第三章統計案例回歸分析的基本思想及其初步應用第1課時線性回歸模型A級基礎鞏固一、選擇題1．有下列說法：①線性回歸分析就是由樣本點去尋找一條直線，貼近這些樣本點的數學方法；②利用樣本點的散點圖可以直觀判斷兩個變量的關系是否可以用線性關系表示；③通過回歸方程eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^))及其回歸系數b，可以估計和觀測變量的取值和變化趨勢；④因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關性檢驗．其中正確說法的個數是()A．1B．2C．3D．解析：①反映的是最小二乘法思想，故正確．②反映的是畫散點圖的作用，也正確．③反映的是回歸模型y＝bx＋a＋e，其中e為隨機誤差，故也正確．④不正確，在求回歸方程之前必須進行相關性檢驗，以體現兩變量的關系．答案：C2．設兩個變量x和y之間具有線性相關關系，它們的相關系數是r，y關于x的回歸直線的斜率是b，縱軸上的截距是a，那么必有()A．b與r的符號相同B．a與r的符號相同C．b與r的符號相反D．a與r的符號相反解析：因為b＞0時，兩變量正相關，此時r＞0；b＜0時，兩變量負相關，此時r＜0.答案：A3．實驗測得四組(x，y)的值為(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，則y與x之間的回歸直線方程為()\o(y,\s\up12(^))＝x＋1 \o(y,\s\up12(^))＝x＋2\o(y,\s\up12(^))＝2x＋1 \o(y,\s\up12(^))＝x－1解析：求出樣本中心(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y)))代入選項檢驗知選項A正確．答案：A4．設某大學的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系．根據一組樣本數據(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝－，則下列結論中不正確的是()A．y與x具有正的線性相關關系B．回歸直線過樣本點的中心(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y)))C．若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加D．若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為解析：回歸方程中x的系數為＞0，因此y與x具有正的線性相關關系，A正確；由回歸方程系數的意義可知回歸直線過樣本點的中心eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))，B正確；依據回歸方程中y的含義可知，x每變化1個單位，y相應變化約個單位，C正確；用回歸方程對總體進行估計不能得到肯定的結論，故D錯誤．答案：D5．(2023·福建卷)為了解某社區居民的家庭年收入與年支出的關系，隨機調查了該社區5戶家庭，得到如下統計數據表：收入x/萬元支出y/萬元根據上表可得回歸直線方程eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^))，其中eq\o(b,\s\up12(^))＝，eq\o(a,\s\up12(^))＝y－eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，.據此估計，該社區一戶年收入為15萬元家庭的年支出為()A．萬元 B．萬元C．萬元 D．萬元解析：由已知得eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝eq\f＋＋＋＋,5)＝10(萬元)，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝eq\f＋＋＋＋,5)＝8(萬元)，故eq\o(a,\s\up12(^))＝8－×10＝.所以回歸直線方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝＋，社區一戶年收入為15萬元家庭年支出為eq\o(y,\s\up12(^))＝＋，社區一戶年收入為15萬元家庭支出為eq\o(y,\s\up12(^))＝×15＋＝(萬元)．答案：B二、填空題6．今年一輪又一輪的寒潮席卷全國．某商場為了了解某品牌羽絨服的月銷售量y(單位：件)與月平均氣溫x(單位：℃)之間的關系，隨機統計了某4個月的月銷售量與當月平均氣溫，數據如下表所示：月平均氣溫x/℃171382月銷售y/件24334055由表中數據算出線性回歸方程eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^))中的eq\o(b,\s\up12(^))＝－2.氣象部門預測下個月的平均氣溫約為6℃，據此估計，該商場下個月該品牌羽絨服的銷售量的件數約為________．解析：由表格得(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y)))為(10，38)，又(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y)))在回歸直線eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^))上，且eq\o(b,\s\up12(^))＝－2，所以38＝－2×10＋eq\o(a,\s\up12(^))，eq\o(a,\s\up12(^))＝58，所以eq\o(y,\s\up12(^))＝－2x＋58，當x＝6時，eq\o(y,\s\up12(^))＝－2×6＋58＝46.答案：467．面對競爭日益激烈的消費市場，眾多商家不斷擴大自己的銷售市場，以降低生產成本．某白酒釀造企業市場部對該企業9月份的產品銷量(單位：千箱)與單位成本(單位：元)的資料進行線性回歸分析，結果如下：eq\o(a,\s\up12(^))＝71－(－2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))eq\s\up12(2)≈，則銷量每增加1千箱，單位成本下降________元．解析：由已知可得，eq\o(y,\s\up12(^))＝－2x＋，銷量每增加1千箱，則單位成本下降2元．答案：28．