-2~Q+L-10*

:.3a2-10a+3=0,

???a=3或Q=

3

??,函數(shù)/(x)=Q"(Q>0,且a。1)是增函數(shù)，

,a=3,

故答案為：3.

先利用指數(shù)基的運算化簡求出。，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)幕的運算，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】90°

【解析】解：如圖所示，分別取8C、BiG的中點。、

0「由正三棱柱的性質(zhì)可得A。、80、。。「兩兩垂直，

建立空間直角坐標系.

則4，,0,0),B(01,0)，當(0b凈，

1V2

竭=(0T,小

???cos<BC1>=0,

???異面直線ZB】與BCi所成角的大小為90。.

故答案為：90。.

通過建立空間直角坐標系，利用兩條異面直線的方向向量的夾角即可得出異面直線所成

的角.

本題考查異面直線所成角的求法，屬中檔題.

18?【答案】】

O

【解析】解：由f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，可得n-2)=-f(2)；

由g(x)是定義域為R的偶函數(shù)，可得g(—2)=g(2).

若/(x)+g(x)=2，，則f(2)+g(2)=4,①

又/(—2)+g(—2)=-/(2)+g(2)=[.②

①+②可得2g(2)=*,

即有g(shù)(2)=1.

故答案為：

由函數(shù)的奇偶性的定義和指數(shù)的運算性質(zhì)，解方程可得所求值.

本題考查函數(shù)的奇偶性的定義和運用，體現(xiàn)了方程思想和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，屬于基

礎(chǔ)題.

19.【答案】解：⑴:sinA=3sin8,

???由正弦定理可得，a=3b,

?,?由余弦定理可得，c2=a2+b2-2abcosC,BP7=962+h2-3b2,解得b=1,

***CL=3.

(2)va=3,C=pc=\[7,

3x

si.n/4=-as-i-n-C=v=-3-72-1.

cV714

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，以及余弦定理，即可求解.

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，以及正弦定理，即可求解.

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本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：(1)已知｛an｝是首項為1,公差”不為0的等差數(shù)列,

又由，a2,成等比數(shù)列，

則(l+d)2=l+5d,

即cP-3d=0,

又d*0,

即d=3,

則a”=1+3(n—1)=3n-2；

n

(2)由(1)可得：bn=(-l)(3n-2),

則%t+b2k=(-1產(chǎn)-1附-5)+(-1)2/6k-2)=3,

則當〃為偶數(shù)時，Sn=3x沖:，

2

當n為奇數(shù)時，Sn=Sn_i+bn=汽二-(3n-2)=手

三，八為偶數(shù)

即sn=｛i-3n+在癡

一/田為奇數(shù)

【解析】(1)由己知條件可得：(l+d)2=l+5d,求得d=3,然后求通項公式即可；

n2fc

(2)由(1)可得：bn=(-l)(3n-2),貝昉+b2k=(—l)2kT(6k-5)+(-l)(6/c-

2)=3,然后分兩種情況討論：①當〃為偶數(shù)時，②當”為奇數(shù)時，然后求和即可.

本題考查了等差數(shù)列通項公式的求法，重點考查了捆綁求和法，屬基礎(chǔ)題.

21.【答案】解：(1)由己知可得，比賽三局且甲獲勝的概率為匕=(|)3=5,

比賽四局且甲獲勝的概率為P2=或(|)2x(1—|)x|=捺，

比賽五局且甲獲勝的概率為P3=盤(|)2x(1-|)2X|=部

所以甲獲勝的概率為P=P1+P2+P3=/+^+K=^

(2)隨機變量X的取值為3,4,5,

則P(X=3)=(|)3+(界=1,

22

^=4)=CK|)xix