2023高考數學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一，它歷史悠久，風格獨特，神獸人們喜愛．下圖即是一副窗花，是把一個邊長為12的大正方形在四個角處都剪去邊長為1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四個角處再剪出邊長全為1的一些小正方形．若在這個窗花內部隨機取一個點，則該點不落在任何一個小正方形內的概率是（）A． B． C． D．2．中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是A． B． C． D．3．已知復數，，則（）A． B． C． D．4．已知函數是上的偶函數，是的奇函數，且，則的值為（）A． B． C． D．5．已知函數，，且，則（）A．3 B．3或7 C．5 D．5或86．費馬素數是法國大數學家費馬命名的,形如的素數(如：)為費馬索數,在不超過30的正偶數中隨機選取一數,則它能表示為兩個不同費馬素數的和的概率是()A． B． C． D．7．已知，，分別是三個內角，，的對邊，，則（）A． B． C． D．8．已知平面和直線a，b，則下列命題正確的是（）A．若∥，b∥，則∥ B．若，，則∥C．若∥，，則 D．若，b∥，則9．函數在的圖象大致為A． B．C． D．10．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的-一個公共點，且，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的關系為（）A． B．C． D．11．若復數z滿足，則（）A． B． C． D．12．運行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為300，則判斷框中可以填（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知(2x-1)7=ao+a1x+a2x2+…+a7x7，則a2=____.14．已知雙曲線（a＞0，b＞0）的兩個焦點為、，點P是第一象限內雙曲線上的點，且，tan∠PF2F1＝﹣2，則雙曲線的離心率為_____．15．等差數列（公差不為0），其中，，成等比數列，則這個等比數列的公比為_____.16．函數（為自然對數的底數，），若函數恰有個零點，則實數的取值范圍為__________________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）討論函數f(x)的極值點的個數；（2）若f(x)有兩個極值點證明.18．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若點在曲線上，點在曲線上，求的最小值及此時點的坐標.19．（12分）在四棱錐中，是等邊三角形，點在棱上，平面平面．（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值的最大值；（3）設直線與平面相交于點，若，求的值．20．（12分）如圖，在三棱錐中，，是的中點，點在上，平面，平面平面，為銳角三角形，求證：（1）是的中點；（2）平面平面.21．（12分）已知函數．（Ⅰ）求在點處的切線方程；（Ⅱ）求證：在上存在唯一的極大值；（Ⅲ）直接寫出函數在上的零點個數．22．（10分）在平面直角坐標系中，曲線，曲線的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．（1）求曲線、的極坐標方程；（2）在極坐標系中，射線與曲線，分別交于、兩點（異于極點），定點，求的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

由幾何概型可知,概率應為非小正方形面積與窗花面積的比,即可求解.【詳解】由題,窗花的面積為,其中小正方形的面積為,所以所求概率,故選:D【點睛】本題考查幾何概型的面積公式的應用,屬于基礎題.2．A【解析】

詳解：由題意知，題干中所給的是榫頭，是凸出的幾何體，求得是卯眼的俯視圖，卯眼是凹進去的，即俯視圖中應有一不可見的長方形，且俯視圖應為對稱圖形故俯視圖為故選A.點睛：本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查學生的空間想象能力，屬于基礎題。3．B【解析】分析：利用的恒等式，將分子、分母同時乘以，化簡整理得詳解：，故選B點睛：復數問題是高考數學中的?？紗栴}，屬于得分題，主要考查的方面有：復數的分類、復數的幾何意義、復數的模、共軛復數以及復數的乘除運算，在運算時注意符號的正、負問題.4．B【解析】

根據函數的奇偶性及題設中關于與關系，轉換成關于的關系式，通過變形求解出的周期，進而算出.【詳解】為上的奇函數，，而函數是上的偶函數，，，故為周期函數，且周期為故選：B【點睛】本題主要考查了函數的奇偶性，函數的周期性的應用，屬于基礎題.5．B【解析】

根據函數的對稱軸以及函數值，可得結果.【詳解】函數，若，則的圖象關于對稱，又，所以或，所以的值是7或3.故選：B.【點睛】本題考查的是三角函數的概念及性質和函數的對稱性問題，屬基礎題6．B【解析】

基本事件總數，能表示為兩個不同費馬素數的和只有，，，共有個，根據古典概型求出概率．【詳解】在不超過的正偶數中隨機選取一數，基本事件總數能表示為兩個不同費馬素數的和的只有，，，共有個則它能表示為兩個不同費馬素數的和的概率是本題正確選項：【點睛】本題考查概率的求法，考查列舉法解決古典概型問題，是基礎題．7．C【解析】

原式由正弦定理化簡得，由于，可求的值.【詳解】解：由及正弦定理得.因為，所以代入上式化簡得.由于，所以.又，故.故選：C.【點睛】本題主要考查正弦定理解三角形，三角函數恒等變換等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題.8．C【解析】

根據線面的位置關系，結合線面平行的判定定理、平行線的性質進行判斷即可.【詳解】A：當時，也可以滿足∥，b∥，故本命題不正確；B：當時，也可以滿足，，故本命題不正確；C：根據平行線的性質可知：當∥，，時，能得到，故本命題是正確的；D：當時，也可以滿足，b∥，故本命題不正確.故選：C【點睛】本題考查了線面的位置關系，考查了平行線的性質，考查了推理論證能力.9．A【解析】

因為，所以排除C、D．當從負方向趨近于0時，，可得.故選A．10．A【解析】

設橢圓的半長軸長為，雙曲線的半長軸長為，根據橢圓和雙曲線的定義得：，解得，然后在中，由余弦定理得：，化簡求解.【詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的長半軸長為，由橢圓和雙曲線的定義得：，解得，設，在中，由余弦定理得：，化簡得，即.故選：A【點睛】本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和性質以及余弦定理的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.11．D【解析】

