一、列一元二次方程解決率類問題例1、今年來某縣加大了對教育經費的投入，2013年投入2500萬元，2015年投入3500萬元。假設該縣投入教育經費的年平均增長率為x，根據題意列方程，則下列方程正確的是（）A．2500×2=3500（認真王老師的公眾號：初三數學語文英語）

B．2500（1+x）2=3500

C．2500（1+x%）2=3500

D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500

【解答】

解：設增長率為x，根據題意得2500×（1+x）2=3500，故選B．例2、為落實素質教育要求，促進學生全面發展，某市某中學2009年投資11萬元新增一批電腦，計劃以后每年以相同的增長率進行投資，2011年投資18.59萬元。則該學校為新增電腦投資的年平均增長率是，從2009年到2011年，該中學三年為新增電腦共投資萬元。【解答】

解：設該學校為新增電腦投資的年平均增長率是x

11（1+x）2=18.59

x=30%（認真王老師的公眾號：初三數學語文英語）

則該學校為新增電腦投資的年平均增長率是30%

11×（1+30%）=14.3萬元

11+14.3+18.59=43.89萬元

故答案為：30%；43.89

練習1、股票每天的漲、跌幅均不能超過10%，即當漲了原價的10%后，便不能再漲，叫做漲停；當跌了原價的10%后，便不能再跌，叫做跌停。已知一只股票某天跌停，之后兩天時間又漲回到原價。若這兩天此股票股價的平均增長率為x，則x滿足的方程是（）A．（1+x）2=B．（1+x）2=

C．1+2x=D．1+2x=

【解答】

解：設平均每天漲x，則90%（1+x）2=1，即（1+x）2=，故選B。

（認真王老師的公眾號：初三數學語文英語）2、某縣大力推進義務教育均衡發展，加強學校標準化建設，計劃用三年時間對全縣學校的設施和設備進行全面改造，2014年縣政府已投資5億元人民幣，若每年投資的增長率相同，預計2016年投資7.2億元人民幣，那么每年投資的增長率為（）A．20%B．40%C．﹣220%D．30%

【解答】

解：設每年投資的增長率為x，根據題意，得：5（1+x）2=7.2

解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去），故每年投資的增長率為為20%，故選：A

3、隨著居民經濟收入的不斷提高以及汽車業的快速發展，家用汽車已越來越多地進入普通家庭，抽樣調查顯示，截止2015年底某市汽車擁有量為16.9萬輛。己知2013年底該市汽車擁有量為10萬輛，設2013年底至2015年底該市汽車擁有量的平均增長率為x，根據題意列方程得（）A．10（1+x）2=16.9

B．10（1+2x）=16.9

C．10（1﹣x）2=16.9

D．10（1﹣2x）=16.

【解答】（認真王老師的公眾號：初三數學語文英語）

解：設2013年底至2015年底該市汽車擁有量的平均增長率為x，

根據題意，可列方程：10（1+x）2=16.9，

故選：A二、列一元二次方程解決數字類問題例1、已知一個兩位數的十位數字比個位數字大2，兩位數字的積比這個兩位數小34，求這個兩位數。【解答】（認真王老師的公眾號：初三數學語文英語）

解：設這個兩位數的個位數字為x，則十位數字為x＋2

根據題意，得x(x＋2)＋34＝10(x＋2)＋x

解得x1＝2，x2＝7

當x＝2時，x＋2＝4

當x＝7時，x＋2＝9.（認真王老師的公眾號：初三數學語文英語）

所以這個兩位數為42或97例2、已知三個連續奇數的平方和是371，求這三個奇數。【解答】

解：設這三個奇數分別為x-2，x，x+2

(x-2)2+x2+(x+2)2=371

解得x1＝11，x2＝-11：初三數學語文英語）

答：這三個奇數分別為9，11，13或-13，-11，-9

練習1,已知兩個連續奇數的積是255，求這兩奇數。【解答】（認真王老師的公眾號：初三數學語文英語）

解：設這三個奇數分別為x，x+2

X（x+2）＝255

解得x1＝15，x2＝-17

答：這兩個奇數是15，17或-17，-15三、列一元二次方程解決營銷類問題例1、為滿足市場需求，新生活超市在端午節前夕購進價格為3元/個的某品牌粽子，根據市場預測，該品牌粽子每個售價4元時，每天能出售500個，并且售價每上漲0.1元，其銷售量將減少10個，為了維護消費者利益，物價部門規定，該品牌粽子售價不能超過進價的200%，請你利用所學知識幫助超市給該品牌粽子定價，使超市每天的銷售利潤為800元。【解答】

