17/172021北京工大附中高二（上）期中數(shù)學(xué)命題人：謝輝審核人：肖志軍（考試時(shí)間120分鐘，總分150分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）1．若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則直線(xiàn)AB的傾斜角為A．30° B．45° C．60° D．120°2．已知點(diǎn)和點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值是A．或B．或C．或D．或3．過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線(xiàn)方程為A．B．C．D．4．已知雙曲線(xiàn)的下、上焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)且，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為A．B．C．D．5．點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓的切線(xiàn)，，則點(diǎn)的軌跡方程是A．B．C．D．6．橢圓的中心O與一個(gè)焦點(diǎn)F及短軸的一個(gè)端點(diǎn)B組成等腰直角三角形FBO，則橢圓的離心率是A． B． C． D．7．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，已知，，，，則A．B．C．D．8．若橢圓：（）滿(mǎn)足，則該橢圓的離心率A．B．C．D．9．設(shè)表示的是橢圓；，則是成立的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10.正方體的棱長(zhǎng)為1，則集合中元素的個(gè)數(shù)為A.4B.3C.2D.1二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)__________．12.已知平面α和平面β的法向量分別為，，且α⊥β，則=________.13.直線(xiàn)與圓交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，則線(xiàn)段的長(zhǎng)___________.14.如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)E是棱上一點(diǎn)，且，則異面直線(xiàn)與AE所成角的余弦值為_(kāi)_______.15.北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用．刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和，例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為，則四棱錐的總曲率為_(kāi)_____．16.如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)．當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時(shí)，則______．三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.（本小題滿(mǎn)分15分）已知圓，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn).（Ⅰ）求圓的圓心坐標(biāo)及半徑長(zhǎng)；（Ⅱ）若直線(xiàn)與圓相切，求直線(xiàn)的方程；（Ⅲ）當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在且與圓相切于點(diǎn)時(shí)，求.

18.(本小題滿(mǎn)分13分)已知長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若斜率為l的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)的方程．19．（本小題滿(mǎn)分15分）已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，E、F分別是棱、的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面AEF；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求點(diǎn)F到平面的距離.20．（本小題滿(mǎn)分13分）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)，，記直線(xiàn)，的斜率分別為，.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求的值.

21．（本小題滿(mǎn)分14分）等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿CD翻折成直二面角A-DC-B．（Ⅰ）試判斷直線(xiàn)AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）求平面和平面夾角的余弦值；（Ⅲ）在線(xiàn)段BC上是否存在一點(diǎn)P，使？若存在，請(qǐng)指出P點(diǎn)的位置，若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2021北京工大附中高二（上）期中數(shù)學(xué)參考答案1．B【分析】首先根據(jù)斜率公式求出斜率，再根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，，所以，設(shè)直線(xiàn)AB的傾斜角為，則，因?yàn)?，所以故選：B2．A【分析】利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求解.【詳解】點(diǎn)和點(diǎn)，且，，化簡(jiǎn)得，解得或，實(shí)數(shù)的值是或．故選：A3．B【分析】求出直線(xiàn)l的斜率，再借助垂直關(guān)系的條件即可求解作答.【詳解】直線(xiàn)的斜率為，而所求直線(xiàn)垂直于直線(xiàn)l，則所求直線(xiàn)斜率為，于是有：，即，所以所求直線(xiàn)方程為.故選：B4．C【分析】求出實(shí)半軸的長(zhǎng)、虛半軸的長(zhǎng)后可得雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為：，半焦距為.則，，則，故，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：C.5．B【分析】由圓的切線(xiàn)性質(zhì)，結(jié)合已知有和圓心的距離恒為，設(shè)即可寫(xiě)出的軌跡方程.【詳解】∵，∴點(diǎn)和圓心的距離恒為，又圓心，設(shè)，∴由兩點(diǎn)間的距離公式，得.故選：B6．D【分析】設(shè)橢圓半焦距為c，根據(jù)給定條件可得b=c，再確定a與c的關(guān)系即可得解.【詳解】設(shè)橢圓半焦距為c，因橢圓的中心O與一個(gè)焦點(diǎn)F及短軸的一個(gè)端點(diǎn)B組成等腰直角三角形FBO，則有b=c，而，于是得，所以橢圓的離心率是.故選：D7．A【分析】利用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，，，，，所以．故選：A．8．C【分析】由題意構(gòu)建齊次式即可得到結(jié)果.【詳解】由題意知，又，∴∴，即或（舍），故選:C．9．A【分析】根據(jù)橢圓方程的特征以及充分條件必要條件的概念可得結(jié)果.【詳解】若表示的是橢圓，則且，即成立；反例：當(dāng)時(shí)，表示的是圓，即不成立；即p是成立的充分不必要條件，故選：A.10.D【解析】熟悉向量數(shù)量積的幾何意義的話(huà)，這道題就很簡(jiǎn)單，∵在方向上投影始終是1，，選D11．12【分析】利用橢圓的定義求解.【詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，由橢圓的定義得：，所以的周長(zhǎng)為,故答案為：1212．【分析】根據(jù)法向量垂直即可求出的值.【詳解】∵α⊥β，∴，即，解得.故答案為：.13．.【分析】求出圓的圓心和半徑，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心到直線(xiàn)的距離，然后結(jié)合圓的幾何性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】圓的圓心為，半徑為4，則圓心到直線(xiàn)的距離為，所以線(xiàn)段的長(zhǎng)為，故答案為：.14．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出異面直線(xiàn)所成角的余弦值；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，設(shè)異面直線(xiàn)與所成角為，則故答案為：15．【分析】由題意可知，四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和，可以從整個(gè)多面體的角度考慮，所有頂點(diǎn)相關(guān)的面角就是多面體的所有多邊形表面的內(nèi)角的集合，【詳解】解：由圖可知四棱錐有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，其中4個(gè)三角形，1個(gè)四邊形，所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個(gè)為三角形，1個(gè)為四邊形組成，所以面角和為，故總曲率為．故答案為：．16.【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以

