河南省南陽市宛西中學2021年高三數學文聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設集合A. B. C. D.參考答案：B2.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，若該三棱錐的四個頂點均在同一球面上，則該求的體積為（）A． B．4π C．2π D．參考答案：D【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】數形結合；數形結合法；立體幾何．【分析】作出棱錐直觀圖，根據棱錐的結構特征和球的性質找出球心位置計算球的半徑．【解答】解：根據三視圖作出棱錐D﹣ABC的直觀圖，其中底面ABC是等腰直角三角形，AC=BC=1，DC⊥底面ABC，DC=，取AB中點E，過E作EH⊥底面ABC，且HE==．連結AH，則H為三棱錐外接球的球心．AH為外接球的半徑．∵AE==，∴AH==1．∴棱錐外接球的體積V==．故選D．【點評】本題考查了棱錐的三視圖，棱錐與外接球的關系，尋找球心是解題關鍵，屬于中檔題．3.若a=，b=，c=．則(

)A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞6參考答案：C【考點】對數值大小的比較．【專題】計算題．【分析】依據對數的性質，指數的性質，分別確定a、b、c數值的大小，借助于中間量“0”，“1”比較即可得到答案．【解答】解：因為a==；b==2﹣1.5．∴a＞b＞0；∵c=log2=log2=﹣1＜0；∴a＞b＞c．故選：C．【點評】本題主要考查數的大小比較．通常數的大小比較常將數與中間量“0”，“1”比較．4.已知，，則A.

B.

C.

D.

參考答案：C略5.如圖，橢圓的焦點為，過的直線交橢圓于兩點，交軸于點.若是線段的三等分點，則的周長為（

）A．20

B．10

C．

D．參考答案：D6.若實數x，y滿足，則使得z=y﹣2x取得最大值的最優解為（）A．（3，0） B．（3，3） C．（4，3） D．（6，3）參考答案：C【考點】簡單線性規劃．【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用數形結合即可得到結論．【解答】解：由z=y﹣2x，得y=2x+z，作出不等式對應的可行域，平移直線y=2x+z，由平移可知當直線y=2x+z經過點A時，直線y=2x+z的截距最小，此時z取得最值，由，解得，即A（4，3），即z=y﹣2x取得最大值的最優解為（4，3）．故選：C【點評】本題主要考查線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法．7.i為虛數單位，復數z滿足z（1+i）=i，則|z|=（）A. B. C.1 D.參考答案：B試題分析：由得，所以，故答案為B．考點：復數的運算．8.執行如圖所示的程序框圖，若輸入x=8，則輸出的y值為（

）A．

B．

C.

D．3參考答案：B9.設函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0），對任意實數t都有f（2+t）=f（2﹣t）成立，則函數值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一個不可能是（）A．f（﹣1） B．f（1） C．f（2） D．f（5）參考答案：C【考點】二次函數的性質．【分析】由題設知，函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是x=2．a＞0時，函數值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一個是f（2）．a＜0時，函數值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一個是f（﹣1）和f（5）．【解答】解：∵對任意實數t都有f（2+t）=f（2﹣t）成立，∴函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是x=2，當a＞0時，函數值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一個是f（2）．當a＜0時，函數值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一個是f（﹣1）和f（5）．故選B．10.若函數是函數的反函數，其圖像經過點，則

（

）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設函數，集合，在直角坐標系中，集合A所表示的區域的面積為___________________.參考答案：4π略12.已知是定義在上的函數，且對任意實數，恒有，且的最大值為1，則滿足的解集為

．參考答案：略13.給出下列命題：①若是奇函數，則的圖像關于軸對稱；②若函數對任意滿足，則8是函數的一個周期；③若，則；④若在上是增函數，則,其中正確命題的序號是_________.參考答案：①②④略14.已知向量=(2，1)，=(1，－1)，若－與m+垂直，則m的值為．參考答案：

【考點】平面向量的坐標運算．【分析】運用向量的數乘及加法運算求出向量若與，然后再由垂直向量的數量積為0列式求解m的值【解答】解：∵向量，∴=（1，2），=（2m+1，m﹣1），∵與垂直∴（）（）=0，即2m+1+2（m﹣1）=0，解得m=，故答案為：【點評】本題考查向量的數量積判斷兩個向量的垂直關系，考查計算能力，是基礎題．15.設F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點．若雙曲線上存在點A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，則雙曲線離心率為

