極限法（非平凡的即趨0自變量為增量比式的分母的）微積分求導(dǎo)過程中的邏輯問題及新導(dǎo)數(shù)定義下的最簡微積分教程綱要————————詳議微積分理論的返樸歸真沈衛(wèi)國內(nèi)容摘要：對前期微積分系列文章中關(guān)于極限法求導(dǎo)的問題所在，進行了充分的論證、分析、概述。最后提出新導(dǎo)數(shù)定義下的最簡微積分教程綱要關(guān)鍵詞：極限法；導(dǎo)數(shù)；微積分；二次曲線；約分；消分母；邏輯問題；邏輯循環(huán)；貝克萊悖論；函數(shù)值貝克萊悖論；極限值貝克萊悖論；增量比值函數(shù)；平凡極限；非平凡極限；王文素；最簡微積分教程；綱要；積分本文實際是筆者微積分問題解決思路的一個“收尾筆記”匯編，一方面概述前期思路要點，另一方面也有一些新想法。由于在時間上是斷斷續(xù)續(xù)逐次添加的內(nèi)容而不是一氣呵成的，也不想費心再整理刪節(jié)（因不打算謀求正式發(fā)表），因此難免有些重復(fù)之處，請讀者見諒，權(quán)當反復(fù)加強印象好了。此外，讀者時間不夠的話，完全可以不全看，有些細節(jié)完全可以忽略，只取自己有興趣的地方看就可以了。而所謂“微積分理論的返樸歸真”，無非就是：返樸，歸于簡單；歸真，修正錯訛。在本文及筆者前期系列有關(guān)文章的無死角的詳盡論述下，極限法微積分（所謂“第二代微積分”、標準分析）中的邏輯問題可謂是暴露無遺。只要一個人、特別是有關(guān)學(xué)者還是誠實的、有一定能力的，在仔細研讀筆者文章后，都會有茅塞頓開、恍然大悟的感覺。微積分最基礎(chǔ)部分的理論，究竟應(yīng)該是個什么樣子，識者自有判斷。極限法微積分求導(dǎo)（所謂“第二代微積分”、標準分析）的問題，并不是極限本身有什么問題，而是針對增量比值函數(shù)這個本質(zhì)上不但是一個比式，而且是分母為自變量的比式，況且這個分母上的自變量還要趨于0的比式的極限有沒有、是不是也還是無意義的0/0（與其在0點的函數(shù)值一樣）的問題。這是筆者必須要強調(diào)的。也就是說，極限，什么函數(shù)都可以有，唯獨分母為自變量的增量比值函數(shù)的趨0極限不可以有的問題。而不是一般意義的極限不存在的問題。很多人混淆了這個問題，以為只有在所有的極限都不存在時，極限法微積分求導(dǎo)定義所要求的分母為自變量的增量比式的趨0極限才不存在。也就是說，極限法微積分（標準分析、所謂“第二代微積分”）的問題，不是極限本身有什么問題，而是它用錯了極限。把一個分母趨于0的“非平凡極限”，其實就是錯誤的、不能成立的極限（具體說，就是趨0極限值也是無意義的0/0，與其在0點的函數(shù)值完全一致），偷換成了正常的“平凡的”極限，比如二次函數(shù)下的2x。極限法微積分求導(dǎo)的基本思路是：增量比函數(shù)1式（見下文）在0點的函數(shù)值是無意義的0/0，于是我們把0點從定義域中剔除，不考慮該點的函數(shù)值了。但第一，某點沒有函數(shù)值，卻可以有極限值，而且第二，如果不考慮0點，則可以約分消去分母上的自變量。就此“求出1式”在0點的極限值為2x。對上述理由、思路，仔細推敲我們有：第一，盡管某點沒有函數(shù)值，是可以有極限值的，但是，這并不等于這個極限值就一定得是非0/0型的2x（僅以1式為例說明），而不是與其原先的函數(shù)值一致的0/0，邏輯上沒有這個必然結(jié)論。也就是說，“在某點無函數(shù)值，可以有極限值”這一點，只是最終該點的極限值為非0/0型的極限值2x的必要條件，而不是充分條件。如果一口咬定0點的極限值就是2x而不可能再是其它值（特別地不再是其原先的函數(shù)值0/0），是不是先要給出一個完備的證明？數(shù)學(xué)不是經(jīng)常自詡是天下最嚴格的嗎？但這個證明不通過上述第二點的約分消去分母這一步，可能得到嗎？當然不能。最終，一個需要證明為正確的求導(dǎo)步驟，卻只能通過本來待證的該求導(dǎo)步驟來證明，是典型的循環(huán)論證。還不說約分消去分母這一步的真實含義，筆者歷次有關(guān)文章都證明了，通過這一步，求出的不可能是增量比式1式的趨0極限，而是非比式的2式的趨0極限。而導(dǎo)數(shù)的定義，明確是定義在增量比式1式上的，而不是非比式的2式上的，這是事實。我們還可以用反證法來論證這個問題。設(shè)極限法微積分（標準分析，所謂的“第二代微積分”）解決了牛頓、萊布尼茲的所謂“第一代微積分”中公認的貝克萊悖論問題。也就是在自變量△x=0點的極限值（△x→0）不再等于無意義的0/0（在下述公式1的例子中，就是二次函數(shù)在0點的極限值為2x），而其得到這個結(jié)果的必要途徑是在1式中通過約分先消去分母上的自變量△x（此時△x≠0），得到2式后再對2式求△x→0，并認為這個趨0極限值就是我們實際所要求的1式的極限值。那么，同理，我們憑什么就不能先不管1式在△x=0的函數(shù)值（一如極限法微積分所作的先不管1式在△x=0的極限值），等到對1式約分消去其分母上的自變量△x得到2式后，再對2式求在△x=0點的函數(shù)值，然后令這個2式在0點的函數(shù)值就是1式的在0點函數(shù)值？道理和所用的原則是完全一樣的。如此，第一代微積分還有公認的貝克萊悖論嗎？如果沒有了，還需要所謂第二代的極限法微積分嗎？柯朗在其名著?數(shù)學(xué)是什么?一書中明確說，由于1式在0點的極限值是無意義的0/0，而我們不需要它，因此約分消去1式分母上的自變量△x后得到2式的0點極限值2x，就是1式在0點的極限值。既然如此，那么同理，我們不是也可以等價地說，“由于1式在0點的函數(shù)值也是無意義的0/0，我們同樣不需要它，因此先約分消去1式分母上的自變量△x后得到2式的0點的函數(shù)值2x，并令這個非0/0的2x就是1式在0點的函數(shù)值”？可見極限法微積分在其求導(dǎo)過程中犯了邏輯上的適用原則先后不一致的錯誤。當然，這個錯誤是隱蔽性的，很容易被草率地忽略。一言以蔽之，難道一句“我們不需要它”，它（這里指0點的極限值為0/0）就可以不存在了？如此，難道在數(shù)學(xué)中我們可以隨意舍棄、無視任何錯誤或我們不想要的東西而相應(yīng)地隨意安插任何自己想要的結(jié)論？難道我們可以說一句“哥德巴赫猜想的否定結(jié)論我們不需要，不想要”，因此哥德巴赫的肯定結(jié)論就此被得到了、證明了？可數(shù)極限法微積分求導(dǎo)，實際上就是這么干的。詳細討論請再見下文。開宗明義，就此問題筆者先事先聲明下。筆者的表述不甚精煉，有些啰嗦，有些重復(fù)，這我承認。但要說我沒有講透這個問題，是沒有任何根據(jù)的。極限法（非平凡的即趨0自變量為比式的分母的）微積分求導(dǎo)過程中的邏輯問題概述1.1、極限法（非平凡極限）微積分求導(dǎo)中的邏輯問題分析如此重大的問題，筆者前期不少相關(guān)文章中都有揭示。而一經(jīng)揭示，問題是如此簡單而明確。但除了少數(shù)人外，居然絲毫也沒有引起學(xué)界有關(guān)人員的回應(yīng)與討論，實出筆者意外。這里再一次簡單扼要地以最簡單的非線性的二次函數(shù)（拋物線）為例，重述此重要問題，以期引起學(xué)界足夠的重視。當然，以二次函數(shù)為例，絕對不應(yīng)被理解為筆者的方法、思路僅僅適用于這個函數(shù)，而是為了更直觀，以便觸類旁通。有人也許會說，你這個東西只對二次函數(shù)管用，其它復(fù)雜些的函數(shù)呢？我的回答是，請您自己稍微地開動腦筋想一想。當然，三角函數(shù)求導(dǎo)可能是個例外，這個筆者前期文章中都有討論，本文后面也有，請參考。二次曲線（拋物線）y=x2的增量比值函數(shù)方程經(jīng)化簡后為△y/△x=（2x·△x+△x2）/△x=（2x+△x）·△x/△x=k（x，△x）·△x/△x......................................................（1）對1式通過約分消去分母上的自變量△x（其實是△x/△x）得到k（x，△x）=2x+△x........................................................（2）牛頓、萊布尼茲的所謂第一代微積分的導(dǎo)數(shù)定義或求導(dǎo)過程，是對1式求這個增量比式在△x=0點的函數(shù)值，于是不能不有公認的貝克萊悖論（可稱之為“函數(shù)值貝克萊悖論”），也就是1式作為比式在△x=0點的函數(shù)值究竟是1式等號左邊的0/0，還是約分消去分母后得到的2式的2x的問題。