廣東省梅州市新城中學2021年高三數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.各項均不為零的等差數列中，則等于（

）

A.4018

B.2009

C.2

D.0參考答案：A2.設拋物線x2=2py（P＞0），M為直線y=﹣2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B，A，B，M的橫坐標分別為XA，XB，XM則（）A．XA+XB=2XM B．XA?XB=XC．+= D．以上都不對參考答案：A【考點】拋物線的簡單性質．【分析】設出A，B的坐標，對拋物線的方程進行求導，求得AM和BM的斜率，因此可表示出MA的直線方程和直線MB的方程，聯立求得2xM=xA+xB，即可得出結論．【解答】解：由x2=2py得y=，得y′=，所以直線MA的方程為y+2p=（x﹣xM），直線MB的方程為y+2p=（x﹣xM），所以，+2p=（xA﹣xM）①，+2p=（xB﹣xM）②由①、②得2xM=xA+xB．故選A．3.已知集合U=R，集合A={x|1＜2x＜4}，B={x|x2﹣1≥0}則A∩（?UB）=（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|0＜x＜1|} C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x≤1}參考答案：B【考點】交、并、補集的混合運算．【分析】求出A與B中不等式的解集分別確定出A與B，找出A與B補集的交集即可．【解答】解：由A中不等式變形得：20=1＜2x＜4=22，解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由B中不等式變形得：（x+1）（x﹣1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥1，即B={x|x≤﹣1或x≥1}，∴?UB={x|﹣1＜x＜1}，則A∩（?UB）={x|0＜x＜1}，故選：B．4.已知函數，在[－3,3]的大致圖象如圖所示，則可取（

）A. B.π C.2π D.4π參考答案：B分析：從圖像可以看出為偶函數，結合的形式可判斷出為偶函數，故得的值，最后通過得到的值．詳解：為上的偶函數，而為上的偶函數，故為上的偶函數，所以．因為，故，．因，故，所以，．因，故，所以．綜上，，故選B．點睛：本題為圖像題，考察我們從圖形中撲捉信息的能力，一般地，我們需要從圖形得到函數的奇偶性、單調性、極值點和函數在特殊點的函數值，然后利用所得性質求解參數的大小或取值范圍．5.設等比數列{an}的前n項和為Sn，若Sm﹣1=5，Sm=﹣11，Sm+1=21，則m=(

) A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：C考點：等比數列的性質．專題：等差數列與等比數列．分析：根據等比數列的通項公式和前n項和公式，建立方程組即可解得m的值．解答： 解：在等比數列中，∵Sm﹣1=5，Sm=﹣11，Sm+1=21，∴am=Sm﹣Sm﹣1=﹣11﹣5=﹣16，am+1=Sm+1﹣Sm=21﹣（﹣11）=32，則公比q=，∵Sm=﹣11，∴，①又，②兩式聯立解得m=5，a1=﹣1，故選：C．點評：本題主要考查等比數列的通項公式和前n項和公式的計算和應用，考查學生的計算能力．6.已知命題，，則（）

Ａ．， Ｂ．，

Ｃ．，

Ｄ．，參考答案：C略7.在棱長為1的正方體中，分別是線段上的動點，則線段的最小值為（

）A

B

C

D參考答案：A略8.已知函數是冪函數且是上的增函數,則的值為（

）A．2 B．-1 C．-1或2 D．0

參考答案：【知識點】函數的性質及應用．B8

【答案解析】B

解析：因為函數f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3是冪函數，所以m2﹣m﹣1=1，即m2﹣m﹣2=0，解得m=2或m=﹣1．又因為冪函數在（0，+∞），所以﹣5m﹣3＞0，即m＜﹣，所以m=﹣1．故選B．【思路點撥】依題意利用冪函數的概念，由m2﹣m﹣1=1，且﹣5m﹣3＞0即可求得m的值．9.如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為(

)A． B．C． D．參考答案：A10.sin()=A.

B.

C.

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知正方形的四個頂點分別在曲線和上，如圖所示，若將一個質點隨機投入正方形ABCD中，則質點落在圖中陰影區域的概率是______.參考答案：與相交的陰影部分面積為化簡得則與相交的陰影面積為半圓即故質點落在圖中陰影區域的概率是

12.函數y=﹣x（x≥0）的最大值為

．參考答案：【考點】函數的最值及其幾何意義．【專題】計算題；導數的概念及應用．【分析】求出y′，討論自變量x的范圍討論函數單調性得到y的最大值即可．【解答】解：∵y=﹣x（x≥0），∴y′=﹣1，∴x∈（0，），y′＞0，x∈（，+∞），y′＜0，∴x=時，函數y=﹣x（x≥0）的最大值為．故答案為：．【點評】考查學生求導數的能力，利用導數研究函數單調性的能力，利用導數求閉區間上函數最值的能力．13.方程的曲線即為函數的圖象，對于函數，下列命題中正確的是

