學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精1．算法與程序框圖（1)算法①算法通常是指按照一定規則解決某一類問題的明確和有限的步驟．②應用：算法通常可以編成計算機程序，讓計算機執行并解決問題．（2)程序框圖定義：程序框圖又稱流程圖，是一種用程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形．2．三種基本邏輯結構名稱內容順序結構條件結構循環結構定義由若干個依次執行的步驟組成，這是任何一個算法都離不開的基本結構算法的流程根據給定的條件是否成立有不同的流向，條件結構就是處理這種過程的結構從某處開始，按照一定的條件反復執行某些步驟的結構，反復執行的步驟稱為循環體程序框圖3。算法語句(1)輸入語句、輸出語句、賦值語句的格式與功能語句一般格式功能輸入語句INPUT_“提示內容”；變量輸入信息輸出語句PRINT_“提示內容";表達式輸出常量、變量的值和系統信息賦值語句變量＝表達式將表達式所代表的值賦給變量（2）條件語句①程序框圖中的條件結構與條件語句相對應．②條件語句的格式a．IF-THEN格式IF條件THEN語句體ENDIFb．IF-THEN-ELSE格式IF條件THEN語句體1ELSE語句體2ENDIF（3）循環語句①程序框圖中的循環結構與循環語句相對應．②循環語句的格式a．UNTIL語句DO循環體LOOPUNTIL條件b．WHILE語句WHILE條件循環體WEND【思考辨析】判斷下列結論是否正確（請在括號中打“√”或“×”)(1）算法只能解決一個問題，不能重復使用．（×）(2）程序框圖中的圖形符號可以由個人來確定．（×）（3）輸入框只能緊接開始框，輸出框只能緊接結束框．(×)（4）條件結構的出口有兩個,但在執行時，只有一個出口是有效的．(√)(5)5＝x是賦值語句．(×)（6)輸入語句可以同時給多個變量賦值．（√)1．已知一個算法：（1)m＝a.(2）如果b<m，則m＝b，輸出m；否則執行第(3）步．(3)如果c〈m,則m＝c,輸出m.否則執行第（4)步．(4）輸出m。如果a＝3，b＝6，c＝2,那么執行這個算法的結果是(）A．3 B．6C．2 D．m答案C解析當a＝3，b＝6,c＝2時，依據算法設計，本算法是求a、b、c三個數的最小值，故輸出m的值為2，故選C.2．(2016·全國甲卷）中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，如圖是實現該算法的程序框圖，執行該程序框圖，若輸入的x＝2，n＝2，依次輸入的a為2,2,5，則輸出的s等于(）A．7B．12C．17D．34答案C解析由框圖可知,輸入x＝2，n＝2，a＝2，s＝2，k＝1，不滿足條件;a＝2，s＝4＋2＝6,k＝2，不滿足條件;a＝5,s＝12＋5＝17，k＝3，滿足條件,輸出s＝17，故選C.3．(2017·廣州調研）下列賦值能使y的值為4的是()A．y－2＝6 B．2*3-2=yC．4=y D．y＝2*3-2答案D解析賦值時把“＝”右邊的值賦給左邊的變量．4．（2017·太原月考）如圖是一算法的程序框圖，若輸出結果為S＝720，則在判斷框中應填入的條件是(）A．k≤6? B．k≤7?C．k≤8? D．k≤9？答案B解析第一次執行循環，得到S＝10，k＝9;第二次執行循環，得到S＝90，k＝8;第三次執行循環，得到S＝720,k＝7，此時滿足條件．5．若執行如圖所示的程序框圖,輸入N＝13,則輸出S的值為________．答案eq\f（12，13)解析由題意可知，S＝（1－eq\f(1,2）)＋（eq\f(1,2)－eq\f（1，3）)＋…＋（eq\f（1,12）－eq\f（1，13))＝eq\f(12,13）。題型一順序結構與條件結構命題點1順序結構例1如圖所示的程序框圖,根據該圖和下列各小題的條件回答下面的幾個小題．(1)該程序框圖解決的是一個什么問題？（2）當輸入的x的值為0和4時，輸出的值相等,問當輸入的x的值為3時，輸出的值為多大？（3)在(2）的條件下要想使輸出的值最大，輸入的x的值應為多大？解（1）該程序框圖解決的是求二次函數f(x）＝－x2＋mx的函數值的問題．(2）當輸入的x的值為0和4時，輸出的值相等，即f（0)＝f(4)．因為f（0）＝0,f(4)＝－16＋4m，所以－16＋4m＝0，所以m＝4,f(x）＝－x2＋4x。則f(3）＝－32＋4×3＝3，所以當輸入的x的值為3時，輸出的f(x）的值為3.（3）因為f(x）＝－x2＋4x＝－（x－2)2＋4，當x＝2時,f（x）最大值＝4，所以要想使輸出的值最大，輸入的x的值應為2.命題點2條件結構例2執行如圖所示的程序框圖，如果輸入的t∈［－1,3]，則輸出的s屬于()A．[－3，4] B．［－5，2］C．［－4,3] D．