而眾所周知，無論怎樣，都會有問題。因為求的是作為“非平凡”比式（以分母為自變量△x為前提）的1式在△x=0點的函數(shù)值，其結(jié)果不是1式等號左邊的無意義的0/0，就是2式因由1式得來，其中的△x不能為0的問題。以上函數(shù)值貝克萊悖論還有一個等價的說法，就是如果作為增量比式的1式的分母△x為0，則不能約分或除法以得到2式，于是無由得到那個有意義的導(dǎo)數(shù)2x。而如果1式中的△x不為0，則既然2式是由1式約分得到的，其中的△x則同樣不能為0，于是也得不到精確的2x，除非舍棄這個非0的（無論多小）△x。而這就有一個精確不精確、該不該舍的問題。如何解決這個被稱為“貝克萊悖論”（由著名的貝克萊首先明確提出）的矛盾？傳統(tǒng)極限法微積分（所謂標準分析、第二代微積分）給出的“經(jīng)典藥方”是：索性不去求增量比式函數(shù)1式在△x=0點的函數(shù)值了，繞開它，改求1式在△x=0點的“極限值”，也就是△x→0。把“△x=0”換成“△x→0”，以為如此一來，就完事大吉了，貝克萊悖論就徹底消除了。其具體步驟是：既然1式不能有△x=0，那就令1式△x≠0，也就是其定義域不包括△x=0點，或另一種說法是△x=0點不包括在1式的定義域中。既然如此，從1式通過約分消去分母上的自變量△x得到2式就是可行的。既然得到了2式，再令求2式的△x→0，也就是其趨0極限值（而不再是△x=0點的函數(shù)值），于是認為貝克萊悖論就徹底消除不再存在了，問題就解決了。但事實果真是如此嗎？函數(shù)值為△x=0點時的函數(shù)值貝克萊悖論沒有了，就可以證明△x→0時就沒有貝克萊悖論了嗎？邏輯上當然不是！沒有這種邏輯。△x≠0，只是對1式約分消去分母上的自變量△x的必要條件，而并非充分條件，起碼沒有證明其就是充分條件。因為僅僅從直觀上，作為分母上為自變量△x的比式的1式，就不應(yīng)該允許其有△x→0的極限存在，這個與不應(yīng)該允許其有△x=0點的函數(shù)值（因為函數(shù)值此時是無意義的0/0）是一樣的道理。如果不約分消去分母△x的話，1式的趨0極限值直觀上就也是無意義的0/0，與其函數(shù)值一樣。如果非要否定此點，那也應(yīng)該在邏輯上首先要證明△x→0時就沒有貝克萊悖論了（也就是沒有極限值0/0），才能求這個△x→0的有意義的、非0/0型的極限值，而不能反過來，先對1式約分消去分母△x后得到2式，再對2式直接求△x→0，然后就說這個針對非比式的2式的趨0極限值就是作為比式的1式的趨0極限值。這個邏輯是本末倒置、以因為果。總之，可以對1式進行約分消去分母上的自變量△x的充分必要條件，是不但要有前提條件△x≠0，還要有前提條件“△x不能→0”。如果非要說△x≠0就夠了，就是充分必要的了，“△x→0”不但不礙事，我們求的還就是它，那么，對此結(jié)論當然要首先給出一個明確的證明，證明對1式求△x→0，不會產(chǎn)生趨0極限意義的貝克萊悖論的0/0極限值，然后才可以據(jù)此進行約分消去分母上的△x。但如此一來，等于是對1式約分的合理性，反倒事先需要約分來證明，這無疑是個循環(huán)論證，因此根本就不能成立。具體說，傳統(tǒng)極限法微積分是認為，既然作為一個非平凡的比式的1式在△x=0點有一個函數(shù)值為0/0的問題（這可是公認的！），那么好，就令1式的定義域不包括△x=0點了（其實也只能如此）。而既然△x≠0了，就可以對1式約分消去其分母上已經(jīng)不再等于0的的自變量△x，得到2式，再對2式求△x→0的極限值（不是函數(shù)值！），于是這個極限值就是非0/0型的2x了。這就是極限法求導(dǎo)的具體邏輯與思路，也是其求導(dǎo)的過程。但這個過程中隱含的嚴重邏輯問題是：只有在△x≠0的定義域內(nèi)，1式與2式的函數(shù)值【自然包括定義域△x≠0內(nèi)的極限值。注意，這個極限值可僅僅是定義域內(nèi)的！而定義域不包括△x=0點！也就是沒有定義域△x≠0內(nèi)可以有非0/0型的平凡意義的函數(shù)值及極限值，其在定義域外的△x=0點就也可以有非0/0型的極限值（非平凡意義的）】才是相等的。除此之外，這個過程、做法沒有說出任何其它的東西。即完全沒有說或意味著已經(jīng)處于1式的定義域外的（！）△x=0點的極限值（1式與2式的）也一樣！注意，此時的△x=0點，是處于1式進而2式的定義域外的。我們事實上只能保證在△x≠0的定義域內(nèi)，1式與2式的函數(shù)值進而極限值是一樣的，而對于已經(jīng)處于定義域△x≠0外的△x=0點，二者的極限值是否還一樣，是沒有被事先證明的（而二者的函數(shù)值已經(jīng)肯定不一樣了，一個是無意義的0/0，一個是有意義的2x）。已經(jīng)處于定義域外的△x=0點，1式與2式的函數(shù)值既然已經(jīng)不一樣了，其極限值憑什么就一定一樣？難道函數(shù)值不一樣，極限值就自然一樣、就得一樣、必須一樣？1式與2式極限值在△x=0點一樣的結(jié)論，是不是事先應(yīng)該給出一個證明？然后才談得上去實際地求這個極限？其次，就算二者在△x=0點的極限值（△x→0）完全一樣，但這個極限值為什么不是作為比式的1式下的0/0，而非得是作為非比式的2式下的2x？是不是也還要給出一個證明？這兩個必要的證明，給的出來嗎？具體說就是，對作為一個比式的1式約分消去分母△x后得到的非比式的2式，二者第一點，在定義域外的△x=0點的極限值（△x→0）都一樣；第二點，不但一樣，還都是2式的在△x=0點的極限值（△x→0時）2x，而不是1式原本應(yīng)該的趨0極限值0/0（雖然無意義），如果不去對1式約分消其分母△x的話，這個證明能給出來嗎？當然給不出。而一個本質(zhì)是欲證明約分消分母△x對求趨0極限的充分必要性的證明，卻只能通過預(yù)先約分消去分母△x來進行，這在邏輯上不是循環(huán)論證又是什么？再一次重申：欲先通過對1式的約分以求得該式的△x→0極限值為2x而非0/0，邏輯上必先證明1式的△x→0極限值不為0/0，而此點不通過約分消去1式的分母△x根本就做不到。于是傳統(tǒng)極限法微積分求導(dǎo)實際做的就是，先消去1式的分母△x，得到實際沒有分母△x的2式，再令其中剩下的、不在分母上的那個△x→0，然后就說此趨0極限值就是約分前的1式的△x→0極限值，邏輯上先后顛倒、本末倒置、以果為因。非0/0型的極限（此例中即“2x”）的存在性還沒有被證明，也就是趨0極限也為無意義的0/0的結(jié)論（與其函數(shù)值一樣）的否定性證明還沒有被給出，就匆匆忙忙地強行消去1式的分母（等于改動1式，變比式的1式為非比式的2式）后實際等于對2式求△x→0的極限，然后就武斷地說此對2式極限就是對1式的極限，試圖以此求得或證明1式的△x→0極限不是0/0，而就是2x，此中隱蔽著的邏輯問題一經(jīng)披露，真是一目了然。很顯然地，極限法微積分求導(dǎo)過程中雖然沒有了前述第一代微積分中的“函數(shù)值貝克萊悖論”，但“極限值貝克萊悖論”又產(chǎn)生了，或稱仍舊存在。因此這個理論中的矛盾并沒有因為把函數(shù)值換成極限值就不存在了。更不會因為聲稱把“第一代”換成“第二代”矛盾就消除了。究竟消除了沒有，得看前面具體而詳盡的分析。總之，在通過前提△x≠0（定義域不包括△x=0點）對作為一個比式的1式約分消去分母△x得到?jīng)]有分母的非比式的2式，只能是在定義域內(nèi)（△x≠0）的二者的函數(shù)值進而極限值一樣。到此為止，不說明任何其它額外的結(jié)論。具體說，就是不包括通過2式求的已經(jīng)處于定義域外的△x=0點的1式與2式的極限值（△x→0）就一樣。如果硬說一樣且為2x，就必須事先給出嚴格的證明。而這個證明是給不出來的，因為它還得通過先對1式約分消去分母△x才可能得到，而這反過來又正是所欲證明的。典型的邏輯上的循環(huán)論證。于是，既然這個必要性的證明是給不出來的，就只能反證出來結(jié)論不能成立，即作為比式的1式（導(dǎo)數(shù)的定義所依賴的）在△x=0點的極限值（△x→0）就是其本來應(yīng)該具有、與其公認的函數(shù)值一樣的、本無意義的0/0，而不是非比式的2式的在△x=0點的極限值（△x→0）2x。顯然，極限法微積分求導(dǎo)產(chǎn)生的隱蔽問題，是忽略了以下兩種極限的結(jié)果。也就是筆者前期相關(guān)文章中定義的平凡極限與“非平凡極限”的區(qū)別。