第三章大變形問題的有限元分析目的：以大變形問題為例，介紹幾何非線性問題的有限元方法。特點：與線性有限元方法比較，幾何關系不再是線性的。內容：引言大變形問題的應變描述大變形分析中的應力描述及本構關系大變形問題有限元方程的建立大變形分析中的載荷處理小結2/18/20231引言幾何非線性問題：位移與應變成非線性（微分意義上）關系。物理現象：將位移（轉動）和/或應變較大的問題統稱為大變形問題，有時稱為有限變形問題。這類問題又分為大位移（轉動）小應變問題及大位移大應變問題兩大類。

探討意義：和材料非線性問題一樣重要。例如，平板的彎曲問題，大撓度理論分析結果更符合實際狀況；薄殼的屈曲，非線性理論的預料值更好。又例如，對于橡皮型材料，大變形還必需考慮本構關系的變更，這與純粹的材料非線性又有區分。幾何線性問題：位移與應變成線性（微分）關系；探討現狀：大變形問題有限元分析的理論和方法存在不同學派間的爭鳴，尚未得到一個權威性的結論。隨之并發的其它問題，如解的穩定性、收斂性及收斂率等，都有待進一步深化探討。2/18/20232大變形問題的應變描述(1/4)問題的特點：由于變形較大，使得不同時刻物體具有差別不能忽視的不同構型，這是大變形問題分析的基本動身點。初始構型（0時刻）(a)(b)(c)現時構型（t時刻）當前構型（時刻）連續介質力學理論對物體閱歷大變形后的變形有嚴格的定義和推導。這里不準備過多引入困難的概念和符號，而是與小變形理論比照，介紹進行大變形分析時必需的幾個概念和術語。大變形問題的分析方法：增量法。2/18/20233大變形問題的應變描述(2/4)描述的動身點：物體的變形描述建立在確定的參考構型上。大變形分析由于接受增量方法，需常常用到它們的增量形式。Green應變張量：以初始構型為參考構型所定義的應變，數學表示為現時（Updated）Green應變張量：以現時構型為參考構型所定義的應變，數學表示為留意：我們用下標的大小寫表示坐標的大小寫，對應于不同的構型。2/18/20234大變形問題的應變描述(3/4)應變增量：Green應變增量：現時（Updated）Green應變增量：線性部分非線性部分線性部分非線性部分二者之間滿足張量變換關系！2/18/20235大變形問題的應變描述(4/4)應變增量：（續）－對于大變形小應變情形

Green應變增量退化成：現時（Updated）Green應變增量退化成：線性部分非線性部分是高階小量線性部分非線性部分是高階小量對于小變形情形2/18/20236大變形問題的應力描述(1/2)應力是借助于微元體來定義的，但在大變形分析中，必需留意微元體所在的構型。Euler應力：與應變類似，連續介質力學理論具有嚴格的應力定義和多種不同的應力概念。這里也只介紹后面將要用到的幾種。從當前構型中取出微元體，在其上定義的應力稱為Euler應力，用表示。Euler應力代表物體的真實應力。然而，當前構型是待求的未知構型，因而，有必要通過已知構型上的微元體再對應力進行描述。

Kirchhoff應力：通過初時構型上的微元體定義的應力稱為Kirchhoff應力，用表示；通過現時構型的微元體定義的應力稱為現時（Updated）Kirchhoff應力，用表示。

2/18/20237大變形問題的應力描述(2/2)Kirchhoff、現時Kirchhoff及Euler應力（增量）間的關系：依據張量的坐標變換規則，它們之間還有以下關系現時Kirchhoff應力Euler應力現時Kirchhoff應力增量時刻t時刻特點：以現時構型為參考。2/18/20238大變形分析中的本構關系(1/5)本構關系的客觀性要求：須要選取合適的應力－應變共軛對描述材料的本構關系。彈性材料：加載曲線與卸載曲線相同的材料。本構關系有三種形式，

為常數線彈性材料(elasticity)超彈性材料(hyperelasticity)次彈性材料

(hypoelasticity)（大變形分析中）2/18/20239大變形分析中的本構關系(2/5)彈性材料

若Kirchhoff應力與Green應變之間存在一一對應關系，則稱這類材料為彈性材料

不依靠于構型變更彈性本構關系多用于大位移（轉動）小應變的情形。

特殊情形2/18/202310大變形分析中的本構關系(3/5)

超彈性材料假定材料具有單位質量的應變能函數，再依據能量原理來定義本構關系，這類材料稱為超彈性材料。(不限于這種形式）總之，對于一般的大變形問題，在連續介質力學中常用超彈性來表征材料的本構關系。

例如一階近似初始構型時材料的密度－常數增量形式…坐標變換現時Kirchhoff應力或增量形式…Case-1Case-2不能簡化！一階近似現時構型時材料的密度－隨變形變更。相比較2/18/202311大變形分析中的本構關系(4/5)

次彈性材料若應力率與變形率之間成線性變更規律，這類材料稱為次彈性材料。但本構關系描述時要求“率”為與剛體轉動無關的客觀時間導數。同乘以時間增量增量形式…Case-2Case-1可以證明，這兩個率都與轉動無關Jaumann應力率

現時Green應變的線性部分

可以證明，這兩個率都與轉動無關旋轉率2/18/202312大變形分析中的本構關系(5/5)

三種本構關系間的關系對于實際的大變形問題，上述三種本構關系并不等價。可以證明，彈性材料是一種特殊的次彈性材料，超彈性材料是一種特殊的彈性材料。實際材料所遵守的本構關系，只有通過試驗測試才能得以確定。次彈性材料彈性材料超彈性材料2/18/202313大變形問題有限元方程的建立

