廣東省廣州市汾水中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在正四面體P-ABC中，M是△ABC內(nèi)（含邊界）一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M到三個(gè)側(cè)面PAB、PBC、PCA的距離成等差數(shù)列，若線段BE，則點(diǎn)M的軌跡是（

）A.雙曲線的一部分 B.圓的一部分 C.一條線段 D.拋物線的一部分參考答案：C【分析】先設(shè)點(diǎn)到三個(gè)側(cè)面、、的距離依次為、、，正四面體各個(gè)面的面積為，體積為，用等體積法可得為常數(shù)，且等于高的三分之一，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)到三個(gè)側(cè)面、、的距離依次為、、，正四面體各個(gè)面的面積為，體積為，面PBC上的高為，由等體積法可得：，所以；因此，點(diǎn)應(yīng)該在過(guò)的中心且平行于的線段上.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中的軌跡問(wèn)題，熟記正四面體的結(jié)構(gòu)特征與體積公式即可，屬于常考題型.2.若條件則為的（）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件參考答案：A3.設(shè)k>1,則關(guān)于x、y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲線是

(

)A.長(zhǎng)軸在y軸上的橢圓

B.長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓C.實(shí)軸在y軸上的雙曲線

D.實(shí)軸在x軸上的雙曲線參考答案：C4.若函數(shù)在（0，1）內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是A. B. C. D.參考答案：D5.（多選題）若直線l與曲線滿足以下兩個(gè)條件：點(diǎn)在曲線上，直線l方程為；曲線在點(diǎn)附近位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l在點(diǎn)P處“切過(guò)”曲線C.下列選項(xiàng)正確的是（

）A.直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線B.直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線C.直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線D.直線點(diǎn)處“切過(guò)”曲線參考答案：AC【分析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷直線是否是曲線在點(diǎn)的切線方程，然后結(jié)合圖像判斷直線是否滿足“切過(guò)”，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，曲線，，，所以曲線在點(diǎn)的切線方程為，圖像如下圖所示，由圖可知直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線，故A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，曲線，，，所以曲線在點(diǎn)的切線方程為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，曲線，，，所以曲線在點(diǎn)的切線方程為，圖像如下圖所示，由圖可知直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線，故C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，曲線，，，所以曲線在點(diǎn)的切線方程為，圖像如下圖所示，由圖可知直線在點(diǎn)處沒(méi)有“切過(guò)”曲線，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】本小題主要考查曲線的切線方程，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.6.若非零向量，滿足||＝||，(2＋)·＝0，則與的夾角為（

）A．150°

B．120°

C．60°

D．30°參考答案：B7.拋物線y2=2x的焦點(diǎn)到直線x﹣y=0的距離是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用拋物線的方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得答案．【解答】解：拋物線y2=2x的焦點(diǎn)F（，0），由點(diǎn)到直線的距離公式可知：F到直線x﹣y=0的距離d==，故答案選：C．8.關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0有兩個(gè)不相等正根的充要條件是（）A．a(chǎn)＜﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a(chǎn)＜0 D．0＜a＜1參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0有兩個(gè)不相等正根的充要條件是：，解出即可得出．【解答】解：關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0有兩個(gè)不相等正根的充要條件是：，解得﹣1＜a＜0．故選：B．9.函數(shù)是定義在區(qū)間(0,+∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而將原不等式轉(zhuǎn)化為，，進(jìn)而求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則導(dǎo)數(shù)；函數(shù)在區(qū)間上，滿足，則有，則有，即函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；，則有，解可得：；即不等式的解集為；故選：D．【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了解不等式的問(wèn)題；解函數(shù)不等式問(wèn)題，可以直接通過(guò)函數(shù)的表達(dá)式得到結(jié)果，如果直接求解比較繁瑣，可以研究函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)等問(wèn)題，將函數(shù)值大小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自變量問(wèn)題.10.設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m是直線且m?α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】m∥β并得不到α∥β，根據(jù)面面平行的判定定理，只有α內(nèi)的兩相交直線都平行于β，而α∥β，并且m?α，顯然能得到m∥β，這樣即可找出正確選項(xiàng)．【解答】解：m?α，m∥β得不到α∥β，因?yàn)棣粒驴赡芟嘟唬灰猰和α，β的交線平行即可得到m∥β；α∥β，m?α，∴m和β沒(méi)有公共點(diǎn)，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分條件．故選B．【點(diǎn)評(píng)】考查線面平行的定義，線面平行的判定定理，面面平行的定義，面面平行的判定定理，以及充分條件、必要條件，及必要不充分條件的概念．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.圖1，2，3，4分別包含1，5，13和25個(gè)互不重疊的單位正方形，按同樣的方式構(gòu)造圖形，則第個(gè)圖包含______個(gè)互不重疊的單位正方形。參考答案：略12.過(guò)點(diǎn)P（2，3）且以＝（2，－6）為方向向量的直線的截距式方程為