設(shè)1式的定義域不包括△x為所有的負數(shù)。此時作為函數(shù)值中的自變量△x不能為負，但極限值卻可以。一般地，極限值不受函數(shù)值的影響。如此，1式與2式的△x為負數(shù)的極限值是一樣的。原因是把比如“△x=-1”或“△x→-1”代入1式，消去“（-1）/（-1）”（當然等于“1”）與先對1式約分消去“△x/△x”（實際當然也還是等于“1”）得到2式再把“△x=-1”或“△x→-1”代入2式的結(jié)果是一樣的。這實際上就是一個證明。但在△x=0時不同。把無論“△x=0”還是“△x→0”代入1式，實際都會得到無意義的0/0（對函數(shù)值，這是顯然的、公認的；對趨0極限值，它是非平凡的，前文分析，它實際也只能是0/0）。而0/0本身無意義，無論是作為函數(shù)值還是函數(shù)的極限值，從它不可能得到“1”，也就是沒有“0/0=1”這么一說。而無論“△x=0”還是“△x→0”代入2式，都會得到有意義的2x。而如果非說2式與1式有什么關(guān)系，那也是由1式（作為比式的）通過約分消去分母△x而得到非比式的2式的，它實際上是假設(shè)了1式中的“△x/△x=1”才能使得1式與2式相等的，這是1式與2式相等的前提或約束條件。因此1式與2式二者之間其實有本質(zhì)的不同。而極限法微積分求導(dǎo)，按導(dǎo)數(shù)的定義，求的可是實實在在的作為比式的1式的趨0極限，而不是作為非比式的2式的趨0極限，除非二者的趨0極限被證明是一樣的，但此點的證明是給不出來的，這個本文前面及筆者前期有關(guān)文章中到已經(jīng)給出了證明與揭示。顯然，首先必須證明1式在△x→0下的極限值不是0/0，才可以得到其極限值為非0/0型的2x，否則就只能是預(yù)先假設(shè)（當然未經(jīng)證實）“在△x→0下的極限值不是0/0”，再在這個未經(jīng)證實的假設(shè)下，不是直接由本來理所應(yīng)當?shù)?式求極限，而是對1式先“動手腳”，即先約分消去比式的分母，得到2式，再針對2式求得其在△x→0下的極限值2x，進而就強令此2式下的非0/0型的極限就是1式的極限，而前面那個“假設(shè)”還根本沒有被證明。因為顯然，如果1式的△x→0為0/0，則在此無意義的極限值（不僅僅是函數(shù)值！）下，是同樣不能約分消去1式分母上的△x的。而如果欲證明1式的極限不是0/0，其就不能有△x→0，這就是一個邏輯上的循環(huán)論證的問題。上面的這個“操作過程”，實際就正是極限法微積分求導(dǎo)過程的真實寫照。就比如快遞的收貨后付款。本來是確認收貨后再付款的，但現(xiàn)在還不知道人家收到貨沒有，就要求客戶立即付款，說是既然付了款了，就說明收到貨了。極限法微積分求導(dǎo)的做法，與這個其實沒有什么不同。只不過說的是一堆行話而已。另一個比喻：說是某一地有陷阱，去不得（對應(yīng)于函數(shù)值0/0）,于是不去了（對應(yīng)于△x≠0），但還是要去插一個牌子“此處有陷阱，來不得，是所有人的活動的“極限””（對應(yīng)于△x→0），但這個“極限牌子”，不是還得人到該地去插上嗎？也就是極限其實也是0/0。怎么能說人去不了，但該處卻可以有一個“人不能到此的極限牌子”呢？筆者曾經(jīng)還舉過一個例子來比喻極限問題：任何人都要死（對應(yīng)于函數(shù)值為0/0），如果以死那一刻（0點）為極限，而人死前（所有非0點）總活著，活著趨于死那一時刻。那么，能不能到那一刻（指到達0點）？有人說極限與極限值總差無窮小或可以無窮小下去，按這個意思，死不了了。但現(xiàn)實不是誰都要死？所以此議不通。按照第二代微積分，死那一刻一取極限，因為死前總活著，因此以活著為死那一刻的極限值，就取這個極限值為現(xiàn)實值，于是也不死了。而按牛頓、萊布尼茲的第一代微積分，在死那一刻是又死又活的，說不清楚，是公認的貝克萊悖論。顯然，這些都是錯的。極限法求導(dǎo)肯定有問題。也許更為貼切的一個比喻是：說一個人在0時刻（0點）在0地點（不一定非是“0”）用刀子刺死個人（對應(yīng)于微積分增量比函數(shù)在該點的函數(shù)值為無意義的0/0）。而為了為他開脫，我們就不考慮0點這個時刻及地點（對應(yīng)于定義域△x≠0），而在此時刻（地點）之前，該人確實還沒有殺人（對應(yīng)于增量比函數(shù)值不是0/0或“未到”0/0）,而既然此時他反正還沒有殺人（用刀刺死人），于是他拿沒拿刀無關(guān)緊要，于是就認為他沒有拿刀好了（對應(yīng)于對前面的分母為自變量△x的增量比函數(shù)的1式在△x≠0的條件下約分或作除法消去分母上的自變量△x變?yōu)榉潜仁降?式），然后說既然他沒有拿刀（對應(yīng)于被約分消去了那個分母上的自變量△x），在時間趨近于那個殺了人的0時刻（地點趨近與0位置）之前任意小的距離（無論時間上還是空間上的），他都沒有殺人，于是我們就以他在0點沒有殺人為其極限值（當然是不可達極限），或說他在0點的極限值是他“沒有殺人”，理由是他此時沒有“殺人刀”（對應(yīng)于沒有了分母上的那個趨0或等于0的自變量。被約分“消掉了”），無法殺人了（對應(yīng)于二次函數(shù)在0點的趨0極限值為非0/0的2x，而不是無意義的0/0）。于是我們既然目的就是為殺人犯開脫，那么干脆一不做二不休，就把這個他因為在0時刻、0地點之前的“沒有拿殺人刀”（對應(yīng)于約分消去了1式分母上的自變量△x成為了非比式的、沒有分母的2式），既然沒有拿殺人刀（對應(yīng)于沒有了分母上的那個自變量△x），那在趨于0時刻（0地點）時的極限值也是“沒有殺人”（對應(yīng)于極限值為非0/0的2x，而不再是無意義的0/0）。當然，誰都知道這個沒有殺人的“極限”，或以“沒有殺人”為極限的極限值，只是一個“不可達極限”，也就是與其實際做到的并不一樣的極限，也就是實際上是殺了人了，但這個極限沒有（對應(yīng)于增量比在0點的函數(shù)值就是無意義的0/0，但硬說其在0點的極限值不是0/0，而是2x）。于是我們干脆就令這個沒有或不再拿刀的人在0點確實沒有殺人（對應(yīng)于定義一個新的函數(shù)，即“導(dǎo)函數(shù)”或“趨0極限函數(shù)”）。于是法官宣布（數(shù)學(xué)家宣布），該人在0點沒有殺人，理由是其在該點因為沒有殺人刀（對應(yīng)于沒有分母了）而不可能以殺人（對應(yīng)于不是0/0）為其極限值，而法官判案的依據(jù)，就看在0點的極限，這是新的規(guī)定或法律（對應(yīng)于導(dǎo)數(shù)的極限定義），按此法，極限沒有殺人或以沒有殺人為極限就是沒有殺人，不再管他實際是否真的殺了人（對應(yīng)于不再管原先的增量比函數(shù)在0點的函數(shù)值是無意義的0/0）。請問，該法官以至于該法律靠譜嗎？可數(shù)學(xué)家就是遵循的這種邏輯而不自知。不服的，請逐條反駁。其要害，就是前面的“因為在他拿刀殺人前”，他沒有殺人，因此拿不拿刀無所謂了，因此讓其就不再拿刀了（對應(yīng)于約分消去分母上本來是有的那個自變量△x）.........。可是，對他未到0點殺人這一點而言，拿刀（消去分母△x）與不拿刀在效果上是“等價的”（對應(yīng)于1式與2式相等），既然嚴格等價，為什么就非得是“不拿刀”（對應(yīng)于消分母），而不是與其等價的“拿刀”（對應(yīng)于不消分母）？拿刀時，去趨于0點試試？極限還是未殺人嗎（對應(yīng)于還是2x嗎）？其實實際上，未拿刀的，是另一個人了（對應(yīng)于非比式的2式而不是原先欲求的比式1式了）。極限法微積分求導(dǎo)，實際是偷換了概念。結(jié)合這個形象化的比喻，就是以一個不拿刀的人（約分后無分母的2式）取代了原先那個拿刀的人（分母為自變量△x或未約分消去分母的1式。定義中確實要求的。誰要敢說導(dǎo)數(shù)的定義就是直接針對的非比式的2式而非比式的1式。此事就此了結(jié)。但誰叫你們非說導(dǎo)數(shù)是分母為△x的比式的1式的趨0極限的呢？）。因此，這里面有兩個層次的問題：第一，法官或法律根本就不應(yīng)該以0點的極限未殺人（對應(yīng)于極限為2x）去取代實際上殺了人（對應(yīng)于1式的函數(shù)值為0/0）。第二，這個“極限”還是錯的。因為求的本應(yīng)該是“拿刀”的極限（1式的極限。這是導(dǎo)數(shù)的定義明確要求的！），反過來卻以非極限點（為殺人前）拿刀與不拿刀都一樣為由（對應(yīng)于在△x≠0時，1式與2式相等），以不拿刀的極限取代了原本明確要求的拿刀的極限（對應(yīng)于以2式的趨0極限取代原本的1式的趨0極限）。