動力學(xué)動能定理§13-1力的功§13-2動能§13-3動能定理§13-4動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用第十三章動能定理動力學(xué)目錄§13-1力的功§13-1力和功常力在直線路程中的功變力在曲線路程中的功

幾種特殊力的功質(zhì)點系內(nèi)力和約束力的功§13-1力的功力的功是力在一段路程中對物體作用所累積的效果，其結(jié)果引起能量的轉(zhuǎn)變和轉(zhuǎn)化。下面討論力的功的計算方法。一、常力在直線路程中的功設(shè)一物體，在常力F作用下沿直線由A1平動到A2

，所經(jīng)歷的路程是s。則該常力F在此路程中的功為W=Fcos

s其中Fcos

為力F在運動方向上的投影，可正可負(fù)。可見力的功是代數(shù)量。功的基本單位在國際單位制中采用J:1J=1N

mαFAA1A2s一、常力在直線路程中的功設(shè)在質(zhì)點A

上作用著變力F,現(xiàn)在把其軌跡曲線A1A2分成許多微小弧段，使得每個元弧段ds(即元路程)可視為直線段，而力F則視為常力，應(yīng)用常力在直線路程中的功的計算式，力F在每個元路程ds

中的功W=Fcos·

ds式中

是力F與速度v間的可變夾角。由于元路程ds對應(yīng)于位移的大小|dr|=|v|dt，故上式可以改寫成W=F

?

dr

=

F

?

vdt§13-1力的功上式稱為力F在元路程ds

中的元功。1.元功的定義OA1AFxyzA2θvr+drrdsdr二、變力在曲線路程中的功

力F在有限路程A1A2中的總功W，是該力在這段路程中全部元功的代數(shù)和，可表示成曲線積分W=Fxdx+Fydy+Fzdz這就是元功的解析表達(dá)式。因為F=Fxi+

Fyj+Fzk,dr=dxi+dyj+dzk，代入上式得§13-1力的功W=F

?

dr

=

F

?

vdt2.功的解析表達(dá)式。3.變力在曲線路程中的總功變力的功OA1AFxyzA2θvr+drrdsdr三幾種特殊力的功1

重力的功設(shè)物體的重心A

沿某一曲線由A1

運動到A2

。物體的重力G在坐標(biāo)軸系上的投影為Fx

=Fy=0,Fz=G得重力的元功W=Gdz由元功表達(dá)式

W=Fxdx+Fydy+Fzdz1、重力的功式中

z1

和z2

分別是重心的路程起點和終點的縱坐標(biāo)；h=z1-z2

是物體重心降落的高度，稱為高度降。故重力在曲線路程A1A2上的功為OA1(x1,y1,z1)AGxyzA2(x2,y2,z2)

當(dāng)r

l0＜0時，=（

r

l0），彈簧壓縮，彈性力F指向點A，其矢量表示式為當(dāng)r

l0

＞0時，=r

l0，彈簧拉長，彈性力F指向點O，其矢量表示式為2、彈性力的功設(shè)彈簧未變形時長度是

l0

，剛度系數(shù)是k。彈簧的一端O

固定，而另一端A

作任意曲線運動，且彈簧始終處于直線狀態(tài)。現(xiàn)求在點A由位置A1

沿某一路線運動到位置A2

的路程中彈性力所作的功。在任意位置A

，彈簧的變形為

=︱r

l0︱，矢徑方向的單位矢量為r/r

。

F=k

(

r/r)=

k(r

l0)(

r/r)1).彈性力的矢量表示F=k

r/r=

k(r

l0)r/rOA1drA2r1rr2FA2、彈簧力的功2).彈性力的元功得彈性力F的元功考慮到r

?

dr=

d（r

?

r）/2=d（r

2）/2

=r

dr=

rd(r

l0)，即得彈性力F在曲線路程A1A2中的功W=F

?

