廣東省揭陽市東埔中學2022年高二數學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.從0，1，2，3，4，5這六個數中取兩個奇數和兩個偶數組成沒有重復數字的四位數的個數是（

）A．300

B．216

C.180

D．162參考答案：C2.過曲線（）上橫坐標為1的點的切線方程為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略3.已知直線的傾斜角為，則（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A4.已知函數f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，則a的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣1）參考答案：C【考點】利用導數研究函數的單調性；函數零點的判定定理；利用導數研究函數的極值．【分析】（i）當a=0時，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，兩個解，舍去．（ii）當a≠0時，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．對a分類討論：①當a＜0時，由題意可得；②當a＞0時，推出極值點不滿足題意，推出結果即可．【解答】解：（i）當a=0時，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，函數f（x）有兩個零點，舍去．（ii）當a≠0時，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．①當a＜0時，＜0，當x＜或x＞0時，f′（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減；當＜x＜0時，f′（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增．∴是函數f（x）的極小值點，0是函數f（x）的極大值點．∵函數f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零點x0，且x0＞0，則：，即：，可得a＜﹣2．②當a＞0時，＞0，當x＞或x＜0時，f′（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增；當0＜x＜時，f′（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減．∴是函數f（x）的極小值點，0是函數f（x）的極大值點．不滿足函數f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零點x0，且x0＞0，綜上可得：實數a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）．故選：C．5.若點P在橢圓上，F1、F2分別是橢圓的兩焦點，且∠F1PF2=90°，則△F1PF2的面積是(

)A．2 B．1 C． D．參考答案：B【考點】橢圓的簡單性質．【專題】計算題．【分析】由橢圓的定義可得m+n=2a=2①，Rt△F1PF2中，由勾股定理可得m2+n2=4②，由①②可得m?n的值，利用△F1PF2的面積是m?n求得結果．【解答】解：由橢圓的方程可得a=，b=1，c=1，令|F1P|=m、|PF2|=n，由橢圓的定義可得m+n=2a=2①，Rt△F1PF2中，由勾股定理可得（2c）2=m2+n2，m2+n2=4②，由①②可得m?n=2，∴△F1PF2的面積是m?n=1，故選B．【點評】本題考查橢圓的簡單性質和定義，以及勾股定理的應用．6.已知平面與平面相交，直線，則（

）A．內必存在直線與平行，且存在直線與垂直B．內不一定存在直線與平行，不一定存在直線與垂直C．內不一定存在直線與平行，但必存在直線與垂直D．內必存在直線與平行，不一定存在直線與垂直參考答案：C試題分析：作兩個相交平面，交線為，使得直線，假設內一定存在直線與平行，因為，而，所以直線，而，所以，這與平面與平面相交不一定垂直矛盾，所以內不一定存在直線與平行，因為直線，，所以，所以在內不一定存在直線與平行，但必存在直線與垂直，故選C．考點：線面位置關系的判定與證明．7.設平面向量=（1，2），=（-2，y），若

//，則|3十|等于（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A8.直線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0有兩個不同交點的一個必要而不充分條件是（） A．﹣3＜m＜1 B．﹣2＜m＜0 C．﹣4＜m＜2 D．﹣2＜m＜1參考答案：C【考點】直線與圓相交的性質． 【專題】計算題． 【分析】使直線與圓有兩個不同交點，需圓心（0，﹣1）到直線的距離小于半徑，進而根據點到直線的距離表示出圓心到直線的距離，求得m的范圍，進而可推斷出﹣3＜m＜1是直線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0有兩個不同交點的一個充要條件，排除A；當﹣2＜m＜0和﹣2＜m＜1時直線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0有兩個不同交點，故其是充分條件，排除B，D；﹣4＜m＜2時特別是﹣4＜m＜﹣3時，直線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0無交點，可知﹣4＜m＜2是直線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0有兩個不同交點的不充分條件；同時線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0有兩個不同交點時﹣3＜m＜1，可知﹣4＜m＜2是線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0有兩個不同交點的必要條件；進而可推斷出C正確． 【解答】解：要使直線與圓有兩個不同交點，需圓心（0，﹣1）到直線的距離小于半徑， 即＜，求得﹣3＜m＜1 ﹣3＜m＜1是直線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0有兩個不同交點的一個充要條件，故A不正確， 當﹣2＜m＜0和﹣2＜m＜1時直線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0有兩個不同交點，故其是充分條件，故B，D不正確； ﹣4＜m＜2時特別是﹣4＜m＜﹣3時，直線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0無交點，可知﹣4＜m＜2是直線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0有兩個不同交點的不充分條件；同時線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0有兩個不同交點時﹣3＜m＜1，可知﹣4＜m＜2是線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0有兩個不同交點的必要條件； 故選C 【點評】本題主要考查了直線與圓相交的性質和充分條件，必要條件和充分必要條件的判斷定．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力． 9.雙曲線的離心率為，則兩條漸近線的方程是(

)．(A)

(B)(C)