所以，此極限作為1式的極限，是錯的。不成立。因此，極限法微積分不能不是一個雙料的錯誤。第一點，我從一開始就認為如此。但當時認為極限還是有，但不應(yīng)該用這個極限去取代原先的那個函數(shù)值0/0。后來我發(fā)現(xiàn)，這個非0/0意義的極限還根本就不存在。理由上面都說了。不重復(fù)了。還有一點過去未被注意到。極限法微積分求導(dǎo)，以0點的趨0極限值取代了原先的增量比函數(shù)的函數(shù)值0/0，但它不是又搞出了一個“導(dǎo)函數(shù)”（趨0極限函數(shù)）嗎？因此它仍舊是個函數(shù)，不過是一個新的函數(shù)。因此所謂的趨0極限值，對這個趨0極限函數(shù)而言，其函數(shù)值（就是前一個函數(shù)的趨0極限值）仍舊不可回避，仍舊有一個是不是0/0的問題。總之，先要有或證明此趨0極限函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）在0點之值不是0/0，才可以有約分消去1式的分母上的自變量△x得到2式再求它的趨0極限值（即新函數(shù)的函數(shù)值），而不是正相反，先約分后得到2式，求出2式的極限值，就一口咬定此極限或新函數(shù)值，就是1式的新函數(shù)值或趨0極限值。這是本末倒置，以果為因。對1式這個分母為自變量△x的增量比式而言，只有定義域不包括0點，同時極限點也不包括0點（即導(dǎo)函數(shù)或趨0極限函數(shù)的函數(shù)值也不包括0點）時，才可以約分消去其分母上的自變量△x，而不能僅僅定義域不包括0點（函數(shù)值不包括0點）就可以了。因為1式在0點的極限，仍舊是一個趨0極限函數(shù)，它在0點的函數(shù)值（趨0極限值）不是0/0，才可以約分消去分母上的自變量△x。而不能在邏輯上反過來，先消去分母△x由1式得到2式，求其趨0極限，又說此極限就是1式的。這在邏輯上是不成立的。綜上，既然在△x=0時，1式與2式數(shù)值不同（一個為0/0，一個為2x），而在△x≠0時，二者一樣。但△x→0，求的可是△x=0時的極限，是在定義域△x≠0外的！這個定義域外的極限值，1式與2式是不是一樣？即使一樣，為什么是2式的2x，而不是1式的0/0（更何況按導(dǎo)數(shù)的定義，明確地是針對1式而并不是2式的）？這些，是不是要先給一個證明？而這個證明是根本給不出來的。因為它需要首先證明當△x≠0時，只能有2式，不能再有1式，顯然沒有這回事。更何況我們還沒有考慮下面揭示事實。更清晰些講，在△x≠0時，1式與2式是一樣的。但在△x=0時，1式為無意義的0/0,2式卻為有意義的2x，因此僅僅把0點剔除出定義域，并不能一筆抹殺這一1式與2式間的本質(zhì)區(qū)別。既然如此，我們又憑什么僅僅以“0點之外，1式與2式相等”為理由，而認定二者在0點的趨0極限值不但一樣，而且還都是2式的2x？即使一樣，為什么不是1式的0/0？換言之，難道只要是不在0點了，就只能是1式通過約分消去分母上的自變量而變?yōu)?式，再求其趨0極限，而不能是2式乘以一個△x/△x而變?yōu)?式，再求其趨0極限？這在邏輯上，是以“可以”代替“必須”的錯誤。因此，這里面有兩重的問題。第一，在△x≠0時，1式“可以”約分消去分母△x變?yōu)?式，但這并不是“必須”的、“必然”的。第二，即使可以把1式變?yōu)?式了，也不意味著2式的趨0極限就是1式的趨0極限。這里面的邏輯問題，還望讀者細心體會。總之，貝克萊悖論產(chǎn)生的根源，本質(zhì)上是想要僅僅利用曲線上的兩個點，來直接定義其切線的斜率，也就是縱橫坐標的增量差之比，而“增量”、“坐標差（非0的）”必然要涉及兩個點。切線的增量、坐標差（非0的），必然涉及切線上的兩個點。而切線與曲線，只可能有一個“共點”，也就是切點，不可能有兩個“共點”。只有曲線的割線才可能與曲線有兩個共點。這就是問題的根本。是切線的斜率直接定義所要求切線上的兩個點與切線與曲線只有一個共點，但卻想用曲線上的兩個點或一個點來定義只有切線上的兩個點才能定義的切線斜率（切線的縱橫坐標差之比），這個矛盾，是根本無法解決的（只要此思路不改）。即使把第一代微積分的增量為0的函數(shù)值改成第二代微積分的趨0極限值也無濟于事。因為曲線上的兩個點趨于一個點，仍舊是曲線上的一個點，不可能變成切線上的兩個點，而后者正是切線斜率直接定義所需要的。非平凡的極限法微積分求導(dǎo)的基本思路是：既然在某點沒有函數(shù)值（具體到微積分就是函數(shù)值為無意義的0/0），但卻可以有極限值，那么，就舍棄這個函數(shù)值0/0,，改求該點的極限值好了。但卻想也不想，在某點沒有函數(shù)值（特別是0/0），是不是就一定會有極限值？會不會在某點既沒有函數(shù)值（比如函數(shù)值為無意義的0/0），同時也沒有極限值（比如極限值也為無意義的0/0，與其函數(shù)值一致）的情況出現(xiàn)？如果說沒有這種情況出現(xiàn)，也就是某點沒有函數(shù)值，則必有極限值，是不是應(yīng)該事先給出一個證明，再來求這個非0/0型的極限值？這些前期工作，極限法（本質(zhì)上非平凡的，即分母上的自變量要趨于0的極限）微積分求導(dǎo)都沒有作，證明沒有事先給出，就約分消去分母上的自變量再求趨0極限，然后說（實際上是“令”，即未經(jīng)證明的規(guī)定）這就是該增量比值函數(shù)（分母為自變量的）的趨0極限值。此中的邏輯問題，一經(jīng)揭示，幾乎就是明明白白的。其實，一個更直接了當?shù)姆穸O限法求導(dǎo)的思路是：我們求的明確地是分母為自變量△x的增量比式的1式的△y/△x的分母△x→0時的極限值。這是必須明確的、否定不了的。而實際所求的，卻是1式約分消去分母上的△x后的2式的△x→0時的極限值。但約分消分母的前提，當然是分母△x≠0。消去分母后得到2式，此時又令△x→0得到極限值2x，也就是導(dǎo)數(shù)。那這個2x是如何得到的？如果△x→0≠0，也就是如果極限值不等于0，能從2式得到極限值2x嗎？當然不行。換言之，△x→0是等于0的。而我們求導(dǎo)所欲求的，可是實實在在1式即分母為自變量△x的比式的△x→0的極限。這個沒錯吧？既然如此，不去約分消去1式的分母可不可以？當然應(yīng)該可以。本來求的就是它的極限。那么，既然前面已經(jīng)確定了，欲得到極限2x，只有△x→0等于0，那么，如果不消分母，分母上的△x在△x→0時是不是也是0？當然應(yīng)該是0，與2式那個△x→0是一回事，因為1式中的三個△x是同一個變量。如此，是不是得到的1式的極限是0/0？說不是，請給出個理由。而如果△x→0≠0，我們能得到精確的極限值2x嗎？顯然不行。因此，問題重新又回到了牛頓的舍棄所謂高階無窮小的問題，換言之，貝克萊悖論在極限法中也沒有解決。而如果說有一條數(shù)學(xué)規(guī)則，說是必須把一個分式約分消去分母后再求極限才算數(shù)，而直接對分母為自變量△x的比式△y/△x求趨0極限不算數(shù)，那好，為什么導(dǎo)數(shù)定義中的極限，卻是1式的比式形式△y/△x的△x→0時的極限值？不是必須約分消去分母才算數(shù)的嗎？比式不能直接求極限，那為什么要在導(dǎo)數(shù)的定義式中卻偏偏要寫上比式△y/△x，求的是這個比式的分母的趨0極限值？不是應(yīng)該直接寫通過約分消去分母后的非比式的2式的極限值嗎？但這還是函數(shù)的增量比式嗎？總之，無論怎么說，極限法求導(dǎo)都是有問題的。總而言之，由于這個問題的重要性，不妨再啰嗦一遍：無論第一還是第二代極限法微積分求導(dǎo)過程的必要步驟“約分消分母上的自變量”這一步，實際不止要求有△x≠0，而且實際還要有△x?0（即△x不能趨于0或不能以0為極限），這是約分消去分母上的自變量的前提條件，否則增量比值函數(shù)的1式，無論函數(shù)值還是極限值，都只能是無意義的0/0。既然已經(jīng)有了這兩個前提條件，那么實際約分消去分母上的自變量后，也就是令比式中的那個△x/△x=1/1后，自然也不能再有什么△x→0這回事。因為顯然，由式中的△x/△x得到1/1，在邏輯次序上，△x/△x在前，1/1在后，約分的前提已經(jīng)是自變量△x?0（即△x不能趨于0或不能以0為極限）了。盡管單純的1/1以至于1，是可以在△x→0時仍舊等于1的。但由△x/△x經(jīng)過約分得到的1/1不行。