dr=

k(r

l0)(r

?dr/r)W=

k(r

l0)d(r

l0)由元功表達(dá)式W=F

?dr=F

?vdt3).彈性力的功

彈性力的功OA1drA2r1rr2FA彈性力的矢量表示F=

k(r

l0)r/r式中r/r是矢徑方向的單位矢量。以和

分別表示路程始末端A1和A2處彈簧的變形量，則上式寫成2、彈簧力的功常力矩：Mz（F）=常量zFr3、定軸轉(zhuǎn)動剛體上外力或力偶的功

設(shè)剛體繞定軸z

轉(zhuǎn)動，角速度=

k，剛體上點M作用著力F，當(dāng)剛體有一微小轉(zhuǎn)角d時,力F的元功

W

=F?dr在剛體由角

1

轉(zhuǎn)到角

2

的過程中，力F的總功為M1質(zhì)點系和剛體內(nèi)力的功設(shè)質(zhì)點系內(nèi)有兩質(zhì)點M1和M2

,相互間作用著內(nèi)力F1和F2=F1。兩質(zhì)點的元位移分別是dr1和dr2,故得內(nèi)力F1和F2的元功之和四質(zhì)點系內(nèi)力和約束力的功1、質(zhì)點系和剛體上力的功M1M2xyzOr2r1—一般質(zhì)點系內(nèi)力作功—剛體內(nèi)力作功和等于零四質(zhì)點系內(nèi)力和約束力的功工程上幾種內(nèi)力作功的情形

●

作為整體考察，所有發(fā)動機(jī)的內(nèi)力都是有功力。例如汽車內(nèi)燃機(jī)工作時，氣缸內(nèi)膨脹的氣體質(zhì)點之間的內(nèi)力；氣體質(zhì)點與活塞之間的內(nèi)力；氣體質(zhì)點與氣缸內(nèi)壁間的內(nèi)力；這些內(nèi)力都要作功。

●

有相對滑動的兩個物體之間的摩擦力作負(fù)功。內(nèi)力的功2約束力的功之和等于零的情形光滑的固定支承面

(圖

a)，軸承，銷釘

(圖

b)和活動支座

(圖

c)的約束力總是和它作用點的元位移

dr

垂直，所以這些約束力的功恒等于零。四質(zhì)點系內(nèi)力和約束力的功FAdrFAdrFAdr(a)(b)(c)1).

光滑的固定支承面

、軸承、銷釘

和活動支座

的約束力2、約束力的功之和等于零的情形

由于柔繩僅在拉緊時才受力，而任何一段拉直的繩子就承受拉力來說，都和剛桿一樣,其內(nèi)力的元功之和等于零。繩子繞著光滑物體，情形相同。當(dāng)由鉸鏈相聯(lián)的兩個物體一起運動而不發(fā)生相對轉(zhuǎn)動時，鉸鏈間相互作用的壓力與剛體的內(nèi)力性質(zhì)相同。當(dāng)發(fā)生相對轉(zhuǎn)動時，由于接觸點的約束力總是和它作用點的元位移相垂直，這些力也不做功。約束力的功2).不可伸長柔繩的拉力。3).光滑活動鉸鏈內(nèi)的壓力。約束力的功4).圓輪沿支承面滾動時，摩擦力(約束力)的功。OvOCvFFN

因為Cv

為速度瞬心，其速度為零。所以作用在Cv點的靜摩擦力F

所作元功為（1）圓輪連滾帶滑運動時，動摩擦力F所作元功為（2）圓輪純滾動時，這時出現(xiàn)靜摩擦力F。§13-2動能§13-2動能質(zhì)點的動能質(zhì)點系的動能

幾種剛體運動的動能

柯尼西定理§13-2動能

即：質(zhì)點的質(zhì)量與其速度平方乘積的一半稱為質(zhì)點的動能。

質(zhì)點系的動能等于系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點動能的總和，用符號T表示，則有國際單位制中，動能的常用單位是

kg·m2/s2，即J。設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量為m

，速度為

v

，則該質(zhì)點的動能動能是物體機(jī)械運動的一種度量，恒為正值。二、質(zhì)點系的動能一、質(zhì)點的動能§13-2動能1.平動剛體的動能平動剛體各點的速度和質(zhì)心速度vC相同，m

表剛體質(zhì)量，則其動能即，平動剛體的動能，等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心速度平方乘積的一半。三、幾種剛體運動的動能質(zhì)點系的動能三、幾種剛體運動的動能2.定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能設(shè)剛體以角速度

