2022年高考數(shù)學(xué)考前訓(xùn)練題

1.如圖在四棱錐尸-ABC。中，底面ABCD為正方形，為等邊三角形，E為PC中

點，平面平面A8CD.

(I)求證：%_L平面A8CD；

(II)求二面角A-DE-B的余弦值.

【分析】(I)連接AC交BD于點O,連接PO、EO,證明POLBD,ACVBD,推出

B￡>_L平面PAC,即可證明BDA.OE,然后證明EO_L平面ABCD,推出以，平面ABCD.

(II)以AB為x軸，AO為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2a,求出

平面EBD的法向量，平面AED的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角A-DE-B

的余弦值即可.

【解答】(I)證明：連接AC交BO于點。，連接尸0、EO,

因為△PBZ)為等邊三角形，所以POLBZ),

因為底面A8C。為正方形，所以ACLBD,

因為ACAPO=。，所以平面B4C,(3分)

又EOU平面以C,所以BO_LOE,

因為平面平面ABCD,平面E2OC平面ABCD=BD,

所以EOmABCD,

因為E為PC中點，所以公〃OE,則刑，平面ABCD(5分)

(II)如圖，以A8為x軸，AO為y軸，AP為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2”，貝！|4。=以=2〃，

所以A(0,0,0),D(0,2a,0),E(a,a,a),C(2a,2a,0),

T->T

則4。=(0,2a,0),AE=(a,a,a),AC=(2a,2a,0),

因為平面平面ABCD,

所以平面防。的法向量為4c=(2a,2a,0),(7分)

設(shè)平面AEO的法向量為Z=（x,y,z）,則絲2=°,

UE-n=o

所以｛：：M+?z=0,所以建（1，0,7,（9分）

TT

所以cos（4C,n）==義,（11分）

\AC\\n\

【點評】本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空

間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題.

2.如圖，直四棱柱ABCO-4B1C15中，44=2,E為84的中點，底面ABCD是邊長為

4的菱形，NAOC=60°.

(1)證明：E,Ci,A,。四點共面；

(2)求直線GE與平面ACD所成角的正弦值.

【分析】⑴連接ABi,C\D,可得AE=1ciD,可得4EC1O是梯形，即可

得證；

(2)取BC的中點凡連接AF,可得A凡LBC,以A為原點，AF,AD,A4所在直線

分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出C6和平面4CD的一個法向量，即可求解

直線C\E與平面A\CD所成角的正弦值.

【解答】(1)證明：連接A8i,C\D,則ABiCi。是平行四邊形，

因為E為B4的中點，

1

-

明以AE〃Ci。,2

所以AE。。是梯形，所以E,Ci,A,。四點共面.

(2)解：取BC的中點F,連接4凡

因為底面A8C。是邊長為4的菱形，ZADC=60Q,

所以aABC為等邊三角形，所以AFJ_BC,

以4為原點，AF,AD,A4i所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

則Ai(0,0,2),C(2V3,2,0),Ci(2百，2,2),D(0,4,0),E(V3,-1,1),

所以C》=(一百，-3,-I),A^C=(2V3,2,-2),CD=(-2V3,2,0),

設(shè)平面AC。的一個法向量為￡=(x,y,z),

貝正夕=2例+2y-2z=0,取尸］,則屋(］，回?我,

n?CD=-2^3%+2y=0

設(shè)直線OE與平面A\CD所成的角為6,

yl

所以sin0=|cos<n9CrE>\=1二甲=普普，

即直線OE與平面4C。所成角的正弦值為萼.

【點評】本題主要考查四點共面的證明，直線與平面所成角的求法，考查轉(zhuǎn)化思想與運

算求解能力，屬于中檔題.

3.如圖，多面體ABCPQ中，QA_L平面ABC,QA〃尸C,點M為尸3的中點，AB^BC=AC

=PC=2QA=2.

（1）求證：平面平面PBC；

（2）求二面角B-QM-A的大小.

【分析】（1）取BC中點H,連接A”,MH,證明四邊形QAHM為平行四邊形，推出QM

//AH,證明AHLBC,MHA.AH,即可證明A”_L平面PBC,然后證明平面P8Q_L平面

PBC.

（2）分別以H4,HB,HM為x,y,z軸建立空間坐標(biāo)系，求出平面AQM的一個法向量，

平面Q2M的法向量利用空間向量的數(shù)量積求解二面角8-QM-A的大小即可.

【解答】（1）證明：取BC中點H,連接4”，MH,

1

則且MH=.PC,

又QA〃/5c且QA=尹。，

所以即四邊形QAH仞為平行四邊形，

從而QM"AH,

而AB=BC=ACf

所以A”_LBC,QAJ_平面ABC,

所以M〃_L平面ABC,

所以M”_LAH

且M“nBC=H,

所以AH_L平面PBC,

所以。用_L平面PBC,QMu平面PBQ,

所以平面尸3Q_L平面PBC.

(2)解：由(1)知，分別以HA,HB,HM為x,y,z軸建立空間坐標(biāo)系，又A8=BC

=AC=PC=2QA=2,

所以4(75,0,0),Q(6,0,1),B(以1,0),M(0,0,1)

所以平面的一個法向量￡=(0,1,0),

設(shè)平面。BM的法向量分別為m=(x,y,z),

所以杓.7=0,

、MBm=0

即［-岳+y-z=0,

ly—z=0

可得平面QBM的一個法向量為蔡=(0,1,1)

**Tf—

所以二面角B-Q