就如此時的函數(shù)值1/1，不能是在△x=0時由△x/△x得到一樣。即，不止是函數(shù)的定義域不包括△x=0點，同時其趨0極限函數(shù)在△x→0的點也不能包括在定義域中。因此，不是只要有△x≠0，就可以約分消去分母上的自變量△x（等價于使得分母為“1”或任何非0的數(shù)）后，還有△x→0。而是正相反，只有△x≠0、△x?0（△x不趨于0或不以0為其極限時）才可以約分消去分母上的自變量△x。此后，當然也既不能再令△x=0，也不能再有△x→0，因為顯然，約分的前提已經(jīng)事先不允許它們出現(xiàn)了，如此才可以做到消去分母的。至于一般地“1”這個函數(shù)，可以在△x→0還是以“1”為其極限，那是另一個函數(shù)“1”，而絕對不是由△x/△x通過約分消去分母上的△x而得到的那個1/1（即“1”）。學(xué)數(shù)學(xué)的都還記得：形式完全一樣的函數(shù)，如果定義域不同，就是不同的函數(shù)。沒忘吧？總之，說1式的函數(shù)值在0點公認為無意義的0/0，但其趨0極限值在0點卻不為0/0，而是2x，難道不需要先給一個證明？而證明與得到其函數(shù)值為0/0的過程竟然完全一樣，都是先要約分消去分母上的自變量△x后才行。這能有說服力嗎？1.2、約分導(dǎo)致增量比式的分母化為“1”的問題以及傳統(tǒng)無論第一還是第二代微積分的求導(dǎo)過程的未被意識到的實質(zhì)另一個角度看，如果說在△x≠0時，就可以對分母為自變量△x的非平凡的作為增量比值函數(shù)的1式進行約分消去分母上的自變量△x，得到非比式的2式，然后再對非比式的2式進行△x→0操作，再說此時對2式求得的趨0極限值，就是1式的趨0極限值。這種做法或看法的前提條件，顯然是在△x≠0時，1式與2式等價。但二者如何才能等價呢？比較一下1式與2式，是否只有在1式中的△x/△x=1/1或任何非0數(shù)之比比如5/5才行？就算“1/1”或“5/5”等最終都可以（不是必須！）化為“1”，在邏輯上也都是先要分母（也就是△x！）得到“1”（起碼也是非0的比如“5”。當然，在嚴格的邏輯上看，只有化為1/1=1，才可以“消去”。即比如“5/5”之所以可以消去不寫了，是因為它可以化為“1/1=1”。數(shù)學(xué)上公式中，只有“1”才可以最終不寫，任何人也無由否定此點吧）。既然1式與2式只有在分母非0的前提下，也就是一般地等于“1”，起碼地也等于比如“5”等任何非0數(shù)時才有可能，那么，在△x≠0的既有前提下，憑什么非說對2式求得的△x→0極限（平凡的），就是1式的△x→0極限（非平凡的）？明明1式與2式等價的條件是△x/△x=1/1或任何非0的比如△x/△x=5/5，這不明明意味著是分母上的那個△x進而△x/△x是趨于1/1或起碼也是趨于5/5的，于是分母上的那個△x不是趨于“1”，就是趨于任何的非0數(shù)，比如趨于“5”，但唯獨不能趨于“0”！即只要是一對1式約分消去分母上的△x的了，就實際意味著1式中的三個△x，不可能再共同地趨于0了！其中△x/△x中的△x，是要趨于“1”或任何非0數(shù)的（比如“5”），而可以再趨于“0”的，只是1式中的2x+△x（也就實際是約分后得到的2式）中的△x。而筆者早就在其它有關(guān)文章中討論過，1式中的三個△x，一經(jīng)過約分后立刻等于或趨0不同的數(shù)（兩個趨于“1”或任何非0數(shù)，一個趨于“0”），則只能說明一經(jīng)約分，1式實際從一個單變量△x的函數(shù)（不考慮x），變成了雙變量的函數(shù)，也就是變成了△y1/△x1=（2x·△x1+△x·△x1）/△x1=（2x+△x）·△x1/△x1=k（x，△x）·△x1/△x1......................................................（3）對比1式與3式我們可以發(fā)現(xiàn)，1式是二次曲線的增量比值函數(shù)方程一般方程，而3式是與前述二次曲線相交的割線的增量比值函數(shù)的一般方程。其中增量變量△y1、△x1與對應(yīng)的△y、△x是完全不一樣的！△y、△x約束于二次曲線上的兩個點，既然△x在分母上，它就自然不能等于0，也不能趨于0！一旦為0，必有無意義的0/0出現(xiàn)。而3式中的△y1、△x1，是直線（割線或切線）上的任何（！）兩個點間的非0增量，作為比式△y1/△x1，其中分母△x1當然不等于0，也不會趨于0。特別是如果2式是由1式在其中的分母上的△x≠0的前提下得到的話，更是如此。總之，一經(jīng)對1式約分，就意味著其公式中的△x/△x不能有△x→0（當然也不能等于0）了。其趨于什么都可以，就是不能趨于0。哪怕趨于無窮小ε都是可以的。而2式中的（也就是1式中的一部分）△x卻可以趨于0或等于0，這說明了什么？還不是這三個△x其實不是同一個變量。既然不一樣，就應(yīng)該用不同的符號區(qū)分開來，于是△x/△x應(yīng)該表示成△x1/△x1，或任何其它符號，比如△g/△g等等。而1式中剩下的那個△x，可以符號不變。二者的區(qū)別是，△x可以趨于或等于0，而△x1/△x1中的△x1不行，它等于任何非0數(shù)都可以，唯獨不能趨于或等于0。而三個△x是同一個變量的1式，是二次曲線的增量比值函數(shù)。但三個△x已經(jīng)不是同一個變量的3式，是什么？其實是過二次曲線上二點的直線（割線）的增量比值方程。當其中的△x=0時，就是切線的增量比值方程。這就是筆者提出的導(dǎo)數(shù)定義（基于3式的）與傳統(tǒng)導(dǎo)數(shù)定義（基于1式的）的本質(zhì)區(qū)別。而無論牛頓、萊布尼茲的所謂第一代微積分，還是柯西、外爾斯特拉斯的所謂第二代微積分，其實他們本質(zhì)上通過對1式約分消去分母后求得的就是3式△x=0時的值，只是他們都沒有認識到，還以為他們所求的是1式的△x→0極限（事實上這個極限與其函數(shù)值一樣，不存在，也就是等于0/0）。既然無論牛頓、萊布尼茲的所謂第一代還是外爾斯特拉斯、柯西的所謂第二代微積分都是要通過對1式先行約分消去分母上的自變量△x后得到2式，再對2式求△x=0（第一代）或△x→0的極限（第二代），那么，由前面的討論可知，他們實際上所做到的（不是他們自以為做到的！），就是對3式求△x=0或△x→0的極限。最終求得到自然就是△y1/△x1=（2x+0）·△x1/△x1=k（x，0）·△x1/△x1......................................................（4）4式中△x1≠0，而無論其等于什么非0數(shù)，最終都化為“1”，于是就是△y1/△x1=（△y1），/1=（2x+0）·1/1=k（x，0）·1/1=2x=k（x，0）................................................（5）5式中的△y1與（△y1），當然是不同的變量。很顯然，無論第一還是第二代微積分，他們的導(dǎo)數(shù)實際上就是這么得到的！盡管誰也沒有意識到。還以為始終針對的就是曲線的增量比式的1式呢。實際上一經(jīng)過約分消去分母上的自變量△x這一步，無意間就等于把1式化為了3式。再求的△x→0的極限，得到的也是4式、5式了，而不再是1式的△x→0的極限了。這就是馬克思所說的“微積分用明顯不合理的方法得到了完全正確的導(dǎo)數(shù)值”的全部奧秘（俗話就是“貓膩兒”，當然不是有意的，是沒有意識到意義的）。同時，細心的讀者會看出來，3、4、5式與1式有本質(zhì)的不同。傳統(tǒng)微積分導(dǎo)數(shù)是建立在1式上的，無論第一還是第二代微積分。但他們實際能無矛盾地做到的，只能是3、4、5式基礎(chǔ)上的。這實際就是二者導(dǎo)數(shù)定義的區(qū)別所在。真正的導(dǎo)數(shù)定義，只能建立在3、4、5式的基礎(chǔ)之上，最終實現(xiàn)就是5式。可以看成是導(dǎo)數(shù)的定義，筆者稱之為區(qū)別于傳統(tǒng)的基于1式的導(dǎo)數(shù)定義的所謂“新導(dǎo)數(shù)定義”。二者之間的本質(zhì)區(qū)別，還請讀者仔細體會。這是整個微積分理論“牽一發(fā)而動全身”的地方。具體請參考前期筆者相關(guān)文章。總之，如果不去洞悉最為普通的、習以為常的“約分”、“消去分母上的自變量”這些概念的本源，我們充其量只是知道所謂“第二代微積分”（標準分析、非平凡極限法微積分）仍舊沒有解決第一代的牛頓、萊布尼茲微積分求導(dǎo)過程中的貝克萊悖論。