繞定軸z

轉(zhuǎn)動，以

mi

表示剛體內(nèi)任一點A

的質(zhì)量，以

ri

表示A

的轉(zhuǎn)動半徑，則該剛體的動能為其中∑miri2=Jz

是剛體對轉(zhuǎn)軸

z

的轉(zhuǎn)動慣量，故上式可寫成可見，定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能，等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角速度平方乘積的一半.轉(zhuǎn)動慣量

Jz

就是剛體繞z軸轉(zhuǎn)動時慣性的度量。§13-2動能17-9(b)ωAvizriO§13-2動能ωOωOeA，B兩輪質(zhì)量相同，以相同的角速度ω繞圓心O轉(zhuǎn)動。CABA輪為勻質(zhì)圓盤、B輪質(zhì)心在C點。兩輪動能是否相同？

思考題3.平面運動剛體的動能剛體做平面運動時，其上任一點的速度為vi

，平面運動剛體的角速度是，速度瞬心在P點，剛體對瞬軸的轉(zhuǎn)動慣量是JP

。設(shè)剛體的質(zhì)心C

到速度瞬心

P

的距離是rC

，剛體的質(zhì)量是m。§13-2動能AviCvCPrcriP對平行于瞬軸的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量是JC

,則該剛體的動能為根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理有因為質(zhì)心C

的速度大小vC=rC。由上式得§13-2動能即,平面運動剛體的動能,等于它以質(zhì)心速度作平動時的動能與相對于質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動時的動能之和。平面運動剛體的動能AviCvCPrcriP例題13-1（習(xí)題13-7）已知滑塊A的質(zhì)量為m1，質(zhì)點B的質(zhì)量為m2,AB桿的長度為l、不計質(zhì)量，以角速度ωAB繞A點轉(zhuǎn)動，滑塊的速度為vA。求系統(tǒng)的動能。§13-2動能Am1Oxx'y'θm2BlvAyωAB例題13-1Am1Oxx'y'θm2BlvAyvAvBA1.運動分析與速度分析滑塊作直線運動，速度為vA；桿AB作平面運動。以A為基點，質(zhì)點B的速度為§13-2動能例題13-1

解：2.計算系統(tǒng)動能滑塊的動能質(zhì)點B的動能系統(tǒng)的總動能§13-2動能Am1Oxx'y'θm2BlvAyvAvBA例題13-1

已知滑塊A的質(zhì)量為m1；勻質(zhì)桿AB的長度為l、質(zhì)量為m2，以角速度ωAB繞A點轉(zhuǎn)動。圓盤B的質(zhì)量為m3,半徑為r，與桿固連；滑塊的速度為vA，求系統(tǒng)的動能。§13-2動能Am1Oxx′y′θm2BlvAyωABCr

思考題§13-2動能系統(tǒng)如圖所示，輪Ⅰ的質(zhì)量為m1，純滾動，AO桿的質(zhì)量為m，角速度為ω

，求系統(tǒng)的動能。ωⅠⅡOACr1r2ω1vAC是輪Ⅰ上的點，JC是繞C點的轉(zhuǎn)動慣量，是否成立？練習(xí)題

以質(zhì)點系的質(zhì)心C

為原點,取平動坐標(biāo)系Cxyz,它以質(zhì)心的速度vC

運動。設(shè)質(zhì)點系內(nèi)任一質(zhì)點A在這平動坐標(biāo)系中的相對速度是vir,則該點的絕對速度vi

=vc+vir,

故得質(zhì)點系在絕對運動中的動能§13-2動能四、柯尼西定理OAvixyzvCz'y'x'CvCvirrCrir四、柯尼西定理上式右端第一項即，質(zhì)點系在絕對運動中的動能,等于它隨質(zhì)心一起平動時的動能,加上它在以質(zhì)心速度做平動的坐標(biāo)系中相對運動的動能。這就是柯尼西定理。

§13-2動能柯尼西定理第三項等于∑mivir2/2=Tr

是質(zhì)點系在相對運動中所具有的動能。記為Tr第二項是質(zhì)點系隨質(zhì)心一起平動時的動能.所以質(zhì)點系的動能例題13-2

坦克或拖拉機(jī)履帶單位長度質(zhì)量為ρ，輪的質(zhì)量為m，半徑為r，輪軸之間的距離為d，輪心前進(jìn)的速度為v0。求：系統(tǒng)的總動能。§13-2動能例題13-2C2C1drv0C2C1drv0解：在C1C2桿上建立動系Cx′y′。