［－2，5]答案A解析根據程序框圖可以得到分段函數s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（3t，t<1，，4t－t2，t≥1，））進而在函數的定義域［－1，3]內分段求出函數的值域．所以當－1≤t〈1時，s＝3t∈[－3，3);當1≤t≤3時,s＝4t－t2＝－(t－2）2＋4，所以此時3≤s≤4.綜上可知,函數的值域為[－3，4]，即輸出的s屬于［－3,4］．引申探究若將本例中判斷框的條件改為“t≥1",則輸出的s的范圍是什么？解根據程序框圖可以得到，當－1≤t〈1時，s＝4t－t2＝－（t－2）2＋4，此時－5≤s〈3；當1≤t≤3時，s＝3t∈[3，9]．綜上可知，函數的值域為［－5，9]，即輸出的s屬于[－5，9]．思維升華應用順序結構與條件結構的注意點(1)順序結構順序結構是最簡單的算法結構,語句與語句之間、框與框之間是按從上到下的順序進行的．（2)條件結構利用條件結構解決算法問題時，重點是判斷框，判斷框內的條件不同，對應的下一框中的內容和操作要相應地進行變化，故要重點分析判斷框內的條件是否滿足．(高考改編）執行如圖所示的程序框圖,如果輸入的x,y∈R，那么輸出的S的最大值為________．答案2解析當條件x≥0，y≥0，x＋y≤1不成立時輸出S的值為1；當條件x≥0，y≥0，x＋y≤1成立時S＝2x＋y,下面用線性規劃的方法求此時S的最大值．作出不等式組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x≥0，，y≥0，，x＋y≤1)）表示的平面區域如圖中陰影部分（含邊界)，由圖可知當直線S＝2x＋y經過點M（1,0)時S最大，其最大值為2×1＋0＝2，故輸出S的最大值為2。題型二循環結構命題點1由程序框圖求輸出結果例3（2016·全國乙卷)執行右面的程序框圖，如果輸入的x＝0，y＝1，n＝1，則輸出x，y的值滿足（)A．y＝2xB．y＝3xC．y＝4xD．y＝5x答案C解析執行題中的程序框圖，知第一次進入循環體：x＝0＋eq\f（1－1，2）＝0，y＝1×1＝1，x2＋y2〈36；第二次執行循環體：n＝1＋1＝2，x＝0＋eq\f（2－1,2）＝eq\f（1,2)，y＝2×1＝2，x2＋y2〈36；第三次執行循環體：n＝2＋1＝3,x＝eq\f（1，2)＋eq\f(3－1,2)＝eq\f(3,2)，y＝3×2＝6，x2＋y2〉36，滿足x2＋y2≥36，故退出循環，輸出x＝eq\f(3,2），y＝6，滿足y＝4x，故選C。命題點2完善程序框圖例4(2017·保定質檢）如圖給出的是計算eq\f(1,2）＋eq\f（1，4)＋eq\f(1，6)＋…＋eq\f(1,20)的值的一個框圖，其中菱形判斷框內應填入的條件是（）A．i〉10? B．i〈10?C．i〉11? D．i<11？答案A解析經過第一次循環得到s＝eq\f(1,2），i＝2，此時的i不滿足判斷框中的條件;經過第二次循環得到s＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4），i＝3,此時的i不滿足判斷框中的條件；經過第三次循環得到s＝eq\f（1，2)＋eq\f（1，4)＋eq\f(1,6)，i＝4，此時的i不滿足判斷框中的條件；…;經過第十次循環得到s＝eq\f（1,2）＋eq\f（1,4）＋eq\f（1，6)＋…＋eq\f（1，20），i＝11，此時的i滿足判斷框中的條件，執行輸出，故判斷框中的條件是“i>10?”．命題點3辨析程序框圖的功能例5如果執行如圖的程序框圖，輸入正整數N（N≥2)和實數a1，a2，…，aN，輸出A,B，則（）A．A＋B為a1,a2，…，aN的和B。eq\f（A＋B,2)為a1,a2,…，aN的算術平均數C．A和B分別是a1,a2，…，aN中最大的數和最小的數D．A和B分別是a1，a2，…，aN中最小的數和最大的數答案C解析不妨令N＝3，a1<a2<a3，則有k＝1,x＝a1，A＝a1，B＝a1；k＝2，x＝a2，A＝a2;k＝3，x＝a3，A＝a3，故輸出A＝a3,B＝a1，故選C。思維升華與循環結構有關問題的常見類型及解題策略(1)已知程序框圖，求輸出的結果，可按程序框圖的流程依次執行，最后得出結果．（2）完善程序框圖問題，結合初始條件和輸出結果，分析控制循環的變量應滿足的條件或累加、累乘的變量的表達式．(3）對于辨析程序框圖功能問題，可將程序執行幾次，即可根據結果作出判斷．（2016·四川)秦九韶是我國南宋時期的數學家，普州(現四川省安岳縣)人，他在所著的《數書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法．如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例,若輸入n，x的值分別為3,2，則輸出v的值為(）A．9B．18C．20D．