但究竟為什么會如此，還是不知道。而一旦我們徹底搞清了“約分”的本意，就不但立刻明白了貝克萊悖論產(chǎn)生的緣由，還獲得一個“頓悟”，就是馬克思所說的“微積分如何從一個明顯謬誤的步驟，得到完全精確、正確的導(dǎo)數(shù)值”的（大意）。鑒于這個問題的重要性，這里再啰嗦一次：所謂“第二代微積分”極限法求導(dǎo)，按其定義是明確針對的曲線的增量比值函數(shù)的1式的（分母為曲線的自變量△x）。但其求導(dǎo)過程的必要步驟為先要約分（或說做除法）消去分母上的自變量△x，變增量比式1式為非比式的2式，再對2式求△x→0。而2式與3、4、5式是等價的，而這就是曲線的割線或切線的方程，其與2式不同：一個是曲線方程，一個是線性方程！因此，極限法微積分求導(dǎo)，實際真正能做到的，是求的并不是1式的△x→0極限，而是2、3、4、5式的。而2、3、4、5式并不是必須△x→0，而是△x=0也可以，換言之，第一代的牛頓、萊布尼茲微積分在這種詮釋下（唯一正確的！）也完全成立。結(jié)論：第一代微積分在具體做法上正確，但沒有給出正確的詮釋，此點被大家所認可。而第二代微積分（極限法）在具體的做法上也正確（盡管較隱晦且不完備，因為它只承認趨0極限而不承認等于0的函數(shù)值，實際并不如此），但詮釋錯誤。因為它聲稱其已經(jīng)解決了第一代的詮釋問題，且仍舊是針對1式求趨0極限，這是錯的。理由前面以及筆者前期很多有關(guān)文章中都已經(jīng)給出，此不贅述。至此，我們終于可以說，貝克萊悖論的提出，其邏輯思路是如此的簡單、鮮明，一針見血。其解決、化解，也必然只能是對應(yīng)地簡單、明確的，“一招制敵”的，而不可能如傳統(tǒng)上的非平凡極限法求導(dǎo)那樣偷換概念、拐彎抹角、迂回曲折。在邏輯脈絡(luò)上，不干凈。在給人的感覺上，黏黏糊糊，拖泥帶水，挖東補西，直到把幾乎所有人（包括提出者自己）弄的一時講不出什么算完。我們說，詭辯論者可以這么干，但一個嚴肅的科學(xué)的理論的建立可不能如此。道理已經(jīng)講得如此透徹、鮮明了，剩下的不是個學(xué)術(shù)問題。我完全明白，非平凡（這三個字是我加的）極限法微積分求導(dǎo)理論“定型”已經(jīng)這么多年了，其間經(jīng)過多少數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)教師之手，教科書汗牛充棟，突然被我一個幾乎是局外的人給“攪黃了”，打破了寧靜，很多人（除了少數(shù)人，也有）不服。如果承認我對，他們就錯，而且一錯就這么多年，情何以堪？自己傾心教了這么多年的東西，居然是錯的，這讓誰也心有不甘。但是，事實就是事實，真理就是真理，邏輯就是邏輯。只要數(shù)學(xué)、微積分還講道理，還講邏輯，還像有些人經(jīng)常標榜的那樣是普天之下最最嚴格、最最邏輯的學(xué)科，我們就必須坦然面對。否則在我都把道理講到這個份兒上了，還不明白或明白了也不理不睬的，豈不是更掉價的事兒？讓后世子孫（因為我堅信，只要是真理，就早晚會被采納）如何看你們？他們會說，那個時代的數(shù)學(xué)學(xué)者，怎么會這樣啊？如此簡單的道理都搞不清，或者搞清了也不采納，還堅持教學(xué)生那些錯誤的東西，不是人品不行，就是學(xué)品不行。他們動輒幾百頁聲稱證明的什么“猜想”、“定理”，只有幾人讀懂、認可，究竟還靠的住嗎？是不是必須全部重新審視？在如此簡單、基礎(chǔ)的問題上體現(xiàn)出的水準如此之差，怎么能讓人放心地相信他們的任何看上去高大上的工作以至于說過的任何話？總之，極限法微積分聲稱做到的，是對增量比式1的自變量△x的趨0極限（△x→0）。但它實際上做的（通過求導(dǎo)的必要步驟“約分消分母”），是分母上的那個“自變量△x→1的這個特性”本身的趨0極限。即無論△x多小，只要不是0，它就要→1，而不是→0。即，明確說，不是△x→0在→0，而是△x→1在→0。顯然，既然是“→1”（或就是“=1”）這個“特性”的趨0（→0）極限，那其在0點的極限值當然就是“1”而絕對不會再是“0”。因此，是沒有什么1式的分母上的那個△x→0的，如果真有，其極限值就只能是0，且處于分母上（即有0/0為其極限）。因此，極限法求導(dǎo)無意中（沒有被意識到）能實際上做到的，其實就是2式的趨0極限。可以看成2式在剩下的那個處于分子上的△x→0時，原先分母上的那個△x→1或=1，根本就沒有分母上的△x→0這回事。于是顯然，只要對1式一約分消去分母△x，就有或等于承認有分母上的那個△x→1或=1，實際也就是承認了1式中的三個△x，其實并不是同一個變量。△x/△x=1/1，而剩下的那個最終△x=0（或→0）因此，顯然應(yīng)該用不同的符號表示它們的不同。而如果1式中的全部三個自變量△x真的都趨于0了，1式就立刻也會有0/0，與增量比函數(shù)在0點的函數(shù)值一個“待遇”。以上，就是極限法微積分的實質(zhì)，也是其詮釋上的錯誤的要害之所在。既然明確了此點，無論微積分教材，還是教師，還應(yīng)該不應(yīng)該還去教學(xué)生現(xiàn)有極限法微積分求導(dǎo)的那些羅素所說的“教師試圖使我們相信的那些明顯的詭辯”（大意，見參考文獻46、47）？這是負責任的“教育工作者”所應(yīng)該干的事兒嗎？注：羅素原話：“那些教我無窮小分析的老師找不出有說服力的論據(jù)來證明微積分的基本概念，就只好說服我充滿信心地去接受那些公認的詭辯。”（參考文獻46、47）1.3、舉例說明1.3.1、自比函數(shù)△x/△x的導(dǎo)數(shù)問題再舉一個現(xiàn)實而簡單的例子，來說明這個問題。比如有特殊的函數(shù)△x/△x，其在△x=0點的函數(shù)值無疑是無意義的0/0。于是其定義域不能不為△x≠0。于是△x/△x=1/1=1。極限法微積分認為，由此，在△x/△x在△x→0的極限值就是“1”。但事實果真如此嗎？△x/△x在△x→1時的極限值，不也是“1/1=1”嗎？甚至△x/△x在△x→5（實際可以是非0的任何數(shù)）時的極限值，不也等于“5/5=1/1=1”嗎？難道對函數(shù)△x/△x而言，△x趨于包括0在內(nèi)的任何數(shù)值，其極限都是“1”？如真的如此，必須先對△x/△x進行約分得到“1/1=1”才行。但約分只是上述結(jié)論的一個必要條件，并不是充分條件。如果不先約分呢？△x趨于任何非0的數(shù)，比如“1”，比如“5”，都可以先得到“1/1”或“5/5”，然后再約分得到“1”（5/5是先得到1/1再得到1的）。而△x→0可不可以也先不約分地這么做，當然不行。因為△x→0時，如果不事先約分，△x/△x就是無意義的0/0，無法再像任何非0數(shù)比如“5/5”那樣對“0/0”進行約分并試圖得到“1/1=1”的。這是對△x/△x而言，△x→0與△x→1進而趨于任何非0數(shù)的本質(zhì)區(qū)別。因此無論函數(shù)值還是極限值，都不可能在△x=0點有極限“0/0=1/1=1”。而任何其它非0值都可以，比如“5/5=1/1=1”。由此可以看出，對△x/△x，只有在△x→1進而趨于任何非0數(shù)時，才有最終的極限值“1/1=1”,而其△x→0的極限值，根本就不是“1”，就是無意義的“0/0”，與其在該點的函數(shù)值0/0是完全一樣的。趨0極限值“1”，是對△x/△x先行約分得到了“1”以后，再求這個“1”（而不再是△x/△x！）的△x→0極限值所得到的，它根本就不是△x/△x在0點的極限，而是另一個特殊函數(shù)“1”在0點的極限值。但我們所欲求的，不是△x/△x在0點的極限值嗎？這是搞數(shù)學(xué)，號稱邏輯嚴密無比的數(shù)學(xué)，不是搞偷梁換柱這一套。約分，就是對比式中的△x/△x令其為1/1而不是簡單地拿掉不寫的一個有力例證，就是如果有一個特殊的比式，就是這個△x/△x，對其約分后等于什么？不是1/1=1嗎？如果只是把△x/△x拿掉不寫，還剩下什么？難道對△x/△x約分后，成了空集?？可見，只要一旦約分，就應(yīng)該老老實實地把1/1寫上，至于以后多數(shù)情況下這個“1/1=1”沒有用可以省去不寫，那是另一回事。但一旦其還有很重要的用，就不能輕易舍棄。比如微積分求導(dǎo)這里。它直接涉及分母上的自變量，則能糊里糊涂地以約分就沒有了？類似地，我們舉勻速直線運動來討論。勻速直線運動作為運動的一個特例，當然也符合導(dǎo)數(shù)的定義，也有瞬時速度概念，盡管此時瞬時速度與平均速度在數(shù)值上是相等的。