2022-2023學年天津市濱海新區塘沽第一中學高二上學期期末數學試題（解析版）一?選擇題1.若直線過點（1，2），（4，2＋），則此直線的傾斜角是（）A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】A【解析】【分析】求出直線的斜率，由斜率得傾斜角．【詳解】由題意直線斜率為，所以傾斜角為．故選：A．2.三棱錐O﹣ABC中，M，N分別是AB，OC的中點，且＝，＝，＝，用，，表示，則等于（）A. B.C.） D.【答案】B【解析】【分析】根據空間向量運算求得正確答案.【詳解】.故選：B3.設平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，若平面平面，則實數的值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根據計算得解.【詳解】因為平面平面，，即，所以，解得：.故選：C.4.已知等差數列的前項和為，且，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據等差數列前項和公式以及等差數列的性質，可得與的關系式，即可求得結果.【詳解】根據等差數列前項和公式得，，由等差數列的性質可知所以即．故選：B.5.下列求導運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據基本初等函數的求導公式即可解得答案.【詳解】，A項錯誤；因為是個常數，所以，B項錯誤；，C項錯誤；，D項正確.故選：D.6.如圖，在直三棱柱中，已知，D為的中點，，則，所成角的余弦值是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標系，計算，，根據向量的夾角公式計算得到答案.【詳解】以A為原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，所以，，設，所成的角為，則．故選：C7.已知，是橢圓：的兩個焦點，過點且斜率為的直線與交于，兩點，則的周長為（）A.8 B. C. D.與有關【答案】C【解析】【分析】根據橢圓：可求得a，由橢圓的定義可得，，并且，進而即可求得的周長．【詳解】由橢圓：，則，即，又橢圓的定義可得，，且，所以的周長為．故選：C．8.已知雙曲線：的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出橢圓的焦點坐標，由雙曲線的漸近線及焦點坐標得到方程組，解得、，即可得解.【詳解】解：橢圓的焦點為，又雙曲線：的一條漸近線方程為，所以，解得，所以雙曲線方程為.故選：C9.已知等差數列的通項公式為，則其前n項和取得最大值時，n的值（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】C【解析】【分析】求出首項，求出的表達式，結合二次函數性質，即可求得答案.【詳解】由題意等差數列的通項公式為，則，故，即當時，取得最大值，即取得最大值時，n的值是4，故選：C.10.十二平均律是我國明代音樂理論家和數學家朱載堉發明的.明萬歷十二年（公元1584年），他寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論，這一成果被意大利傳教士利瑪竇通過絲綢之路帶到了西方，對西方音樂產生了深遠的影響.十二平均律的數學意義是：在1和2之間插入11個正數，使包含1和2的這13個數依次成遞增的等比數列，依此規則，新插入的第3個數應為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等比數列的通項公式進行求解即可．【詳解】根據題意，不妨設這13個數組成依次遞增的等比數列為，公比為，則，所以，即，所以新插入的第3個數為．故選：A11.已知數列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用累乘法即可求得.【詳解】因，所以，上述各式相乘得，因為，所以，經檢驗，滿足，所以.故選：D.12.已知拋物線的焦點為為上一點，且在第一象限，直線與的準線交于點，過點且與軸平行的直線與交于點，若，則線段的長度為（）A.4 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據拋物線的定義和幾何關系即可求解.【詳解】根據題意作出函數圖像，過點N作準線l的垂線，由拋物線的定義知，又，所以，所以，又與軸平行，所以由拋物線的定義知，所以三角形為等邊三角形，所以，故選:A.二?填空題13.拋物線的焦點坐標是______．【答案】【解析】【詳解】拋物線的焦點在軸上，且，所以拋物線的焦點坐標為，故答案為.14.設函數在處的導數為2，則__________.【答案】2【解析】【分析】根據導數的定義即得.【詳解】因為函數在處的導數為2，即，所以，故答案為：2.15.已知，若三向量共面，則實數=_____.【答案】【解析】【分析】由題意結合向量基本定理得到方程組，求解方程組即可確定的值.【詳解】由題意可知，存在實數滿足：，據此可得方程組：，求解方程組可得：.故答案為．【點睛】本題主要考查空間向量基本定理，方程的數學思想等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.16.已知雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離為，則其離心率為_______.