九年級第一學期期中模擬卷

考試范圍：相似三角形與銳角三角比；考試時間：100分鐘；滿分：150分

一、單選題（共24分）

1.（本題4分）如圖，直線。4過點（2,1）,直線OA與x軸的夾角為a,則tana的值為（）

A.苧B.gC.2D.75

【答案】B

【解析】

解：過點C（2,1）作C￡?_Lx軸于。，如圖所示：

則8=2,CD=\,

,.CDi

在RlAOCD中，tana=.

故選：B.

2.（本題4分）在AABC中，點。、E分別在邊胡、C4的延長線上（如圖），下列四個選項中，能判定

的是（）

BDCE?ABAE〃ABBCABAE

A----=-----B----=-----C----=-----

ABAC,ADAC*ADDE~AC~~AD

【答案】A

【解析】

Dr）

解：當大=工廠時，DE〃BC,A選項正確；

ABAC

AD

當黑=籌時，DE〃BC,B、C選項錯誤；

ADAE

當黑=當時，DE//BC,D選項錯誤；

ACAE

故選：A.

3.（本題4分）下列關于向量的說法中，不正確的個數是（）

①3伍-5）-（31-35）=0；

②若同=胴，則1=_3b;

③若加、”是實數，則加（加）=（，〃〃）］;

④如果非零向量8與非零向量不平行，那么存在唯一的實數加，使得5=根心

⑤如果非零向量&=法，則&與B所在的直線平行；

⑥如果［與匕分別是&與日的單位向量，則1//1

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

①3（4-6）-（31-39=3（4-6）-3（萬-6）=0,該選項正確；

②若同=3忖，向量既有大小，也有方向，故不確定，該選項錯誤；

③若機、”是實數，則，"（4）=（幡?招，該選項正確；

④如果非零向量5與非零向量1平行，那么存在唯一的實數加，使得5=冠，該選項正確；

⑤如果非零向量不=成;，可得5方向相同，則日與萬所在的直線平行，該選項正確；

⑥如果&與B不平行，則［與「也不平行，該選項錯誤.

綜上，①③④⑤正確，共4個.

故選：C.

4.（本題4分）下列四個命題中，假命題是（）

A.有一個銳角相等的兩個等腰三角形相似；

B.有一個銳角相等的兩個直角三角形相似；

C.底邊和腰對應成比例的兩個等腰三角形相似；

D.斜邊和直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似.

【答案】A

【解析】

解：A.當這個銳角是一個三角形的底角而是另一個三角形的頂角時，這兩個等腰三角形不相似，故該選項

錯誤，是假命題；

B.有一個銳角相等的兩個直角三角形是相似的，故該選項正確，是真命題；

C.底邊和腰對應成比例的兩個等腰三角形是相似的，故該選項正確，是真命題；

D.斜邊和直角邊對應成比例的兩個直角三角形是相似的，故該選項正確，是真命題；

故選：A.

5.（本題4分）如果C是線段AB的黃金分割點C,并且AC>C3,AB=1,那么8c的長度為（）

【答案】D

【解析】

YC為線段AB=1的黃金分割點，且AC>BC,AC為較長線段，

BC=AB=.

22

故選：D.

6.（本題4分）如右圖，矩形EFGH內接于△ABC,且邊FG落在BC上，如果AD_LBC,BC=3,AD=2,

EF：EH=2：3,那么EH的長為（）

【答案】B

【解析】

解：???四邊形EFGH是矩形,

AEH//BC,

AAAEH^AABC,

VAM±EH,AD±BC,

.AMEH

**AD-BC

設EH=3x,貝lj有EF=2x,AM=AD-EF=2-2x,

.2-2x3x

?■-----=—

23

解得：x=y,

貝I]EH=3x=-.

2

故答案為B.

二、填空題（共48分）

X

7.（本題4分）己矢口3x=4y,那么一=

y

【答案】|4

【解析】

解：由3x=4y,兩邊同時除以3y,

得消，

4

故答案為：—.

8.（本題4分）計算：2sin600-3tan30°=.

【答案】0

【解析】解：2sin60O-3tan30°

Ga6

-2x-----3x——

23

=73-5/3

=0

故答案為：0.

9.（本題4分）已知線段。，h,c,其中c為a,〃的比例中項，。=4,6=9,貝"=.

【答案】6

【解析】

：。是。、b的比例中項，

c2="=9x4=36,

解得：c=6或c=-6（線段為正數，舍去）

故答案為：6.

10.（本題4分）如圖，在“ABC中，點。在邊A8上，ZACZ）=N3,AD=2,AC=y/6,^BA=a>BC=b,

那么前=.（用向量B的式子表示）.