解：設每個粽子的定價為x元時，每天的利潤為800元．

根據題意，得（x﹣3）（500﹣10×圖片）=800

解得x1=7，x2=5。售價不能超過進價的200%，x≤3×200%．即x≤6，x=5

答：每個粽子的定價為5元時，每天的利潤為800元。例2、某水果經銷商銷售一種水果，如果每千克盈利1元，每月可售出5000千克。經市場調查發現，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價0.1元，月銷售量將減少400千克。現該經銷商要在批發這種高檔水果中保證每月盈利5060元，同時又要價格盡可能的低，那么每千克應漲價多少元？【解答】（認真王老師的公眾號：初三數學語文英語）

解：設每千克應漲價x元，

依題意得方程：（5000﹣400×圖片）（1+x）=5060，

整理，得200×2﹣50x+3=0，解這個方程，得x1=0.1，x2=0.15。又要價格盡可能的低，應取x=0.1。

答：每千克應漲價0.1元。

練習1、某種商品的標價為400元/件，經過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同。

（1）求該種商品每次降價的百分率；

（2）若該種商品進價為300元/件，兩次降價共售出此種商品100件，為使兩次降價銷售的總利潤不少于3210元．問第一次降價后至少要售出該種商品多少件？【解答】

解：（1）設該種商品每次降價的百分率為x%，

依題意得：400×（1﹣x%）2=324，

解得：x=10，或x=190（舍去）．

答：該種商品每次降價的百分率為10%．

（2）設第一次降價后售出該種商品m件，則第二次降價后售出該種商品（100﹣m）件，

第一次降價后的單件利潤為：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；

第二次降價后的單件利潤為：324﹣300=24（元/件）

依題意得：60m+24×（100﹣m）=36m+2400≥3210，

解得：m≥22.5

∴m≥23

答：為使兩次降價銷售的總利潤不少于3210元，第一次降價后至少要售出該商品23件。2、某商場禮品柜臺元旦期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元。為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，調查發現，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應降價多少元？【解答】（認真王老師的公眾號：初三數學語文英語）

解：設每張賀年卡應降價x元，現在的利潤是（0.3﹣x）元，則商城多售出100x÷0.1=1000x張。

（0.3﹣x）（500+1000x）=120，

解得x1=﹣0.3（降價不能為負數，不合題意，舍去），x2=0.1

答：每張賀年卡應降價0.1元。四、列一元二次方程解決面積類問題例1、如圖，某小區有一塊長為18米，寬為6米的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為60平方米，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道。若設人行道的寬度為x米，則可以列出關于x的方程（）A．x2+9x﹣8=0B．x2﹣9x﹣8=0C．x2﹣9x+8=0D．2×2﹣9x+8=0

【解答】

解：設人行道的寬度為x米，根據題意得，

（18﹣3x）（6﹣2x）=60，

化簡整理得，x2﹣9x+8=0

故選C例2、如圖，要設計一個等腰梯形的花壇，花壇上底長120米，下底長180米，上下底相距80米，在兩腰中點連線（虛線）處有一條橫向甬道，上下底之間有兩條縱向甬道，各甬道的寬度相等．設甬道的寬為x米。

（1）用含x的式子表示橫向甬道的面積；

（2）根據設計的要求，甬道的寬不能超過6米．如果修建甬道的總費用（萬元）與甬道的寬度成正比例關系，比例系數是5.7，花壇其余部分的綠化費用為每平方米0.02萬元，那么當甬道的寬度為多少米時，所建花壇的總費用為239萬元？圖片