先化簡得再求得解.【詳解】所以.故選：D【點睛】本題主要考查復數的運算和模的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.12．B【解析】

由，則輸出為300，即可得出判斷框的答案【詳解】由，則輸出的值為300，，故判斷框中應填？故選：．【點睛】本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據二項展開式的通項公式即可得結果.【詳解】解：(2x-1)7的展開式通式為：當時，，則.故答案為：【點睛】本題考查求二項展開式指定項的系數，是基礎題.14．【解析】

根據正弦定理得，根據余弦定理得2PF1?PF2cos∠F1PF23，聯立方程得到，計算得到答案.【詳解】∵△PF1F2中，sin∠PF1F2═，sin∠PF1F2═，∴由正弦定理得，①又∵，tan∠PF2F1＝﹣2，∴tan∠F1PF2＝﹣tan（∠PF2F1+∠PF1F2），可得cos∠F1PF2，△PF1F2中用余弦定理，得2PF1?PF2cos∠F1PF23，②①②聯解，得，可得，∴雙曲線的，結合，得離心率.故答案為：.【點睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學生的計算能力和轉化能力.15．4【解析】

根據等差數列關系，用首項和公差表示出，解出首項和公差的關系，即可得解.【詳解】設等差數列的公差為，由題意得:，則整理得，，所以故答案為：4【點睛】此題考查等差數列基本量的計算，涉及等比中項，考查基本計算能力.16．【解析】

令，則，恰有四個解.由判斷函數增減性，求出最小值，列出相應不等式求解得出的取值范圍.【詳解】解：令，則，恰有四個解.有兩個解，由，可得在上單調遞減，在上單調遞增，則，可得.設的負根為，由題意知，，，，則，.故答案為：.【點睛】本題考查導數在函數當中的應用，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）求得函數的定義域和導函數，對分成三種情況進行分類討論，判斷出的極值點個數.（2）由（1）知，結合韋達定理求得的關系式，由此化簡的表達式為，通過構造函數法，結合導數證得，由此證得成立.【詳解】（1）函數的定義域為得，（i）當時；，因為時，時，，所以是函數的一個極小值點；（ii）若時，若，即時，，在是減函數，無極值點.若，即時，有兩根，不妨設當和時，，當時，，是函數的兩個極值點，綜上所述時，僅有一個極值點；時，無極值點；時，有兩個極值點．（2）由（1）知，當且僅當時，有極小值點和極大值點，且是方程的兩根，，則所以設，則，又，即，所以所以是上的單調減函數，有兩個極值點，則【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的極值點，考查利用導數證明不等式，考查分類討論的數學思想方法，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.18．（1）；（2）最小值為，此時【解析】

（1）消去曲線參數方程的參數，求得曲線的普通方程.利用極坐標和直角坐標相互轉化公式，求得曲線的直角坐標方程.（2）設出的坐標，結合點到直線的距離公式以及三角函數最值的求法，求得的最小值及此時點的坐標.【詳解】（1）消去得，曲線的普通方程是：；把，代入得，曲線的直角坐標方程是（2）設，的最小值就是點到直線的最小距離.設在時，，是最小值，此時，所以，所求最小值為，此時【點睛】本小題主要考查參數方程化為普通方程，考查極坐標方程轉化為直角坐標方程，考查利用圓錐曲線的參數求最值，屬于中檔題.19．（1）證明見解析（2）（3）【解析】

（1）取中點為,連接,由等邊三角形性質可得,再由面面垂直的性質可得,根據平行直線的性質可得,進而求證；（2）以為原點,過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,設,由點在棱上,可設,即可得到,再求得平面的法向量,進而利用數量積求解；（3）設,,則,求得,,即可求得點的坐標,再由與平面的法向量垂直,進而求解.【詳解】（1）證明:取中點為,連接,因為是等邊三角形,所以,因為且相交于,所以平面,所以,因為,所以,因為,在平面內,所以,所以.（2）以為原點,過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,設,則,,,,因為在棱上,可設,所以,設平面的法向量為,因為,所以,即,令,可得,即,設直線與平面所成角為,所以,可知當時,取最大值.（3）設,則有,得,設,那么,所以,所以.因為,,所以.又因為,所以,,設平面的法向量為,則,即,,可得,即因為在平面內,所以,所以,所以,即,所以或者（舍）,即.【點睛】本題考查面面垂直的證明,考查空間向量法求線面成角,考查運算能力與空間想象能力.20．（1）證明見解析；（2）證明見解析；【解析】

（1）推導出，由是的中點，能證明是有中點．（2）作于點，推導出平面，從而，由，能證明平面，由此能證明平面平面．【詳解】證明：（1）在三棱錐中，平面，平面平面，平面，，在中，是的中點，是有中點．（2）在三棱錐中，是銳角三角形，在中，可作于點，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，，，平面，平面，平面平面．【點睛】本題考查線段中點的證明，考查面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想，屬于中檔題．21．（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）函數在有3個零點．【解析】

（Ⅰ）求出導數，寫出切線方程；（Ⅱ）二次求導，判斷單調遞減，結合零點存在性定理，判斷即可；（Ⅲ），數形結合得出結論．【詳解】解：（Ⅰ），，，故在點，處的切線方程為，即；（Ⅱ）證明：，，，故在遞減，又，，由零點存在性定理，存在唯一一個零點，，當時，遞增；當時，遞減，故在只有唯一的一個極大值；（Ⅲ）函數在有3個零點．【點睛】本題主要考查利用導數求切線方程，考查零點存在性定理