A

D

BC

1--

【答案】^a-b

【解析】

解：VZA=ZA,ZACD^ZB,

???^ACD—△ABC,

:.AC?=A￡>“3，

,?.（扃=2AB

：.AB=3f

，8/）=1,

ABD=-AB,

3

/.BD=-a,

3

Cb=CB+Bb=BD-BC,

CD=—a—b.

3

1--

故答案為：§“一。.

11.（本題4分）如圖，在AABC中，AD平分ZBAC交邊BC于點。，BD=AD,AB=3,AC=2,那么AD

的長是.

C

BD

【答案】亞

5

【解析】解：???在aABC中，AD平分NBAC交邊BC于點D,BD=AD,

AZBAD=ZCAD,ZBAD=ZABD,

AZABC=ZCAD,

XVZACD=ZBCA,

AAACD^ABCA,

.ADAC=CD

,廟一法一就

VBD=AD,AB=3,AC=2,

AD_2_CD

"~3~~BD+CD~~T

.AD_2CD

'~i~~AD^-CD~~2

解得4￡>=亞

5

故答案為：題

5

12.（本題4分）兩個相似三角形的面積之差為3cm:周長比是2：3,那么較小的三角形面積是

12

【答案】y

【解析】

解：?.?兩個三角形的周長比是2：3,

兩個三角形的面積比等于4：9,

設較小的三角形的面積為4S,

則較大的三角形面積為9S,

...9S4s=3,

解得S=|

12

二較小三角形的面積為.

12

故答案為：y

13.(本題4分)計算：3(21-5)+5(2萬-35)=

【答案】16a-18h

【解析】

解：3(2a-b)+5(2a-3b)

=6a-3b+\0a-15b

=16a—18萬

故答案為：16a-18〃.

14.(本題4分)如圖，G為AABC的重心，GN〃AC交3C于N,MN的長為2,那么BC=

G

BMNC

【答案】12

【解析】

解：,?（為AABC的重心，

???AM是△ABC的中線，MG：GA=1：2,

???BM=MC,MG：MA=1：3,

VGN/7AC,

AMN：MC=MG：MA=1：3,

AMN：BC=1：6,

VMN=2,

ABC=12,

故答案為：12.

15.（本題4分）一個鋼球沿著坡比為i=l:3的斜坡向上滾動了5米，此時鋼球距離地面的高度是米.

【答案】叵

2

【解析】

B

A-----------------'C

如圖，在RlAACB中，

ZC=90°,/=—=-,AB=5

AB3

設5C=x,則AC=3x

根據勾股定理得：X2+（3X）2=52

解得：x=?（負值舍去）.

2

故答案為：巫.

2

16.（本題4分）在R/AABC中，NC=90,AC=4,cos8=；,則4?=

【答案】3&

【解析】

如圖，在直角△ABC中，cosB=—=-,設BC長度為x,則AB長度為3x,

AB3

故答案為：30.

17.（本題4分）如圖，已知在梯形A3C￡>中，AD//BC,AB=CD,矩形DEFG的頂點E,F,G分別在邊

AB,BC,CD上，如果￡>E=5,tanC=1,那么4E的長為.

【答案】2

【解析】

解：???四邊形QEFG是矩形，

/.EF//CD,EF=DG,AFGD=ZFGC=90°,DE=FG=5,

二NEFB=NC,

'：AD//BC,AB=CD,

二四邊形ABCD是等腰梯形，

ZB=NC,

ZB=ZEFB,

：.BE=EF=DG,

:.AB-BE=CD-DG,即A￡=CG,

FG5

在必△FGC中，tanC=—=-,FG=5

CG2

JCG=2,

AE=CG=2,

故答案為：2.

18.（本題4分）已知矩形紙片ABC￡＞的邊AB=10,8c=12（如圖），將它折疊后，點￡）落在邊A3的中點

處，那么折痕的長為.

BC

【答案】苧

6

【解析】

解：作出折卷后的圖形，作垂足為點M,連接PD.

?矩形紙片438,將它折疊后，點。落在邊AB的中點處，與點尸重合

:.ZEPD="DP.ZDEF+ZEDP=90°

丁四邊形ABCO是矩形，EMA.BC

:.EMLAD

：./DEF+/FEM=90。

???ZEDP=ZFEM

??ZA=ZEMF=90°

JAADP^AA/EF

.ADDP

''~EM~~EF

丁四邊形ABC。是矩形，AB=10,8c=12,點。落在邊A3的中點P處,

/.EM=AB=]O,AQ=3C=12,AP=-AB=6,

2

在R〃A￡>P中，DP=-jAD2+AP1=V122+52=13>

10EF6

故答案：

o

三、解答題（共78分）

19.(本題10分)已知：a:b:c=2:3:5.