【解答】（認真王老師的公眾號：初三數學語文英語）

解：（1）中間橫道的面積=圖片（120+180）x=150x，

（2）甬道總面積為150x+160x﹣2×2=310x﹣2×2，

綠化總面積為12000﹣S花壇總費用y=甬道總費用+綠化總費用：

239=5.7x+（12000﹣S）×0.02，

239=5.7x﹣0.02S+240，

239=5.7x﹣0.02（310x﹣2×2）+240，

239=0.04×2﹣0.5x+240，

0.04×2﹣0.5x+1=0

練習1、如圖的六邊形是由甲、乙兩個長方形和丙、丁兩個等腰直角三角形所組成，其中甲、乙的面積和等于丙、丁的面積和。若丙的一股長為2，且丁的面積比丙的面積小，則丁的一股長為何？（）

A．圖片B．圖片C．2﹣圖片D．4﹣2圖片

【解答】

解：設丁的一股長為a，且a＜2，

∵甲面積+乙面積=丙面積+丁面積，

∴2a+2a=圖片×22+圖片×a2，

∴4a=2+a2，

∴a2﹣8a+4=0，

∴a===4±2，

∵4+2＞2，不合題意舍，

4﹣2＜2，合題意，

∴a=4﹣2

故選D（認真王老師的公眾號：初三數學語文英語）2、公園有一塊正方形的空地，后來從這塊空地上劃出部分區域栽種鮮花（如圖），原空地一邊減少了1m，另一邊減少了2m，剩余空地的面積為18m2，求原正方形空地的邊長。設原正方形的空地的邊長為xm，則可列方程為（）A．=18B．x2﹣3x+16=0C．=18D．x2+3x+16=0

【解答】

解：設原正方形的邊長為xm，依題意有

=18，

故選C五、列一元二次方程解決動態類問題例1、如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=16cm，AD=6cm，動點P、Q分別從點A、C同時出發，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達B為止，點Q以2cm/s的速度向D移動．

（1）P、Q兩點從出發開始到幾秒？四邊形PBCQ的面積為33cm2；

（2）P、Q兩點從出發開始到幾秒時？點P和點Q的距離是10cm．【解答】

解：（1）設P、Q兩點從出發開始到x秒時四邊形PBCQ的面積為33cm2，

則PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，

根據梯形的面積公式得（16﹣3x+2x）×6=33，

解之得x=5（認真王老師的公眾號：初三數學語文英語）

（2）設P，Q兩點從出發經過t秒時，點P，Q間的距離是10cm，

作QE⊥AB，垂足為E，

則QE=AD=6，PQ=10，

∵PA=3t，CQ=BE=2t，

∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|，

由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102，

解得t1=4.8，t2=1.6

答：（1）P、Q兩點從出發開始到5秒時四邊形PBCQ的面積為33cm2；

（2）從出發到1.6秒或4.8秒時，點P和點Q的距離是10cm．例2、等腰△ABC的直角邊AB=BC=10cm，點P、Q分別從A、C兩點同時出發，均以1cm/秒的相同速度作直線運動，已知P沿射線AB運動，Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D。設P點運動時間為t，△PCQ的面積為S。

（1）求出S關于t的函數關系式；

（2）當點P運動幾秒時，S△PCQ=S△ABC？

（3）作PE⊥AC于點E，當點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結論。

【解答】

解：（1）當t＜10秒時，P在線段AB上，此時CQ=t，PB=10﹣t

∴

當t＞10秒時，P在線段AB得延長線上，此時CQ=t，PB=t﹣10

∴圖片（4分）

（2）∵S△ABC=圖片（5分）

∴當t＜10秒時，S△PCQ=圖片

整理得t2﹣10t+100=0無解（6分）

當t＞10秒時，S△PCQ=圖片

整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5圖片（舍去負值）（7分）

∴當點P運動圖片秒時，S△PCQ=S△ABC（8分）

（3）當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變．

證明：過Q作QM⊥AC，交直線AC于點M

易證△APE≌△QCM，

∴AE=PE=CM=QM=圖片t，

∴四邊形PEQM是平行四邊形，且D