。參考答案：13.甲、乙、丙、丁等人排成一列，甲和乙相鄰，丙和丁不相鄰的排法種數(shù)為

.參考答案：14414.（2014?馬山縣校級(jí)模擬）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn．參考答案：解：設(shè){an}的公比為q，由題意得：，解得：或，當(dāng)a1=3，q=2時(shí)：an=3×2n﹣1，Sn=3×（2n﹣1）；當(dāng)a1=2，q=3時(shí)：an=2×3n﹣1，Sn=3n﹣1．考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：設(shè)出等比數(shù)列的公比為q，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)已知得兩等式，得到關(guān)于首項(xiàng)與公比的二元一次方程組，求出方程組的解即可得到首項(xiàng)和公比的值，根據(jù)首項(xiàng)和公比寫出相應(yīng)的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式即可．解答：解：設(shè){an}的公比為q，由題意得：，解得：或，當(dāng)a1=3，q=2時(shí)：an=3×2n﹣1，Sn=3×（2n﹣1）；當(dāng)a1=2，q=3時(shí)：an=2×3n﹣1，Sn=3n﹣1．點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值，是一道基礎(chǔ)題．15.設(shè)函，則滿足的的取值范圍是

參考答案：16.命題的否定為__________

參考答案：17.已知條件；條件，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是_________

.

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.過(guò)原點(diǎn)作曲線y＝ex的切線，求切點(diǎn)的坐標(biāo)及切線的斜率．參考答案：略19.（本題12分）如圖：△ABC的角平分線AD的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn)E。①證明：AB·AC=AD·AE；②若△ABC的面積S=AD·AE，求∠BAC的大小。參考答案：證明：∵

∴

（2分）

∵

∴

（4分）

∴

∴

（6分）

(2)∵

(10分)

∴

90°

(12分)略20.（本小題滿分12分）2012年3月2日，國(guó)家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》.其中規(guī)定：居民區(qū)中的PM2.5年平均濃度不得超過(guò)35微克/立方米，PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過(guò)75微克/立方米.某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的24小時(shí)平均濃度的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（1）試確定x,y的值，并寫出該樣本的眾數(shù)和中位數(shù)（不必寫出計(jì)算過(guò)程）；

（2）完成相應(yīng)的頻率分布直方圖.（3）求出樣本的平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說(shuō)明理由.參考答案：解：(1)，-------------2分

眾數(shù)為22.5微克/立方米，中位數(shù)為37.5微克/立方米.----------4分

（2）其頻率分布直方圖如圖所示：

圖略-------------8分

(3)樣本的平均數(shù)為

--------10分

因?yàn)椋匀ツ暝摼用駞^(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn).--------------12分

略21.（本題滿分14分）已知命題p：函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)；命題q：關(guān)于x的方程x2－2ax＋4＝0有實(shí)數(shù)根．若p∧q為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：解：當(dāng)p為真命題時(shí)，a＞1．

……………3分當(dāng)q為真命題時(shí)，△＝4a2