(D)參考答案：B10.等差數列中的是函數的極值點，則等于A.2 B.3 C.4 D.5參考答案：A

解析：.因為，是函數的極值點,所以，是方程的兩實數根,則.而為等差數列,所以,即,從而,選A.【思路點撥】利用導數即可得出函數的極值點，再利用等差數列的性質及其對數的運算法則即可得出．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知滿足，則的最小值為_

__.參考答案：212.寫出命題“”的否定：

．參考答案：13.一個直角梯形的兩底長分別為2和5，高為4，繞其較長的底旋轉一周，所得的幾何體的側面積為

。參考答案：14.已知向量＝（4，2），向量＝（x，3），且//,則x＝

參考答案：6；

15.在某次數學測驗中，學號的四位同學的考試成績，且滿足，則這四位同學的考試成績的所有可能情況的種數為________種.參考答案：15【分析】分兩類，按的情況，共有種，按的情況，共有種，再用分類計數原理求解.【詳解】從所給的5個成績中，任取4個，即可得到四位同學的考試成績，按的情況，共有種，從所給的5個成績中，任取3個，即可得到四位同學的考試成績，按的情況，共有種，綜上：滿足，這四位同學的考試成績的所有可能情況的種數為15種.故答案為：15【點睛】本題主要考查組合問題，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.16.若斜率互為相反數且相交于點P（1，1）的兩條直線被圓O：x2+y2=4所截的弦長之比為，則這兩條直線的斜率之積為．參考答案：﹣9或﹣【考點】J9：直線與圓的位置關系．【分析】設這兩條直線的斜率分別為k、﹣k，利用點斜式求得兩條弦所在的直線方程，求出各自的弦心距，再結合弦長之比為得到關于k的一元二次方程，求出k的值，即可求得方程的兩根之積．【解答】解：設這兩條直線的斜率分別為k、﹣k，則這兩條直線的方程分別為m：y﹣1=k（x﹣1），n：y﹣1=﹣k（x﹣1），即m：kx﹣y+1﹣k=0，n：kx+y﹣1﹣k=0．圓心O到直線m的距離為d==，可得弦長為2．圓心O到直線n的距離為d′==，可得弦長為2．再由弦長之比為=，即=，可得3k2﹣10k+3=0．求得k=3，或k=，∴當k=3時，這兩條直線的斜率之積為3×（﹣3）=﹣9；當k=時，兩條直線的斜率之積為×（﹣）=﹣，故答案為：﹣9或﹣．17.已知直線恒過定點，若點在直線上，則的最小值為

▲

.

參考答案：4略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在棱長為3的正方體中，.⑴求兩條異面直線與所成角的余弦值；⑵求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.參考答案：（1）以為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示,則,所以即兩條異面直線與所成角的余弦值為(2)設平面的一個法向量為由得，所以，則不妨取則19.已知，分別用“For”語句和“While”語句描述計算S這一問題的算法過程。參考答案：20.（本小題6分）已知函數滿足，且在區間和區間上分別單調。（Ⅰ）求解析式；（Ⅱ）若函數求的值。參考答案：解：（Ⅰ）∵，∴。①

1分又∵在區間和區間上分別單調，∴的對稱軸為，即。②由②得，。

2分把代入①得，。3分（Ⅱ）∵∴4分，5分∴。6分21.如圖是某直三棱柱（側棱與底面垂直）被削去一部分后的直觀圖與三視圖中的側(左)視圖、俯視圖，側(左)視圖是底邊長分別為2和4的直角梯形，俯視圖是直角邊長為2的等腰直角三角形．（Ⅰ）求出該幾何體的體積；（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面BCD；（Ⅲ）求直線CE與平面BDE的夾角正弦值．參考答案：解：（Ⅰ）由題意可知，四棱錐B－ACDE中，AE⊥平面ABC，∴AE⊥AB，又AB⊥AC，且AE和AC相交，所以，AB⊥平面ACDE，又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4，則四棱錐B－ACDE的體積為．……4分（Ⅱ）如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，

………5分設平面BDE和平面BCD的法向量分別為，取

………6分，取

………7分，∴平面BDE⊥平面BCD

………8分（Ⅲ），

………11分直線CE與平面BDE的夾角正弦值為

………12分略22.已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F（1，0）的距離減去它到y軸距離的差都是1．（1）求曲線C的方程；（2）是否存在整數m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有|FA|2+|FB|2＜|AB|2？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線與拋物線的位置關系．【分析】（1）設P（x，y）（x＞0）是曲線C上任意一點，列出方程求解即可．（2）設過點M（m，0）（m＞0）的直線l與曲線C的交點為A（x1，y1），B（x2，y2）．設l的方程為x=λy+m，聯立利用韋達定理，結合向量的數量積推出m2﹣6m+1＜4λ2，對任意實數λ，4λ2的最小值為0，轉化求解即可得到m的取值范圍．【解答】解：（1）設P（x，y）（x＞0）是曲線C上任意一點，那么點P（x，y）滿足：，化簡得y2=