牽連運動為水平平移，牽連速度為v0；

相對運動為繞在兩個作定軸轉(zhuǎn)動圓輪及其上履帶的運動。圓輪的角速度為ω＝v0/r,履帶上各點的相對速度均為v0。§13-2動能例題13-2

x'y'C應(yīng)用柯希尼定理，全部履帶的總動能為§13-3動能定理§13-3動能定理質(zhì)點系動能定理質(zhì)點動能定理§13-3動能定理

動能定理表達(dá)了質(zhì)點或質(zhì)點系的動能變化和作用力的功之間的數(shù)量關(guān)系。

設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點A，在力作用下F沿曲線由A1運動到A2，它的速度由v1變?yōu)関2。兩邊點乘速度v

,得mv

dv

=

F

vdt一、質(zhì)點動能定理一、質(zhì)點動能定理1.微分形式由牛頓第二定理即，質(zhì)點動能的微分等于作用于質(zhì)點上的力的元功，這就是質(zhì)點動能定理的微分形式。將上式沿路程A1A2積分，得左端可改寫成mv

dv=md(v

v)/2=d(mv2/2)從而得mv

dv=F

dr式中W

表示力F在路程A1A2中的功。可見，質(zhì)點動能在某一路程中的改變量，等于作用于質(zhì)點的各力在該路程中所做的功。這就是質(zhì)點動能定理的積分形式。§13-3動能定理質(zhì)點動能定理2.積分形式即，質(zhì)點系動能的微分等于作用于質(zhì)點系各力的元功的代數(shù)和，這就是質(zhì)點系動能定理的微分形式。dT=∑

Wi對于質(zhì)點系中的每個質(zhì)點，都有類似上式，相加得因故上式可寫成§13-3動能定理由質(zhì)點動能定理的微分形式1.微分形式二、質(zhì)點系動能定理式中T1，T2

分別代表某一運動過程中開始和終了時質(zhì)點系的動能。上式表明質(zhì)點系的動能在某一路程中的改變量,等于作用于質(zhì)點系的各力在該路程中的功的代數(shù)和。這就是質(zhì)點系動能定理的積分形式。T2T1=∑Wi將上式積分，得§13-3動能定理質(zhì)點系動能定理由微分形式

dT=∑Wi2.積分形式

例題13-3運送重物用的卷揚機(jī)如圖(a)所示。已知鼓輪重W1,半徑是r,對轉(zhuǎn)軸O

的回轉(zhuǎn)半徑是。在鼓輪上作用著常值轉(zhuǎn)矩MO,使重W2的物體A

沿傾角為的直線軌道向上運動。已知物體A與斜面間的動摩擦系數(shù)是f

。假設(shè)系統(tǒng)從靜止開始運動，繩的傾斜段與斜面平行，繩的質(zhì)量和軸承O

的摩擦都忽略不計。試求物體A沿斜面上升距離s時物體A的速度和加速度。§13-3動能定理(a)sA2AA1OMOα例題13-3用v表示這時物體的速度大小，則鼓輪的角速度大小=v/r，從而有系統(tǒng)從靜止開始運動的，初動能T1=0。在重物上升的單向路程為

s

時，系統(tǒng)的動能T2

可計算如下。取鼓輪、繩索和物體A組成的系統(tǒng)為研究對象。解：§13-3動能定理(b)AOM0W2FNFFOxFOyW1av例題13-3

(a)sA2AA1OMOα●

由此求出物體A的速度根據(jù)T2T1=∑W，有根號內(nèi)必須為正值，故當(dāng)滿足MO≥W2r(sin+fcos)時，卷揚機(jī)才能開始工作。§13-3動能定理在物體A上升