如果我們也按“非平凡極限法微積分求導(dǎo)”那一套來定義勻速直線運動的瞬時速度概念，則大有“多此一舉”之感。比如，有勻速直線運動的增量方程為△y=5·△x，誰都知道，其無論是平均速度，還是瞬時速度，都是△y/△x=5·△x/△x=5·1/1=5（量綱：距離/單位時段）。而量綱中的所謂“單位時段”，數(shù)值不就是“1”嘛。速度的量綱就是如此，它實際對應(yīng)的就是分母數(shù)值為“1”，就是“一個單位”的意思。具體到速度，就是“一秒”、“一分鐘”等等。而且無論是平均速度，還是瞬時速度，其量綱均如此。絕對沒有什么對瞬時速度而言，其量綱的分母是什么“以0為極限，但又不是0”之類的語焉不詳?shù)臇|西。它就是“1”，而不是“以0為極限，但又不是0”這個東西會等于“1”。如果是“1”，就是明明白白的“等于1”或“趨于1”或“以1為極限”（三者其實等價），而不是趨于0或以0為極限！而極限法微積分求導(dǎo)（求瞬時速度），卻正是如此做的。本來△y/△x=5·△x/△x，只要令△x=1或△x→1，我們立刻就會得到5·1/1=5，這就是速度，無論是瞬時速度還是平均速度。但卻非要與非線性運動一致，令求△y/△x=5·△x/△x的△x→0極限值。而具體求的時候，又是非得先通過約分“消去”△y/△x=5·△x/△x中分母上的那個自變量△x，這實質(zhì)上還是令該比式中的△x=1起碼也是△x→1而得到5·1/1=5。總之，滑稽的是，明明不過就是線性方程求系數(shù)的問題，卻非要去與非線性方程一致，求什么趨0極限。而具體求時，又有意無意地先通過約分把式子中的△x/△x=1/1，兜了個大圈子，最終還是求線性方程的增量比式△y/△x或就是線性方程△y=5·△x的系數(shù)“5”。既然如此，為什么不直接求？明明是非線性方程化為線性方程（割線、切線方程）求其系數(shù)（斜率）的問題，卻偏要反過來，把明明是后者的求系數(shù)（斜率）問題，先變成求非線性比式方程的趨0極限，再實際通過約分消分母上的自變量△x，實際上又回到求線性方程的系數(shù)（斜率）問題。這一套，我們在線性方程的求導(dǎo)（如這里此例的求“5”），也就是勻速直線運動求瞬時速度的問題上可以看的一清二楚。通過這個實例，我們還可以明了，既然對于線性方程而言，瞬時速度與平均速度在數(shù)值上是一致的，而平均速度，對勻速直線運動而言，就是處處一樣的。且任何速度（包括瞬時速度）的量綱的分母都是“單位時間1”。既然如此，我們完全可以據(jù)此把勻速直線運動的瞬時速度就定義成其平均速度。只不過此時是某時刻“起始”的平均速度。對勻速直線運動，它當然處處一樣。進而，我們可以引申到變速運動，也即是非線性方程情況。就是在某時刻（瞬時），其切線方程所表示的勻速直線運動的速度就是該變速運動在該切點時刻的瞬時速度。總之一句話，要用線性去定義非線性，而不是反過來，強令線性去就和非線性。1.3.2、教科書中一道普通例題的求導(dǎo)問題舉一個教科書中的例子說明下。見方源、王元所著?微積分（上）?P40頁。試求（x2-3x）/（x2-9）的x→3的極限。（注：極限標準公式表達軟件不好打，因此只用語言表述）（x2-3x）/（x2-9）=x·（x-3）/（x-3）·（x+3）=x/（x+3）=3/（3+3）=1/2其書有一個解釋：“我們注意到在趨限過程中x≠3，所以第二個等式成立。只有在第二個等式中消去因子x-3后，我們才可以在第三個等式中將x=3代入”。這就充分地說明問題了。要先消去第二個等式中的（x-3）/（x-3），實際只能令x趨于任何非3的數(shù)，比如4，我們令x→4，此時（x-3）/（x-3）→1/1。因此，我們等于先是令（x-3）/（x-3）中的x→4或x=4，然后才有再令剩下的x/（x+3）中的x→3，這已經(jīng)不是該題目要求的上來就直接對x2-3x）/（x2-9）的x→3的極限了。其實，這個直接的極限只能是0/0，與其函數(shù)在x=3的值一樣，都無意義。除非我們把上式看成一個線性的比值函數(shù)x·（x1-3）/（x1-3）·（x+3）=x·1/1·（x+3）=3/（3+3）=1/2此線性方程的自變量為x1而不再是x，x只與其系數(shù)有關(guān)，也就是斜率有關(guān)。1.3.3、函數(shù)sinx/sinx類型的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)另一個與上面相仿的例子是，函數(shù)sinx/sinx在x→0時的極限值是什么？按極限法微積分，此極限當然就是“1”，它也是先對sinx/sinx進行約分后得到的。但對此式直接求x→0時的極限值，它就是“0/0”，而x趨于任何非0值（特別是π/2）,才可以得到“1/1=1”。具體討論與△x/△x的情況相仿，不再重復(fù)。同時我們注意到，cosx/cosx在x→0時的極限值為1/1=1，按極限法微積分，其與sinx/sinx在x=0點的函數(shù)值不一樣（一個為0/0,一個為1），但極限值不但一樣，還都是“1”（即cosx/cosx在x=0點的極限值）。而任何一個比式，只有分子分母相同才可以最終得到“1”，但sinx/sinx中的sinx，無論其中的x=0還是x→0，都是0。而對其約分，意味著比式中的sinx是非0的，既然非0，也就意味著sinx中的x根本就不能等于或趨于0，進而比式sinx/sinx自然也不能。除非sinx與cosx一樣，在x=0或x→0時都等于1而不是0，這當然不可能，于是我們實際上是直接證明了比式sinx/sinx在x→0時的極限值絕對不是1，而只能是與其函數(shù)值一致的無意義的0/0。1.3.4、水平線函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題極限法微積分求導(dǎo)的問題暴露的最為徹底的，也許正是最為簡單的一條水平線的導(dǎo)數(shù)問題。如方源、王元的?微積分（上?）P97~98，它先設(shè)f（x）=k（k為一個常數(shù)），然后按一般的極限法微積分求導(dǎo)規(guī)則，對（f（x+h）-f（x））/h=（k-k）/h=0/h=0（其中h就是通常我們所謂的自變量的增量△x）求h→0的極限。按極限法微積分求導(dǎo)，顯然，它斷定是對“0”求h→0的極限的。這個極限當然是0無疑。但是，前面是有“0/h=0”的，注意，這里是沒有通常極限法微積分求導(dǎo)中的“必要步驟”約分消去分母上的自變量的。0/h，與什么相消得到0的？當然，你可以說0/h就是0，與0無區(qū)別，也就是絕對的“0/h=0”，那么好，既然二者一樣，為什么h→0只能針對0，而不能針對與0絕對相等的0/h？而0/h的h→0，還是0嗎，不是0/0啊？你如果偏說0/h的h→0就是0，不會是別的（具體說就是不會是0/0），號稱世界上最為嚴密的數(shù)學(xué)，是不是要對這個結(jié)論給出一個證明？而這個證明，你不先拿掉0/h中分母上的那個h，能夠得到嗎？這是純粹的邏輯循環(huán)論證，數(shù)學(xué)人都應(yīng)該懂的。而如果有人還強詞奪理地說，0/0無意義，因此（也僅僅因此！）不能出現(xiàn)在等式中，那么好，非極限法求導(dǎo)的第一代微積分的h=0，憑什么就不可以也不等于0/0，而非得是0？而一旦如此，極限法微積分求導(dǎo)（第二代微積分求導(dǎo)）還有必要存在嗎？貝克萊悖論不是在牛頓、萊布尼茲時代就不存在了嗎？更何況既然有絕對的0/h=0，如果非說等號左邊的0/h的h→0極限值為0，那為什么等號右邊的0下邊我們給加一個分母h，成為0/h（有何不可？不是絕對相等的嗎？），然后令這個0/h的h→0極限值為0/0（直觀上本應(yīng)如此的！），就硬說0/h=0等式右邊的0的h→0極限值非得也是0/0，這不是荒唐嗎？但其運用的邏輯，與極限法微積分求導(dǎo)的邏輯是一樣的，沒有任何區(qū)別，只不過方向相反而已。但是在邏輯上，既然0/h=0是等號相連的，等號兩邊就是絕對相等的，就應(yīng)該可以互推，不能只能由0/h到0，而不能反過來由0到0/h。邏輯上沒有這個道理。而由0/h到0，我們得到0，但由0到0/h，我們得到的是0/0，并不一致。如果非說由0到0/h也是0，為何同理地，就不能是由0/h到0也是0/0？更何況無論哪種選擇，不都要給個證明？而這個證明不采取邏輯循環(huán)論證的錯誤方法，可以給出來嗎？誰非說可以，你就請去試一下好了。更何況0/h=0的已知前提，必須是h≠0。但h→0是否也是一個前提，不需要一個證明嗎？按極限法微積分求導(dǎo)的意思，是它不是前提，是結(jié)果。