(1/6)

與塑性力學有限元方法的異同區分：塑性力學的本構關系隨加載變更，而大變形問題的構型隨加載變更。TL？UL?本節探討相像：都接受增量方法，都不顯含時間。導致分析方法、應力應變描述、本構關系、限制方程的變更。構型對應構型相關，本節探討。。。客觀性描述2/18/202314大變形問題有限元方程的建立

(2/6)

TL法有限元方程的建立特點：始終以初始（0時刻）構型做為應力與應變描述的參考構型，因而，接受Kirchhoff應力（增量）和Green應變（增量）。t時刻:TL法：TotalLagrangianDescription（TLD）虛功方程：優點：參考構型不發生變更，本構關系與虛功方程描述形式簡潔。

時刻:兩式相減，得增量型虛功方程：2/18/202315大變形問題有限元方程的建立

(3/6)

TL法有限元方程的建立（續）將有限元位移插值、初始構型下的幾何關系和本構關系引入后，得到剛度矩陣形式較困難，因問題的類型而不同。載荷向量TL法的求解步驟:Step1：利用有限元方程求出間隔內的位移增量；Step2：利用幾何關系，計算Green應變增量；Step3：利用本構關系，計算Kirchhoff應力增量

；Step4：更新當前時刻；更新當前應力；計算當前剛度矩陣和載荷向量。

Step5：轉到Step1，進入下一個時間間隔計算。2/18/202316大變形問題有限元方程的建立

(4/6)

UL法有限元方程的建立特點：總以t時刻（即現時構型）為參考構型，也就是說參考構型是變更的，因而，接受現時Kirchhoff應力（增量）和現時Green應變（增量）。UL法：UpdatedLagrangianDescription（ULD）仿照TL法的推導，可得虛功方程：優點：可以處理加載方式更為困難的問題，亦可處理邊界非線性問題等。TL法的增量型虛功方程：2/18/202317大變形問題有限元方程的建立

(5/6)UL法有限元方程的建立（續）將有限元位移插值、初始構型下的幾何關系和本構關系引入后，得到UL法的求解步驟及與TL法的比較:Step1：利用有限元方程求出間隔內的位移增量；Step2：利用幾何關系，計算現時Green應變增量；Step3：利用本構關系，計算現時Kirchhoff應力增量

；Step4：更新當前時刻；更新當前應力,依據計算，并且使得；更新當前構型；計算當前剛度矩陣與載荷向量。Step5：轉到Step1，進入下一個時間間隔計算。2/18/202318大變形問題有限元方程的建立

(6/6)小結大變形問題有限元方法與彈塑性問題有限元方法都是在增量意義上通過擬線性化，進而加以求解。但彈塑性問題有限元方法在確定彈塑性狀態時還應當進行迭代或按優化問題處理，這點與接觸問題類似。所以，從方法上說，彈塑性問題有限元方法包含了大變形問題有限元和接觸問題有限元兩類問題的全部特點。2/18/202319大變形分析中的載荷處理

(1/4)

載荷目前還沒有考慮重要區分TL法的載荷項：UL法的載荷項：體積力表面力2/18/202320大變形分析中的載荷處理

(2/4)

體積力的處理原則：物體的重力在變形過程中保持不變。

全量增量在TL法中，原來的計算方法是正確的；在UL法中，須要按本節的方法計算，可以看出，其差別不能被忽視。區分之處2/18/202321大變形分析中的載荷處理

(3/4)

表面力的處理表面力的處理較為困難，不但與構型變更有關，還與表面力的施加方式有關。以常見的集中力和均布力為例。1）集中力第一種情形：集中力的方向在整個變形過程中保持不變；其次種情形：集中力的方向與所作用表面的夾角不變。全量增量可按表面分布力的特殊情形加以處理，詳見下面的分析。2/18/202322大變形分析中的載荷處理

(4/4)

表面力的處理（續）大變形分析中一般分布載荷隨變形的變更，是一個困難的問題，很難進行定量探討。這里對勻整表面分布力隨大變形的變更進行分析。2）表面分布力全量增量原則：不同時刻，這類載荷的合力一般保持不變。（其它情形仿此進行）

在t時刻：在

時刻：近似處理后2/18/202323本章總結

(1/2)

由于發生了不行忽視的較大變形，大變形問題的分析更加困難，所涉及內容更加豐富。一般來說，相對于小變形問題，大變形分析具有以下特點：1）應變定義發生了變更。大變形問題的最顯明特征就是描述應變－位移的幾何關系發生了變更。在一些特殊問題中，大變形并沒有產生較大的應變，這類問題可略去幾何關系中的高階部分，但必需接受大變形分析方法。事實上，這種對幾何關系簡化處理，是經過對更一般的幾何非線性關系檢驗后而確立的。2）構型發生了變更。由于具有較大的變形（位移和/或應變），大變形問題在不同時刻其構型差異較大，必需區分對待。3）應力、應變描述發生了變更。由于不同時刻具有不同的構型，并且可以選取不同的參考構型，大變形問題中的應力描述、應變描述以及變分方程都發生了相應的變更。2/18/202324小結

(2/2)

4）求解方法發生了變更。以增量法為基礎，大變形問題的求解方法分為Lagrange方法、Euler方法以及Lagrange-Euler混合方法。5）其它相應的變更。由于具有較大的變形，即使對于彈性材料，本構關系也須要做相應變更，以正確描述大變形情形下材料的本構規律；載荷的作用方式也必需考慮構型的差異，以獲得高精度的大變形問題的分析結果。事實上，當物體發生大變形時，一般都會伴隨材料的非線性彈性或非彈性行為，因而必需同時考慮材料和幾何兩種非線性行為，