【答案】2【解析】【分析】根據給定條件求出雙曲線的漸近線，再用點到直線的距離公式建立的等式計算作答【詳解】雙曲線的漸近線為：，即，由右焦點到一條漸近線的距離為，得：，即，解得，即，又，所以，所以雙曲線的離心率為2，故答案為：2.17.已知為坐標原點，點在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程為__________.【答案】【解析】【分析】設出中點坐標，圓上的點，由中點坐標公式把P的坐標用M的坐標表示，代入圓的方程得答案.【詳解】設點，點，則所以因為點在圓上，所以，所以，所以點M的軌跡方程為即，故答案為：.18.已知圓：與圓：相交，則兩個圓的公共弦方程為______，則兩圓的公共弦長為______．【答案】①.②.【解析】【分析】第一空：直接將兩圓聯立做差可得公共弦方程；第二空：利用垂徑定理可得公共弦長.【詳解】由圓：①與圓：②，②①得，即即兩個圓的公共弦方程為；兩圓的公共弦長即為圓：與相交產生的弦長則弦長為.故答案為：；.19.若空間中有三點，則到直線的距離為__________；點到平面的距離為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根向量夾角的余弦值和同角三角函數基本關系式可以求出第一空，根據點到平面的距離公式即可求出第二問.【詳解】,,所以，，所以所以所以則到直線的距離為設平面的法向量為，所以，令，解得，所以，，所以點到平面的距離為.故答案為：.20.已知數列的通項公式為，為數列的前n項和，則使得的n的最小值為___________.【答案】23【解析】【分析】根據數列通項公式的特點，分奇偶討論，利用并項求和表示其前n項和，再解不等式求得結果.【詳解】當n為奇數時，，，由解得；當n為偶數時，，，不合題意，舍去；綜上n的最小值為23.故答案：23．三?解答題21.已知圓經過和兩點，且圓心在軸正半軸上.（1）求圓的方程.（2）從點向圓作切線，求切線方程【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用待定系數法進行求解即可；（2）根據圓的切線性質，結合點到直線距離公式進行求解即可.【小問1詳解】因為圓的圓心在軸正半軸上，所以設圓的標準方程為，因為圓經過和兩點，所以；【小問2詳解】設過點的直線為，由（1）可知：圓的圓心為，半徑為1，當直線不存在斜率時，方程為，圓心到直線的距離為1等于半徑，所以直線是該圓的切線；當直線存在斜率時，設為，方程為，因為直線是該圓的切線，所以，即直線的方程為：，綜上所述：切線方程為或.22.如圖，在棱長為1的正方體中，是棱的中點，為的中點．（1）求證：平面（2）求直線和平面所成的角的正弦值．（3）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】以為原點，、、所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系．用向量法判定線面平行以及求空間角【小問1詳解】以為原點，、、所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系．依題意，得，，設面的法向量，，所以，取，得因為，所以．所以．又面．所以面．【小問2詳解】，設面法向量，，所以，取，得．因為，所以．所以直線和平面所成的角的正弦值為．【小問3詳解】由（1）?（2）可得，所以平面與平面夾角的余弦值為．23.已知正項等差數列與等比數列滿足，且既是和的等差中項，又是其等比中項.（1）求數列和的通項公式.（2）求數列的前項和.（3）設，記的前項和.若對于且恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據等差數列和等比數列的通項公式，結合等差中項和等比中項的定義進行求解即可；（2）運用裂項相消法進行求解即可；（3）運用錯位相減法，結合數列最小項的性質進行求解即可.【小問1詳解】設數列的公差為，數列的公比為，因為既是和的等差中項，所以有，所以，；【小問2詳解】由（1）可知：，所以；【小問3詳解】由（1）可知：，；，，，兩式相減，得：，由，因為且恒成立，所以由，設，，當且時，假設是最小項，則有，而，所以，，所以數列在且時，是最小項，因為對于且恒成立，所以有，即實數的取值范圍為.24.已知橢圓，離心率為分別為橢圓的左?右頂點，過焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為3.（1）求橢圓的標準方程.（2）當直線過橢圓的左焦點以及上頂點時，直線與橢圓交于另一點，求此時的弦長.（3）設直線過點，且與軸垂直，為直線上關于軸對稱的兩點，直線與橢圓相交于異于的點，直線與軸的交點為，當與的面積之差取得最大值時，求直線的方程.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）由題意列出方程組解出即可；（2）根據的坐標，計算直線的方程，聯立橢圓方程，解出,利用兩點間的距離公式計算即可.（3）根據題意直線的斜率存在且不為0，設直線方程，聯立解出點，根據對稱性得出點，在聯立直線與橢圓方程，解出點，然后求出直線方程，令，得，從而得到，由圖可知：與的面積之差為，利用三角形面積公式寫出，利用基本不等式求出最值，從而得直線的斜率.【小問1詳解】由橢圓的離心率為，所以，①又，②設過左焦點且垂直于軸的直線為：，代入中，結合②化簡得：，所以過左焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為：，③聯立①②③解得：，所以橢圓的標準方程為：.【小問2詳解】由（1）知所以直線的方程為：，即