在h=0點，0/h的函數(shù)值是無意義的0/0，這是公認的（否則就不需要所謂“第二代”的極限法微積分求導(dǎo)了）。但同樣是在函數(shù)定義域h≠0外的h→0趨0極限值（這個極限值本身當然也在h=0點），卻可以網(wǎng)開一面地不是0/0，而是0。其理由僅僅是在定義域h≠0之內(nèi)，0/h與0相同，都是0（其實人們居然遺忘了很重要的一點，就是同時也“都是0/h”！把0/h都當成0，而忘了把0也都當成0/h！）。這顯然是不成其為理由的。是需要嚴格證明的。但這個證明當然也同樣給不出，所有的所謂“證明”都只能落入邏輯循環(huán)的窠臼，無一例外。事實上，h→0與h=0，在此問題上根本就是同構(gòu)的，榮損同具，根本就沒有不能h=0，卻可以h→0這回事。如不然，請給出證明。而我的反證，卻是徹底給出了的。識者自可分辨之。總之，無論從哪個角度，邏輯上都說不過去的。更何況既然0/h=0，0·h當然也是0，也就是有0=0·h，如此，等式兩邊各除以一個h，0/h=0·h/h不是必然的嗎？于是，這里又可以有“約分消去分母上的h”了，也就是令“h/h=1/1”。這可以從比式（a·h）/（b·h）的約分看出（其中a、b，為任何變量或數(shù)）。如果要消去該式中的h而得到a/b，嚴格講只有式子中的“1”才可以不寫，也就是“消去”（有人也許會說h/h中h等于任何非0數(shù)都可消去，但其更深層的原因仍舊是可以最終化為“1”），于是有0·h/h=0·1/1，此時分母上是先為“1”的，既然為“1”，還能有h→0嗎？不是得h→1啊？平時說的約分消去分母，是這個“1”在不寫不影響其后的運算為前提下的。如果這個“1”與其后的運算有關(guān)，比如分母上的“1”趨于什么的問題，它還能草率地預(yù)先“不寫”嗎？可以事先就“消去”它嗎？還要用到它（這個“1”！），你卻事先不寫它了，行嗎？可見如欲0/h等于0，只能是h→1（起碼也是任何非0數(shù)，唯獨不能是0，也就是唯獨不能有h→0。0/h在h→0時，只能是0/0，而不可能再是別的什么）。換言之，還是得靠筆者的對微積分導(dǎo)數(shù)的詮釋才可以化解這些矛盾問題。我們首先必須意識到，這里的水平線也是自變量的增量h的一個函數(shù)，但單純的k（只是一個數(shù)值。這里的k不是通常用它表示的斜率！）并沒有體現(xiàn)出這點。因此，嚴格而言，應(yīng)該是k=g·h，來體現(xiàn)k的函數(shù)本質(zhì)。如此，k-k=g·h-g·h=（g-g）·h，而（k-k）/h自然也就成了0·h/h，其中0為水平直線的斜率。其詮釋就與筆者對導(dǎo)數(shù)的理解一致了。而且只有如此，才可以無矛盾地解釋這一切（詳見前期筆者有關(guān)文章和此文下面的第二節(jié)）。現(xiàn)有教科書中的草率作法，在邏輯上是禁不起嚴格的推敲的。重要的事情說三遍，不怕重復(fù)了：對0/h=0，說是因為二者相等，因此之故，所以0/h的h→0就是0的h→0，也就是0。那么好，既然0/h與0絕對地相等、等價，無任何區(qū)別，那么，為什么就不能原本確實h→0為0的“0”（0/h=0等號的右邊），就不能同樣的理由，其h→0實與其絕對相等的0/h（0/h=0等號的左邊）的h→0即0/0？直觀上0/h的h→0即0/0，應(yīng)該順理成章吧？如果有人說不對，不是0/0而只能是0，你一說就完了？你不得先給一個證明出來再下結(jié)論？這是不是號稱天底下最最最嚴密的數(shù)學(xué)所該干的事情？這個證明給的出來嗎？試一下看看？1.3.5、負增量△x是在0點的導(dǎo)數(shù)問題這個問題幾乎就沒有被人注意到。通常，我們往往默認時間增量△x是指向未來的，于是當△x→0時，是返回過去的某點（此時是0點）。既然在時間上返回過去是現(xiàn)實不可能的，在此前提下，當△x表示前向時間增量時，討論△x→0問題，就等于不討論現(xiàn)實可行的問題，而僅僅是“虛擬”問題，也就是“如果其可行........將如何如何”的問題，只不過沒有明說罷了。在此前提下，反正也是虛擬問題，在我們當然可以討論“如果”△x≠0，如何如何，最終△x→0的問題，其實就是時間上虛擬地返回過去。但是，如果我們把△x定義成負值，此時無論△x→0還是△x=0，都表示未來的某時刻（0點在未來），而時間是不可逆的，現(xiàn)實上不會返回過去，如果我們定義時間增量△x反映了這個時間的性質(zhì)（這當然是可以的，因為我們可以任意地定義函數(shù)，更何況如此定義，還更符合時間性質(zhì)的“實際”），如此，當我們再說△x→0時，就等于說在時間不可逆的前提或現(xiàn)實下，我們由過去趨近于現(xiàn)在或未來的某個時點（0點）。如若此時（0點）增量比函數(shù)為0/0，它就是由過去此函數(shù)經(jīng)過不斷地變值到達了0點得到的0/0。即，此函數(shù)的現(xiàn)在反映了此函數(shù)的過去，其過去決定了現(xiàn)在的值。此點是不可逆的。有不可逆的性質(zhì)伴隨此函數(shù)，因為此函數(shù)就是如此地定義的。在這個前提下，我們還能因為現(xiàn)在得到了不合理、無意義的0/0，并以此為理由，返回過去，重新約分消去△y’/△x的分母，再來一遍，到達或趨于0點嗎？當然不行，如果行，得到的也是另一個函數(shù)，而不是不可逆的原先的函數(shù)△y’/△x，因為這個函數(shù)就是如此定義的：它不能返回過去。如果返回了，一定不是它！是別的函數(shù)。這個細節(jié)，被以往所忽略了。人們在使用時間上的△x→0時，都是無意識地“返回過去”。既然大家都是返回過去，把原先的函數(shù)修改后（約分消去分母后）再返回過去也未嘗不可。這并不違反這個函數(shù)的什么。但我這里重新定義的不可逆函數(shù)就不行了。請讀者仔細體會這里面的“名堂”（概念間的細微差別）。這就好比一個人在10點猝死。這是這個人的特性（此人這個具體“函數(shù)”的特性）。10點未死，就不是他，是別人。你不能說反正此人在10點前都未死，于是可以給他吃藥、治療，使其無病了，于是可以在10點以無病不死為“極限”，再令這個極限（不死的）為一個新的人（函數(shù)）所屬，再“定義”這個新的人（對應(yīng)于“導(dǎo)函數(shù)”）的在10點的極限（并未死，還活著）為那個在10點已經(jīng)死去的人的“未死的極限”，這當然行不通。因為起碼地，此人已經(jīng)死了，不可能再返回過去來“吃藥治療”了！但極限法微積分求導(dǎo)，所為恰恰就是死了以后（已經(jīng)函數(shù)值為0/0了），又試圖返回死前的過去“去吃藥治療”，以圖不死。其可得乎？1.4、傳統(tǒng)極限法微積分求導(dǎo)的實際邏輯進程圖總之，微積分求導(dǎo)的實質(zhì)思路與分析，可以用下面的三個邏輯進程圖顯示出來（1）、這里可以簡明地給出傳統(tǒng)的極限法微積分（第二代微積分，標準分析）的邏輯進程如下由于△y/△x在△x=0點函數(shù)值是0/0?令△x≠0為定義域?于是可以對△y/△x約分消去分母上的自變量△x?求這個已無分母的函數(shù)的趨0極限值?令（或認為）這個極限值就是增量比式△y/△x的趨0極限值?此極限值為非0/0型的2x?認為它就是△y/△x在x點的導(dǎo)數(shù)（2）、而實際上，真正的邏輯進程應(yīng)該是（缺失的部分用括號表示）△y/△x在△x=0點函數(shù)值是0/0?令△x≠0為定義域?由于△x=0點此時已經(jīng)不在定義域內(nèi)，因此同時還要事先證明【△y/△x在△x=0點的極限值不是0/0?于是才可以對△y/△x約分消去分母上的自變量△x】?對△y/△x約分消去分母上的自變量△x?求這個已無分母的函數(shù)的趨0極限值?令（或認為）這個極限值就是增量比式△y/△x的趨0極限值?此極限值為非0/0型的2x?于是就被認為證明了【△y/△x在△x=0點的極限值不是0/0】?認為非0/0型的2x就是△y/△x在x點的導(dǎo)數(shù)從上面必要邏輯進程可以看到，兩個括號【.........】中間部分為邏輯循環(huán)論證：約分消分母的前提是△y/△x在0點的極限同樣（與其函數(shù)值一樣）不能是0/0，但在證明過程中卻不得不先進行了約分，否則這個證明是無法進行下去的。于是，是一個典型的循環(huán)論證，不能成立。進而極限法微積分求導(dǎo)過程的推導(dǎo)也不成立。（3）、而無論牛頓、萊布尼茲的第一代還是柯西、外爾斯特拉斯的第二代微積分真正意義的、沒有被他們及后來