35答案B解析初始值n＝3，x＝2，程序運行過程如下：v＝1i＝2v＝1×2＋2＝4i＝1v＝4×2＋1＝9i＝0v＝9×2＋0＝18i＝－1跳出循環，輸出v＝18，故選B.題型三基本算法語句例6閱讀下面兩個算法語句：i＝1WHILEi*i＋1<20，i＝i＋1WENDPRINT“i＝"；iEND圖1i＝1DOi＝i＋1LOOPUNTILi＊i＋1<20PRINT“i＝"；iEND圖2執行圖1中語句的結果是輸出________;執行圖2中語句的結果是輸出________．答案i＝4i＝2解析執行圖1中語句，得到(i，i·(i＋1))的結果依次為(1，2），（2,6),（3,12)，（4,20）,故輸出i＝4.執行圖2中語句的情況如下：i＝1,i＝i＋1＝2，i·（i＋1）＝6<20（是)，結束循環，輸出i＝2。思維升華解決算法語句有三個步驟：首先通讀全部語句，把它翻譯成數學問題;其次領悟該語句的功能；最后根據語句的功能運行程序,解決問題．（2015·江蘇改編)根據如圖所示的語句，可知輸出的結果S＝________.S＝1I＝1WHILEI＜8S＝S＋2I＝I＋3WENDPRINTSEND答案7解析I＝1,S＝1；S＝1＋2＝3，I＝1＋3＝4＜8;S＝3＋2＝5,I＝4＋3＝7＜8；S＝5＋2＝7，I＝7＋3＝10＞8.退出循環，故輸出S＝7.19．程序框圖中變量的取值典例執行如圖所示的程序框圖所表示的程序，則輸出的A等于(）A．2047 B．2049C．1023 D．1025錯解展示解析將每次運算的A值用數列｛an｝表示，將開始的A＝1看作a0，則a1＝2a0＋1＝1，a2＝2a1＋1＝3，…∴a10＝2a9＋1＝210－1＝1023。答案C現場糾錯解析本題計算的是遞推數列a0＝1，an＋1＝2an＋1（n＝0,1，2,…）的第11項，｛an＋1｝是首項為2，公比為2的等比數列，故a10＋1＝211,故a10＝2047.答案A糾錯心得程序框圖對計數變量及求和變量取值時，要注意兩個變量的先后順序.1．(2016·全國丙卷）執行如圖所示的程序框圖，如果輸入的a＝4，b＝6,那么輸出的n等于(）A．3B．4C．5D．6答案B解析第一次循環a＝6－4＝2,b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，s＝6,n＝1；第二次循環a＝4－6＝－2，b＝4－(－2）＝6，a＝6－2＝4，s＝10，n＝2；第三次循環a＝6－4＝2,b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6,s＝16，n＝3;第四次循環a＝4－6＝－2，b＝4－（－2）＝6，a＝6－2＝4，s＝20，n＝4，滿足題意,結束循環．2．(2016·北京)執行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為(）A．8B．9C．27D．36答案B解析①S＝0＋03＝0，k＝0＋1＝1，滿足k≤2；②S＝0＋13＝1,k＝1＋1＝2，滿足k≤2；③S＝1＋23＝9，k＝2＋1＝3,不滿足k≤2，輸出S＝9.3．如圖，若依次輸入的x分別為eq\f(5π，6)、eq\f（π，6），相應輸出的y分別為y1、y2，則y1、y2的大小關系是（）A．y1＝y2 B．y1>y2C．y1<y2 D．無法確定答案C解析由程序框圖可知，當輸入的x為eq\f（5π，6）時，sineq\f(5π,6)〉coseq\f（5π,6)成立，所以輸出的y1＝sineq\f（5π,6)＝eq\f(1,2）；當輸入的x為eq\f(π,6）時，sineq\f（π，6)>coseq\f（π,6)不成立,所以輸出的y2＝coseq\f(π,6）＝eq\f(\r(3)，2）,所以y1<y2。4．閱讀程序框圖，運行相應的程序,則程序運行后輸出的結果為（)A．7B．9C．10D．11答案B解析i＝1,S＝0，第一次循環：S＝0＋lgeq\f(1,3)＝－lg3〉－1;第二次循環:i＝3，S＝lgeq\f（1，3)＋lgeq\f（3，5）＝lgeq\f(1，5)＝－lg5>－1;第三次循環：i＝5，S＝lgeq\f(1，5）＋lgeq\f(5，7）＝lgeq\f（1,7)＝－lg7>－1；第四次循環：i＝7，S＝lgeq\f（1,7)＋lgeq\f(7,9)＝lgeq\f（1,9）＝－lg9〉－1；第五次循環：i＝9，S＝lgeq\f(1,9)＋lgeq\f(9，11）＝lgeq\f(1，11)＝－lg11<－1.故輸出i＝9.5．（2017·成都調研）定義某種運算，ab的運算原理如圖所示．設S＝1x，x∈[－2，2]，則輸出的S的最大值與最小值的差為（)A．2B．－1C．4D．3答案A解析由題意可得，S(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（｜x｜，－2≤x≤1，,1，1<x≤2,））∴S（x）max＝2，S(x)min＝0,∴S（x)max－S(x)min＝2。