已知一個線性回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝＋45，其中x的取值依次為1，7，5，13，19，則eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝________．解析：eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝eq\f(1＋7＋5＋13＋19,5)＝9，因為回歸直線方程過點(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y)))，所以eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝＋45＝×9＋45＝.答案：三、解答題9．某醫院用光電比色計檢驗尿汞時，得尿汞含量x(單位：mg/L)與消光系數y讀數的結果如下：尿汞含量x246810消光系數y64138205285360(1)畫出散點圖；(2)求回歸方程．解：(1)散點圖如圖所示：(2)由圖可知y與x的樣本點大致分布在一條直線周圍，因此可以用線性回歸方程來擬合它．設回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^)).故所求的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝－.10．某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統計數據：年份20232023202320232023需求量/萬噸236246257276286(1)利用所給數據求年需求量與年份之間的回歸直線方程eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^))；(2)利用(1)中所求出的直線方程預測該地2023年的糧食需求量．解：(1)由所給數據看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來求回歸直線方程．為此對數據預處理如下：年份2023年－4－2024需求量257萬噸－21－1101929對預處理后的數據，容易算得eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝0，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝.所以eq\o(b,\s\up12(^))＝eq\f(（－4）×（－21）＋（－2）×（－11）＋2×19＋4×29,42＋22＋22＋42)＝，eq\o(a,\s\up12(^))＝eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))－eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝.由上述計算結果，知所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up12(^))－257＝eq\o(b,\s\up12(^))(x－2012)＋eq\o(a,\s\up12(^))＝(x－2012)＋，即eq\o(y,\s\up12(^))＝(x－2012)＋.①(2)利用直線方程①，可預測2023年的糧食需求量為eq\o(y,\s\up12(^))＝×(2018－2012)＋＝×6＋＝(萬噸)≈300(萬噸)．B級能力提升1．某考察團對全國10大城市進行職工人均工資水平x(單位：千元)與居民人均消費水平y(單位：千元)統計調查，y與x具有相關關系，回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝＋，若某城市居民人均消費水平為(單位：千元)，估計該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為()A．83%B．72%C．67%D．66%解析：因為當eq\o(y,\s\up12(^))＝時，x＝eq\f－,≈，所以eq\f,≈≈83%.答案：A2．為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x(單位：小時)與當天投籃命中率y之間的關系：時間x12345命中率y小李這5天的平均投籃命中率為________，用線性回歸分析的方法，預測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率為________．解析：這5天的平均投籃命中率為eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝eq\f＋＋＋＋,5)＝，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3.所以eq\o(b,\s\up12(^))＝eq\f,10)＝，eq\o(a,\s\up12(^))＝eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))－eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝.所以回歸直線方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝＋.當x＝6時，eq\o(y,\s\up12(^))＝×6＋＝.答案：3．某市垃圾處理廠的垃圾年處理量(單位：千萬噸)與資金投入量x(單位：千萬元)有如下統計數據：分類2023年2023年2023年2023年2023年資金投入量x/千萬元垃圾處理量y/千萬噸(1)若從統計的5年中任取2年，求這2年的垃圾處理量至少有一年不低于千萬噸的概率；(2)由表中數據求得線性回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝4x＋eq\o(a,\s\up12(^))，該垃圾處理廠計劃2023年的垃圾處理量不低于千萬噸，現由垃圾處理廠決策部門獲悉2023年的資金投入量約為千萬元，請你預測2023年能否完成垃圾處理任務，若不能，缺口約為多少千萬噸？解：(1)從統計的5年垃圾處理量中任取2年的基本事件共10個：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中垃圾處理量至少有一年不低于千萬噸的基本事件有6個：，，，，，，，，，，，．所以，這2年的垃圾處理量至少有一年不低于千萬噸的概率為P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝eq\f＋＋＋＋,5)＝，eq\o(\s\up12(—)