參考答案：略16.已知則的值是

參考答案：略17.（4分）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則這個幾何體的體積為m3．參考答案：4【考點】：由三視圖求面積、體積．【專題】：立體幾何．【分析】：由題意可知，一個簡單的組合體，上面是一個底面是邊長為1的正方形，高是2的四棱柱，下面是一個長為2，高為1，寬為1的長方體，根據所給的長度，求出幾何體的體積．解：由三視圖可知，這是一個簡單的組合體，上面是一個底面是邊長為1的正方形，高是2的四棱柱，體積是1×1×2下面是一個長為2，高為1，寬為1的長方體，體積是1×1×2∴幾何體的體積是1×1×2+2×1×1=4m3，故答案為：4【點評】：本題考查由三視圖還原直觀圖，根據圖形中所給的數據，求出要求的體積，本題是一個考查簡單幾何體體積的簡單題目．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數，．（Ⅰ）求曲線在處的切線方程．（Ⅱ）求的單調區間．（Ⅲ）設，其中，證明：函數僅有一個零點．參考答案：（Ⅰ）∵，，∴．，∴在處切線為，即為．（Ⅱ）令，解出，令，解出．∴的單調增區間為，單調減區間為．（Ⅲ），．令，解出或，令，解出．∴在單調遞增在單調遞減，在單調遞增．極大值，極小值，∵在時，極大值小于零，在時，極小值小于零．在，單調遞增，說明在無零點，在有一個零點，∴有且僅有一個零點．19.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB與△PAD都是邊長為2的等邊三角形，E是BC的中點．（1）求證：AE∥平面PCD；（2）記平面PAB與平面PCD的交線為l，求二面角C﹣l﹣B的余弦值．參考答案：【考點】MT：二面角的平面角及求法；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（1）推導出四邊形ADCE是平行四邊形，從而AE∥CD，由此能證明AE∥平面PCD．（2）連結DE、BD，設AE∩BD于O，連結PO，推導出AE⊥BD，PO⊥BD，PO⊥AO，從而PO⊥平面ABCD，以O為原點，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C﹣l﹣B的余弦值．【解答】證明：（1）∵∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，E是BC的中點，∴AD∥CE，且AD=CE，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴AE∥CD，∵AE?平面PCD，CD?平面PCD，∴AE∥平面PCD．解：（2）連結DE、BD，設AE∩BD于O，連結PO，則四邊形ABED是正方形，∴AE⊥BD，∵PD=PB=2，O是BD中點，∴PO⊥BD，則PO===，又OA=，PA=2，∴PO2+OA2=PA2，∴△POA是直角三角形，∴PO⊥AO，∵BD∩AE=O，∴PO⊥平面ABCD，以O為原點，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，則P（0，0，），A（﹣），B（0，，0），E（），D（0，﹣，0），∴=（﹣），=（0，），=（0，），=（2，0，0），設=（x，y，z）是平面PAB的法向量，則，取x=1，得，設=（a，b，c）是平面PCD的法向量，則，取b=1，得=（0，1，﹣1），cos＜＞==0，∴二面角C﹣l﹣B的余弦值為0．20.（本小題滿分12分）已知函數，且.（1）求的值；（2）若，且，求的值..參考答案：【知識點】兩角和與差的正弦、余弦、正切C5【答案解析】（1）（2）（1）∵，∴m=4.（2）由，得，即，∵，∴.∴【思路點撥】由代入確定m的值，根據同角三角函數間的關系求出的值。21.在直角坐標系xOy中，直線的參數方程為（其中t為參數），在以原點O為極點，以x軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為．（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（2）設是曲線上的一動點，的中點為，求點到直線的最小值．參考答案：（1）由得的普通方程．又由，得，所以，曲線的直角坐標方程為，即． 4分（2）設，，則，由于P是的中點，則，所以，得點的軌跡方程為，軌跡為以為圓心，1為半徑的圓．圓心到直線的距離．所以點到直線的最小值為． 10分22.某廠家為了了解某新產品使用者的年齡情況，現隨機調査100位使用者的年齡整理后畫出的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求100名使用者中各年齡組的人數，并利用所給的頻率分布直方圖估計所有使用者的平均年齡；（2）若已