第二節迭代法一、迭代法的基本思想迭代法是一種重要的逐次逼近法,其基本思想是：將方程

f(x)=0

化為等價方程然后在隔根區間內取一點

x0

，按下式計算計算結果生成數列如果這個數列有極限這種求根方法稱為迭代法。如果迭代序列收斂,則稱迭代格式收斂,否則稱為發散。當(x)連續時,顯然

就是方程

x=(x)之根。于是可以從數列

中求得滿足精度要求的近似根。稱為迭代格式,

(x)稱為迭代函數,x0

稱為迭代初值,數列

稱為迭代序列。二、迭代法的幾何意義一般來說從構造不止一種，有的收斂，有的不收斂，這取決于的性態。方程的根，在幾何上就是直線與曲線的橫坐標如圖2-3所示

對方程進行如下三種變形：用迭代法求方程

x4+2x2-x-3=0在區間[1,1.2]內的實根。解例1分別按以上三種形式建立迭代格式，并取x0=1進行迭代計算，結果如下：第二種格式比第一種格式收斂快得多,而第三種格式不收斂。可見迭代格式不同,收斂情況也不同。準確根

=1.124123029。三、迭代法的收斂條件定理1

(1)當x∈[a,b]時，(2)存在正數L<1，使對任意的

x∈[a,b],(2)對任意迭代初值

x0∈[a,b],迭代序列(1)方程在[a,b]上有唯一根

;在[a,b]上存在,且滿足條件：設收斂于

。

則(1)先證方程 之解存在且唯一.由于在[a,b]上存在,f(x)

在[a,b]上連續。作函數由條件連續。所以證使

即則(1)f(a)≤0,f(b)≥0,故存在

,則由微分中值定理及條件值定理及條件(2)有此式僅當才能成立，再證迭代格式收斂任取

x0∈[a,b]，由微分中值定理，有因此（2）則由微分中值定理及條件(2)有設方程還有一根此定理在理論上十分重要,但是條件(1)卻不容易判別.如果僅在根的鄰域中考察迭代格式,則下述定理可避免條件(1)的判別。即迭代過程收斂，且證畢。反復用此不等式，并注意0<L<1,因此

例1中采用的三種迭代格式,在隔根區間(1,1.2)內有例如且有下列誤差估計式定理2則任取

x0∈U,迭代格式均收斂于

,

若方程之根的某鄰域

L<1，使內存在,且存在正常數則迭代必發散。提示：定理的證明利用定理1以及微分中值定理。反之，若在根

的鄰域

U

內例2用迭代法求方程在內的一個近似根，取初始近似值解原方程的等價方程可以有以下不同形式對應的迭代公式有：考察四種迭代法在根附近的收斂情況，取根的近似值為解不收斂不收斂收斂收斂由定理2知值越小，收斂速度就越快1.365230021.3659167381.365229941.3638870071.3652230581.3678469761.365225591.3600941951.365264751.3751702541.364957011.34545838-469.731.367376371.402540802.99696.73221.348399731.286953770.8165-0.87511.51.51.51.50(4)(3)(2)(1)n取列表計算如下n(1)(2)(3)(4)91.364878221.36523001101.36541006151.36522368201.36523024231.36522998251.36523001接上圖四、迭代法的收斂速度則稱迭代格式是

p

階收斂的.

p=1時稱為線性收斂,

1<p<2時稱為超線性收斂.利用微分中值定理及泰勒展式可得下面的定理3.顯然,收斂階越大,收斂越快p=2

時稱為二階(平方)收斂,

特別地,令若則迭代過程在

的鄰近為

p階收斂。(1)若為線性收斂；則迭代過程在的鄰近(2)若定理3之根,在

的鄰域

U內有連續的

p階導數，則