為原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，的中點(diǎn)，，，則，設(shè)，，由與共線(xiàn)，可得，所以，所以，其中，因?yàn)?，，所以，所以，即是?dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，由空間兩點(diǎn)間的距離公式可得，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，由于為定值，所以當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時(shí)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)．17.（本小題滿(mǎn)分14分）已知圓，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn).（1）求圓的圓心坐標(biāo)及半徑長(zhǎng)；（2）若直線(xiàn)與圓相切，求直線(xiàn)的方程；（3）當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在且與圓相切于點(diǎn)時(shí)，求.（1）圓心坐標(biāo)是（3，4），半徑長(zhǎng)是2；（2）或；（3）4.【分析】（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出圓心及半徑；（2）分直線(xiàn)斜率不存在和存在兩種情況討論，當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)的方程是，再利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，求得斜率，即可得解；（3）由（2）得切線(xiàn)的方程，設(shè)圓的圓心是點(diǎn)，求出的長(zhǎng)度，在利用勾股定理即可得解.【詳解】解：把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)式方程，為.（1）圓的圓心坐標(biāo)是（3，4），半徑長(zhǎng)是2.（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在即其方程是時(shí)，滿(mǎn)足題設(shè).當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)的方程是即0.由圓心（3，4）到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑長(zhǎng)2，即，解得，進(jìn)而可得此時(shí)直線(xiàn)的方程是.綜上所述，可得直線(xiàn)的方程是或.（3）由（2）的解答可得直線(xiàn)的方程是.設(shè)圓的圓心是點(diǎn)，則，所以.18.已知離心率的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為．(1)求橢圓C的方程；(2)若斜率為l的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)的方程．【答案】（1）；（5分）（2）或（10分）(1)由題意，……1分∴，∴，……3分∴；……4分∴橢圓的方程為．……5分(2)設(shè)直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)，……6分聯(lián)立方程組化簡(jiǎn)，得……7分由已知得,即,……9分且，……11分∴=……12分==解得，符合題意……14分∴直線(xiàn)的方程為或……15分19．（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【分析】（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面AEF.（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的大小.（3）求出平面的法向量1，，利用向量法能求出點(diǎn)F到平面的距離.【詳解】（1）三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，E、F分別是棱C、BC的中點(diǎn)，0，0，1，，1，，，，，AE，平面AEF，平面AEF.（2），0，1，，設(shè)平面的法向量y，，則，取，得1，，設(shè)平面的法向量b，，則，取，得1，，設(shè)二面角的大小為，則，依圖得二面角為銳角，二面角的大小為.（3）解：平面的法向量1，，點(diǎn)F到平面的距離：.21．（1）平行（2）（3）靠近B的三等分點(diǎn)【解析】試題分析：（1）判定線(xiàn)面關(guān)系，可從線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系尋找，由線(xiàn)段中點(diǎn)，可利用中位線(xiàn)性質(zhì)得線(xiàn)線(xiàn)平行，再利用線(xiàn)面平行判定定理確定，（2）求二面角，一般利用空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的數(shù)量積解決：先以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)DB、DC、DA為x軸、y軸、z軸，建立空間坐標(biāo)系，再分別計(jì)算平面CDF及平面EDF的法向量，其中平面EDF的法向量需列方程組求解，最后利用空間向量數(shù)量積求夾角的余弦值，經(jīng)判斷所求二面角為銳角得結(jié)論（3）確定點(diǎn)的位置，一般利用空間直角坐標(biāo)系求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再明確位置關(guān)系.要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，只需列兩個(gè)獨(dú)立條件，一個(gè)為在直線(xiàn)上，另一個(gè)為垂直：可設(shè),再轉(zhuǎn)化條件為，解得，即可確定P位置.試題解析：（1）如圖，在中，由E、F分別是AC、BC中點(diǎn)，得，又平面DEF，平面DEF，∴平面DEF.（2）由題知，，平面平面BDC，且交線(xiàn)為DC，∴平面BDC，∴，，又已知，∴兩兩垂直，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)DB、DC、DA為x軸、y軸、z軸