s路程中，作用在系統(tǒng)上的力的總功為T1=0,(b)AOM0W2FNFFOxFOyW1av例題13-3

●

物體

A

的加速度把式(1)中的s看作變值，并求兩端對時間

t

的導(dǎo)數(shù)，有考慮到在直線運動中

dv/dt=a，ds/dt=v，故物體A的加速度§13-3動能定理AOM0W2FNFFOxFOyW1av例題13-3

(1)OM0AθAm2gFNFsθFTa如何求繩子拉力和物體A與斜面間的摩擦力？

思考題例題13-3

m2a=FT－Fs

－

mgsinθ0=FN－m2gcosθθOM0PArAs若將重W2的物體A改變成半徑為rA的勻質(zhì)滾子，試求滾子A沿斜面上升距離s時物體A的速度和加速度。

思考題例題13-3

θOM0Am1gFOxFOym2gFNFsPωvAaωA若將重W2的物體A改變成半徑為rA的勻質(zhì)滾子，試求滾子A沿斜面上升距離s時物體A的速度和加速度。

思考題例題13-3

θOM0Am1gFOxFOym2gFNFsPωvAaωA動能:力的功:sωAθAm2gFNFsPOM0m1gFOxFOyωvAsBOM0θPArAs若將重W2的物體A改變成半徑為rA的勻質(zhì)滾子，且繩子纏繞在滾子上，試求滾子A沿斜面上升距離s時物體A的速度和加速度。

思考題例題13-3ωAθAm2gFNFsPOM0m1gFOxFOyωvAsB若將重W2的物體A改變成半徑為rA的勻質(zhì)滾子，且繩子纏繞在滾子上，試求滾子A沿斜面上升距離s時物體A的速度和加速度。

思考題例題13-3動能:力的功:例13-4均質(zhì)細(xì)桿AB長l=1.0m，重Q=30N，圓柱重P=20N，半徑R=0.4m，純滾動。(1)當(dāng)圖示=45o時，系統(tǒng)由靜止開始運動，求該瞬時A點的加速度；(2)若在=45o時，圓柱中心A以速度vA=1.0m/s向左運動，求該瞬時A點的加速度。解：用微分形式的動能定理求解。設(shè)為任意角，系統(tǒng)的動能為由運動學(xué)知代入得注意到于是代入該式兩邊被dt除，注意其中、vA均為變量且于是，改寫為整理運算，得將代入式，得將代入式，得

例題13-5

系統(tǒng)在鉛直平面內(nèi)由兩根相同的勻質(zhì)細(xì)直桿構(gòu)成，A，B為鉸鏈，D為小滾輪，且AD水平。每根桿的質(zhì)量為m，長度為l，當(dāng)仰角1=60o時，系統(tǒng)由靜止釋放。求當(dāng)仰角減到2=30o時，桿AB的角速度，摩擦和小滾輪的質(zhì)量都不計。§13-3動能定理ABDFEmgmgα1α1(a)BAFEmgmgα2α2(b)例題13-5例題13-5

例題13-5

系統(tǒng)在鉛直平面內(nèi)由兩根相同的勻質(zhì)細(xì)直桿構(gòu)成，A，B為鉸鏈，D為小滾輪，且AD水平。每根桿的質(zhì)量為m，長度為l，當(dāng)仰角1=60o時，系統(tǒng)由靜止釋放。求當(dāng)仰角減到2=30o時，桿AB的角速度，摩擦和小滾輪的質(zhì)量都不計。§13-3動能定理ABDFEmgmgα1α1(a)例題13-5例題13-5

系統(tǒng)開始是處于靜止，初動能T1=0。§13-3動能定理取整個系統(tǒng)為研究對象，其中桿AB作定軸轉(zhuǎn)動，而桿BD做平面運動。考慮系統(tǒng)由靜止開始運動到2=30o

這個過程。解:而末動能等于由于PB=BD=AB，代入上式，得ωAB=ωBDAB·ωAB=PB·ωBD由圖(b)知，桿BD的速度瞬心在P點，BADFEvBvDα2α2ωBDωAB(b)60o60oPmgmgFAxFAyF

D分析點B的速度有例題13-5而將以上結(jié)果代入上式，得vE

=PE·ωBD§13-3動能定理ωAB=ωBD桿BD質(zhì)心E的速度=PE

·ωAB=PB·sin(22)

·ωAB=l

·sin60o

·ωABBA