廣東省廣州市華僑中學高二數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數在點處的導數是

(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D2.某單位為了了解用電量y(千瓦時)與氣溫x(℃)之間的關系，隨機統計了某4天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表：氣溫x(℃)181310－1用電量y(千瓦時)24343864由表中數據得線性回歸方程y＝bx＋a中b≈－2，預測當氣溫為－4℃時，用電量約為(

).A．58千瓦時

B．66千瓦時

C．68千瓦時

D．70千瓦時參考答案：C3.某人在打靶中，連續射擊2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(

)A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．兩次都不中靶 D．只有一次中靶參考答案：C【考點】互斥事件與對立事件．【專題】常規題型．【分析】事件“至少有一次中靶”包含兩次都中靶和兩次中有一次中靶，它的互斥事件是兩次都不中靶，實際上它的對立事件也是兩次都不中靶．【解答】解：∵事件“至少有一次中靶”包含兩次都中靶和兩次中有一次中靶，它的互斥事件是兩次都不中靶，故選C．【點評】本題考查互斥事件和對立事件，對立事件是指同一次試驗中，不會同時發生的事件，遇到求用至少來表述的事件的概率時，往往先求它的對立事件的概率．4.在△ABC中,tanA是以為第3項,4為第7項的等差數列的公差;tanB是以為第3項,9為第6項的等比數列的公比,則該三角形為（

）A．等腰三角形

B．銳角三角形C．直角三角形

D．鈍角三角形參考答案：B略5.已知向量=（2，﹣3），=（x，6），且，則|+|的值為（）A． B． C．5 D．13參考答案：B【考點】平行向量與共線向量；向量的模；平面向量的坐標運算．【分析】根據兩個向量平行的坐標表示求出x的值，然后運用向量的坐標加法運算求出兩個和向量的坐標，最后利用求模公式求模．【解答】解：由向量=（2，﹣3），=（x，6），且，則2×6﹣（﹣3）x=0，解得：x=﹣4．所以，則=（﹣2，3）．所以=．故選B．6.設命題則為(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：C7.設函數f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)為奇函數，則φ＝（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D8.已知函數，若是圖象的一條對稱軸的方程，則下列說法正確的是（

）A.圖象的一個對稱中心 B.在上是減函數C.的圖象過點 D.的最大值是A參考答案：A【分析】利用正弦函數對稱軸位置特征，可得值，從而求出解析式，利用的圖像與性質逐一判斷即可。【詳解】∵是圖象的一條對稱軸的方程，∴，又，∴，∴.圖象的對稱中心為，故A正確；由于的正負未知，所以不能判斷的單調性和最值，故B，D錯誤；，故C錯誤.故選A.【點睛】本題主要考查三角函數的圖像與性質。9.若-1，a,b,c,-9成等比數列，那么（

）A．b=3,ac=9

B．b=-3,ac=9

C．b=3,ac=-9

D．b=-3,ac=-9參考答案：B10.在各項都為正數的等比數列中，首項為3，前3項和為21，則（

）A、189

B、84

C、72

D、33參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.雙曲線的漸近線方程是

．參考答案：

12.已知的二項展開式中二項式系數的最大項是第3項和第4項，則的展開式中的常數項為___.參考答案：-112【分析】由二項式系數的最大項是第3項和第4項，求得，得到，再由二項展開式的通項，即可求解．【詳解】由題意，二項式的二項展開式中二項式系數的最大項是第3項和第4項，所以二項展開式共有6項，所以，則，又由二項式的展開式的通項為，令或，解得或，則展開式的常數項為．【點睛】本題主要考查了二項式定理的應用，其中解答中熟記二項式系數的最大項，以及二項展開式的通項，合理準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．13.過拋物線C：y2=4x的焦點F作直線l將拋物線C于A、B，若|AF|=4|BF|，則直線l的斜率是

．參考答案：【考點】KN：直線與拋物線的位置關系．【分析】由拋物線方程求出拋物線的焦點坐標，設出直線l的方程，和拋物線方程聯立，化為關于y的一元二次方程后利用根與系數的關系得到A，B兩點縱坐標的和與積，結合|AF|=3|BF|，轉化為關于直線斜率的方程求解．【解答】解：∵拋物線C方程為y2=4x，可得它的焦點為F（1，0），∴設直線l方程為y=k（x﹣1），由，消去x得y2﹣y﹣k=0．設A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=﹣4①．∵|AF|=4|BF|，∴y1+4y2=0，可得y1=﹣4y2，代入①得﹣3y2=，且﹣4y22=﹣4，解得y2=±1，解，得k=±．故答案為：．14.設,則代數式=_________參考答案：【分析】由二項展開式，兩邊求導得，令，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，可知，兩邊求導可得：，令，可得，故答案為：.【點睛】本題主要考查了二項式定理的性質及其應用，以及導數的應用，其中解答中對二項展開式兩邊求導，再，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.15.一組數據的平均數是3，將這組數據中的每一個數據都乘以2，所得到的一組數據的平均數是