⑴求代數式*…

(2)如果3o—b+c=24,求的值.

【答案】(1)1；(2)〃=6力=9,c=15

【解析】

a:b:c=2:3:5

>>.設a=2k,b=3k,c=5k(kw0),

/、3a—b+c6k—3k+5k8k1

(1)--------------=-----------------=—=1：

2a+3b-c4k+9k-5k8k

(2)???3a—Z?+c=24

A6k-3k+5k=24,

???k=3,

/.a=2x3=6,b=3x3=9,c=5x3=15.

20.（本題10分）如圖，在梯形A3CO中，AD!IBC,已知通=￡,及=反而=2.

（2）求作：AB-AD.AB+AD.（不要求寫作法，要寫明結論）

【答案】（1）a+b>-c+a+b:（2）見解析

【解析】

解：（1）AC=AB+BC=a+b.DC=DA+AC=-c+a+b,

故答案為：a+b,-c+a+b.

⑵如圖，AB-AD=DB<

在BC上取一點7,使得的=AD,連接A7,則通+而=通+源=后,

故而，行即為所求.

BC

(1)求邊3c的長度；

(2)求cosA的值.

7

【答案】⑴12；(2)(

【解析】

(1)作垂足為點E.

AF4

*.*sinB=-=—,AB=10,

AB5

???A￡=8,

???BE=yjAB2-AE2=6,

:.BC=2BE=12；

(2)作所_LAC,

VAB=AC,

AZB=ZC,

cosC=cosB,

.CFBE

??----------,

BCAB

：.CF=BC—=—,

55

14

??.AF=AC-CF=—

■E嚙g

A

力

BE

22.（本題10分）如圖,已知AABC中，DE//RC,AD=2,08=4,AC=8.

A

/\

BC

（1）求線段AE的長；

（2）設麗=￡,BC=b.

①請直接寫出向量w序關于2、B的分解式,AE=_______;

②連接BE,在圖中作出向量而分別在￡、分方向上的分向量.（可以不寫作法，但必須寫出結論）

Q11

【答案】（1）AE=I；（2）①-+②作圖見解析.

【解析】

解：⑴VDEHBC,

.ADAE

??瓦一就‘

??.AE=-.

3

(2)①如下圖

?；DE〃BC

AZADE=ZB,ZAED=ZC

AAADE^AABC

.ADDE_2_\

又麗=￡，BC=b

：.AD=--a,DE=-h

33

?.?四邊形ADEF是平行四邊形

—?—1—

AF=DE=-b

3

—1一1-

???AE=——a+-b,

33

②如下圖，麗和的是而分別在kB方向上的分向量.

A

23.（本題12分）如圖，梯形ABC。中，AD//BC,對角線AC、8。相交于點。，如果AO:AC=2:7,A4OO

的面積為4,那么求：

（1）SACOD；

（2）S平行四邊形A8CO?

【答案】(1)SACOD=1。；(2)S平行四邊形A8CO=49.

【解析】

42r1、??SSOD_AO402

解：(1).--—定，

'&8D℃AC7

.A02

??-----=—，

OC5

**5兇0。=4

?cin

,?"&C0D—=IP

(2)VAD//BC

：.^AOD~COB

?SJOD=(OA)2二4

??“B0JOC"25

的面積為4,

SAB℃=25

AAZ)C與MDB是等底同高的兩個三角形，

-,^tuXDC=

SfMK-^MOD=StsADB-^<MOO

一S^COD~SfiJfOA

SS10

^COD-MA=

；.S平行四邊形ABC0=^&AOD+SABOC+^ACOD+SgOA=49.

24.(本題12分)如圖，△ABC中，點。、E分別在BC和4c上，點G是BE邊上一點，且ZBAD=ZBGD=NC,

聯結AG.

(1)求證：BDBC=BGBE；

⑵求證：NBGA=NBAO

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

(1)證明：VZDBG=ZEBC,/BGD=NC,

：?4BDGs4EBC,

.BDBG

，BDBC=BGBE.

(2)證明：?：4DBA=ZABC,ZBAD=ZC,

"DBAs4ABe,

.BDAB

??瓦―法’

???AB?=BDBC，

?：BD?BC=BGBE,

AB?=BGBE,

.BGAB

?.-=---,

ABBE

:NGBA=ZABE,

：.△GAAsAABE,

???ZBGA=ZBAC.

25.（本題14分）如圖，已知AM//BN,ZA=ZB=90°,A8=4,點。是射線AM上的一個動點（點。與

點4

不重合），點￡是線段A8上的一個動點（點E與點A、8不重合），連接。E,過點E作OE的垂線，交

射線B