（填寫處所有正確命題的序號）

①函數在R上單調遞減函數；②函數的值域為R；③函數的圖象不經過第一象限；④函數至少存在一個零點。參考答案：①②③14.若向量，的夾角為120°，則=．參考答案：【考點】平面向量數量積的運算．【分析】利用已知條件通過向量的數量積轉化求解向量的模即可．【解答】解：向量，的夾角為120°，則===．故答案為：．【點評】本題考查平面向量的數量積的應用，向量的模的求法，考查計算能力．15.二項式(x3－)5的展開式中的常數項為

.參考答案：－1016.設是異面直線,給出下列四個命題：①存在平面,使；②存在惟一平面,使與距離相等；③空間存在直線,使上任一點到距離相等；④夾在異面直線間的三條異面線段的中點不能共線.其中正確命題的個數有.參考答案：答案:①②③17.已知函數，若關于的方程有三個不相等的實數根，則實數的取值范圍是

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.函數在一個周期內的圖象如圖所示，為圖象的最高點，、為圖象與軸的交點，且為正三角形（1）求的值及函數的值域；（2）若，且，求的值.參考答案：（1），；（2）試題分析：（1）利用兩角和正弦公式和降冪公式化簡，得到的形式，利用公式計算周期,求三角函數的最小正周期一般化成先化簡成，，形式，利用周期公式即可；（2）利用平方關系解決問題時，要注意開方運算結果的符號，需要根據角的范圍確定，二是利用誘導公式進行化簡時，（3）三角函數的給值求值的問題一般是正用公式將“復角”展開，看需要求相關角的哪些三角函數值，然后根據角的范圍求出相應角三角函數值，代入展開即可，注意角的范圍.試題解析：解：（1）由已知可得：又由于正三角形的高為2，則所以，函數所以，函數（2）因為（1）有

由所以，故.考點：1、求三角函數的值域；2、三角函數給值求值的問題.19.在平面直角坐標系xOy中，已知點A（﹣1，1），P是動點，且三角形POA的三邊所在直線的斜率滿足kOP+kOA=kPA．（I）求點P的軌跡C的方程；（Ⅱ）若Q是軌跡C上異于點P的一個點，且，直線OP與QA交于點M，問：是否存在點P使得△PQA和△PAM的面積滿足S△PQA=2S△PAM？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．參考答案：解：（Ⅰ）設點P（x，y）為所求軌跡上的任意一點，則由kOP+kOA=kPA得，，整理得軌跡C的方程為y=x2（x≠0且x≠﹣1）．（4分）（Ⅱ）方法一、設，由可知直線PQ∥OA，則kPQ=kOA，故，即x2+x1=﹣1，（6分）由O、M、P三點共線可知，與共線，∴，由（Ⅰ）知x1≠0，故y0=x0x1，（8分）同理，由與共線，∴，即（x2+1）[（x0+1）（x2﹣1）﹣（y0﹣1）]=0，由（Ⅰ）知x1≠﹣1，故（x0+1）（x2﹣1）﹣（y0﹣1）=0，（10分）將y0=x0x1，x2=﹣1﹣x1代入上式得（x0+1）（﹣2﹣x1）﹣（x0x1﹣1）=0，整理得﹣2x0（x1+1）=x1+1，由x≠﹣1得，（12分）由S△PQA=2S△PAM，得到QA=2AM，因為PQ∥OA，所以OP=2OM，由，得x1=1，∴P的坐標為（1，1）．（14分）方法二、設，由可知直線PQ∥OA，則kPQ=kOA，故，即x2=﹣x1﹣1，（6分）∴直線OP方程為：y=x1x①；（8分）直線QA的斜率為：，∴直線QA方程為：y﹣1=（﹣x1﹣2）（x+1），即y=﹣（x1+2）x﹣x1﹣1②；（10分）聯立①②，得，∴點M的橫坐標為定值．（12分）由S△PQA=2S△PAM，得到QA=2AM，因為PQ∥OA，所以OP=2OM，由，得x1=1，∴P的坐標為（1，1）．（14分）略20.在中，,,分別為內角,,的對邊，且．（1）求角；（2）若，求的值.參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）試題解析：解：（1）由，根據正弦定理，得，……2分因為，所以，

…………4分又，所以.

…………6分（2）因為，所以，所以，

又，所以.

…………8分又，即，所以

………12分.

…………14分考點：正弦定理，給值求值【方法點睛】三角函數求值的三種類型(1)給角求值：關鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數.(2)給值求值：關鍵是找出已知式與待求式之間的聯系及函數的差異.①一般可以適當變換已知式，求得另外函數式的值，以備應用；②變換待求式，便于將已知式求得的函數值代入，從而達到解題的目的.(3)給值求角：實質是轉化為“給值求值”，先求角的某一函數值，再求角的范圍，確定角.21.（12分）設為實數，函數，（1）討論的奇偶性；（2）求的最小值。參考答案：解析：（I）當時，函數此時，為偶函數當時，，，，此時既不是奇函數，也不是偶函數（II）（i）當時，當，則函數在上單調遞減，從而函數在上的最小值為．若，則函數