▲

.參考答案：6略16.對于等差數列{an}有如下命題：“若{an}是等差數列，a1=0，s、t是互不相等的正整數，則有（s﹣1）at﹣（t﹣1）as=O”．類比此命題，給出等比數列{bn}相應的一個正確命題是：“

”．參考答案：若{bn}是等比數列，b1=1，s、t是互不相等的正整數，則有【考點】類比推理．【分析】仔細分析題干中給出的不等式的結論“若{an}是等差數列，且a1=0，s、t是互不相等的正整數，則（s﹣1）at﹣（t﹣1）as=0”的規律，結合等差數列與等比數列具有類比性，且等差數列與和差有關，等比數列與積商有關，因此等比數列類比到等差數列的：成立．【解答】解：等差數列中的bn和am可以類比等比數列中的bn和am，等差數列中的（s﹣1）at可以類比等比數列中的ats﹣1，等差數列中的“差”可以類比等比數列中的“商”．等差數列中的“a1=0”可以類比等比數列中的“b1=1”．故故答案為：若{bn}是等比數列，b1=1，s、t是互不相等的正整數，則有．17.設復數（為虛數單位），則的虛部是

．參考答案：-1

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直角梯形PBCD中，，A為PD的中點，如圖．將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，點E在SD上，且，如圖．（Ⅰ）求證：SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．參考答案：【分析】（法一）（1）由題意可知，翻折后的圖中SA⊥AB①，易證BC⊥SA②，由①②根據直線與平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；（2）（三垂線法）由考慮在AD上取一點O，使得，從而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，過O作OH⊥AC交AC于H，連接EH，∠EHO為二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可（法二：空間向量法）（1）同法一（2）以A為原點建立直角坐標系，易知平面ACD的法向為，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可【解答】解法一：（1）證明：在題平面圖形中，由題意可知，BA⊥PD，ABCD為正方形，所以在翻折后的圖中，SA⊥AB，SA=2，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，因為SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B所以BC⊥平面SAB，又SA?平面SAB，所以BC⊥SA，又SA⊥AB，BC∩AB=B所以SA⊥平面ABCD，（2）在AD上取一點O，使，連接EO因為，所以EO∥SA因為SA⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，過O作OH⊥AC交AC于H，連接EH，則AC⊥平面EOH，所以AC⊥EH．所以∠EHO為二面角E﹣AC﹣D的平面角，．在Rt△AHO中，∴，即二面角E﹣AC﹣D的正切值為解法二：（1）同方法一（2）解：如圖，以A為原點建立直角坐標系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）∴平面ACD的法向為設平面EAC的法向量為=（x，y，z），由，所以，可取所以=（2，﹣2，1）．所以所以即二面角E﹣AC﹣D的正切值為19.設,函數，若的解集為，求實數的取值范圍（10分）參考答案：（1）當時滿足條件；---------------------------------------------2分（2）當時，解得；------------=----------------------3分（3）當時，對稱軸，，解得，------------3分綜上--------------------------------------------------------------2分20.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），經過點P（，），離心率e=．（1）求橢圓C的標準方程．（2）過點Q（0，）的直線與橢圓交于A、B兩點，與直線y=2交于點M（直線AB不經過P點），記PA、PB、PM的斜率分別為k1、k2、k3，問：是否存在常數λ，使得+=？若存在，求出λ的值：若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】KH：直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（1）由已知條件設橢圓C的方程為，再由橢圓經過點P（，），能求出橢圓C的標準方程．（2）當直線AB斜率不存在時，有，λ=2；當直線AB斜率k存在時，設A（x1，y1），B（x2，y2），設直線AB：，則，聯立，得（1+4k2）x2+4kx﹣3=0，利用韋達定理結合題設條件能推導出，故存在常數λ=2符合題意．【解答】解：（1）∵橢圓C：+=1（a＞b＞0），離心率e=，∴，，∴a2=4b2，∴橢圓方程為，∵橢圓經過點P（，），∴，解得b2=1，∴橢圓C的標準方程．…（2）當直線AB斜率不存在時，，有，∴λ=2，…當直線AB斜率k存在時，由已知有k≠0，設A（x1，y1），B（x2，y2），設直線AB：，則，…聯立，得（1+4k2）x2+4kx﹣3=0，∴…∴=，…∵…∴，∴λ=2，故存在常數λ=2符合題意．…21.等比數列的首項，前n項和為，且且數列各項均為正數.

(1)求的通項；(2)求的前n項和.參考答案：解：（Ⅰ）由

得

Ks5u即可得因為，所以

解得，因而