6．（2015·課標全國Ⅱ）下邊程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術"，執行該程序框圖，若輸入的a,b分別為14，18，則輸出的a等于(）A．0 B．2C．4 D．14答案B解析由題知，若輸入a＝14，b＝18，則第一次執行循環結構時，由a＜b知，a＝14,b＝b－a＝18－14＝4；第二次執行循環結構時，由a＞b知,a＝a－b＝14－4＝10，b＝4；第三次執行循環結構時,由a＞b知,a＝a－b＝10－4＝6，b＝4;第四次執行循環結構時，由a＞b知，a＝a－b＝6－4＝2，b＝4；第五次執行循環結構時，由a＜b知,a＝2，b＝b－a＝4－2＝2；第六次執行循環結構時,由a＝b知，輸出a＝2，結束．故選B.7．公元263年左右，我國數學家劉徽發現當圓內接正多邊形的邊數無限增加時,多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創立了“割圓術”，利用“割圓術"劉徽得到了圓周率精確到小數點后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”．如圖是利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖，則輸出n的值為________．(參考數據：sin15°≈0。2588，sin7.5°≈0.1305)答案24解析n＝6，S＝eq\f（1，2)×6×sin60°＝eq\f（3\r（3),2)≈2.598<3。1，不滿足條件,進入循環；n＝12，S＝eq\f（1,2）×12×sin30°＝3<3。1，不滿足條件,繼續循環；n＝24，S＝eq\f（1,2)×24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056>3.1,滿足條件，退出循環,輸出n的值為24。8．以下給出了一個程序，根據該程序回答:INPUTxIFx〈3THENy＝2*xELSEIFx>3THENy＝x＊x—1ELSEy＝2ENDIFENDIFPRINTyEND（1)若輸入4，則輸出的結果是________；(2）該程序的功能所表達的函數解析式為________．答案（1)15(2）y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2x，x<3，，2,x＝3，,x2－1,x〉3)）解析(1)x＝4不滿足x〈3，∴y＝x2－1＝42－1＝15。輸出15。(2)當x〈3時,y＝2x,當x〉3時，y＝x2－1；否則,即x＝3，y＝2。∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2x,x<3，,2,x＝3，，x2－1,x〉3.))9．對一個作直線運動的質點的運動過程觀測了8次，第i次觀測得到的數據為ai,具體如下表所示：i12345678ai4041434344464748在對上述統計數據的分析中，一部分計算見如圖所示的程序框圖(其中eq\x\to（a）是這8個數據的平均數)，則輸出的S的值是________．答案7解析本題計算的是這8個數的方差，因為eq\x\to(a）＝eq\f(40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋48，8)＝44，所以S＝eq\f（－42＋－32＋－12＋－12＋02＋22＋32＋42,8）＝7.10．如圖（1）(2)所示,它們都表示的是輸出所有立方小于1000的正整數的程序框圖，那么應分別補充的條件為：（1）____________；(2）______________．答案（1）n3〈1000（2）n3≥1000解析第一個圖中,n不能取10，否則會把立方等于1000的正整數也輸出了，所以應該填寫n3〈1000；第二個圖中，當n≥10時，循環應該結束，所以填寫n3≥1000.11．（2017·武漢質檢)設a是一個各位數字都不是0且沒有重復數字的三位數．將組成a的3個數字按從小到大排成的三位數記為I(a），按從大到小排成的三位數記為D(a）（例如a＝815，則I（a)＝158，D(a)＝851)．閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應的程序，任意輸入一個a，輸出的結果b＝________.答案495解析取a1＝815?b1＝851－158＝693≠815?a2＝693；由a2＝693?b2＝963－369＝594≠693?a3＝594;由a3＝594?b3＝954－459＝495≠594?a4＝495；由a4＝495?b4＝954－459＝495＝a4?b＝495.12．(2016·撫州質檢）某框圖所給的程序運行結果為S＝2