第三章統(tǒng)計案例回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用第1課時線性回歸模型A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．有下列說法：①線性回歸分析就是由樣本點去尋找一條直線，貼近這些樣本點的數(shù)學(xué)方法；②利用樣本點的散點圖可以直觀判斷兩個變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示；③通過回歸方程eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^))及其回歸系數(shù)b，可以估計和觀測變量的取值和變化趨勢；④因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關(guān)性檢驗．其中正確說法的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．解析：①反映的是最小二乘法思想，故正確．②反映的是畫散點圖的作用，也正確．③反映的是回歸模型y＝bx＋a＋e，其中e為隨機誤差，故也正確．④不正確，在求回歸方程之前必須進行相關(guān)性檢驗，以體現(xiàn)兩變量的關(guān)系．答案：C2．設(shè)兩個變量x和y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是r，y關(guān)于x的回歸直線的斜率是b，縱軸上的截距是a，那么必有()A．b與r的符號相同B．a(chǎn)與r的符號相同C．b與r的符號相反D．a(chǎn)與r的符號相反解析：因為b＞0時，兩變量正相關(guān)，此時r＞0；b＜0時，兩變量負相關(guān)，此時r＜0.答案：A3．實驗測得四組(x，y)的值為(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，則y與x之間的回歸直線方程為()\o(y,\s\up12(^))＝x＋1 \o(y,\s\up12(^))＝x＋2\o(y,\s\up12(^))＝2x＋1 \o(y,\s\up12(^))＝x－1解析：求出樣本中心(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y)))代入選項檢驗知選項A正確．答案：A4．設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝－，則下列結(jié)論中不正確的是()A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點的中心(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y)))C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加D．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為解析：回歸方程中x的系數(shù)為＞0，因此y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；由回歸方程系數(shù)的意義可知回歸直線過樣本點的中心eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))，B正確；依據(jù)回歸方程中y的含義可知，x每變化1個單位，y相應(yīng)變化約個單位，C正確；用回歸方程對總體進行估計不能得到肯定的結(jié)論，故D錯誤．答案：D5．(2023·福建卷)為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：收入x/萬元支出y/萬元根據(jù)上表可得回歸直線方程eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^))，其中eq\o(b,\s\up12(^))＝，eq\o(a,\s\up12(^))＝y(tǒng)－eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，.據(jù)此估計，該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為()A．萬元 B．萬元C．萬元 D．萬元解析：由已知得eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝eq\f＋＋＋＋,5)＝10(萬元)，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝eq\f＋＋＋＋,5)＝8(萬元)，故eq\o(a,\s\up12(^))＝8－×10＝.所以回歸直線方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝＋，社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭年支出為eq\o(y,\s\up12(^))＝＋，社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭支出為eq\o(y,\s\up12(^))＝×15＋＝(萬元)．答案：B二、填空題6．今年一輪又一輪的寒潮席卷全國．某商場為了了解某品牌羽絨服的月銷售量y(單位：件)與月平均氣溫x(單位：℃)之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4個月的月銷售量與當月平均氣溫，數(shù)據(jù)如下表所示：月平均氣溫x/℃171382月銷售y/件24334055由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^))中的eq\o(b,\s\up12(^))＝－2.氣象部門預(yù)測下個月的平均氣溫約為6℃，據(jù)此估計，該商場下個月該品牌羽絨服的銷售量的件數(shù)約為________．解析：由表格得(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y)))為(10，38)，又(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y)))在回歸直線eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^))上，且eq\o(b,\s\up12(^))＝－2，所以38＝－2×10＋eq\o(a,\s\up12(^))，eq\o(a,\s\up12(^))＝58，所以eq\o(y,\s\up12(^))＝－2x＋58，當x＝6時，eq\o(y,\s\up12(^))＝－2×6＋58＝46.答案：467．面對競爭日益激烈的消費市場，眾多商家不斷擴大自己的銷售市場，以降低生產(chǎn)成本．某白酒釀造企業(yè)市場部對該企業(yè)9月份的產(chǎn)品銷量(單位：千箱)與單位成本(單位：元)的資料進行線性回歸分析，結(jié)果如下：eq\o(a,\s\up12(^))＝71－(－2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))eq\s\up12(2)≈，則銷量每增加1千箱，單位成本下降________元．解析：由已知可得，eq\o(y,\s\up12(^))＝－2x＋，銷量每增加1千箱，則單位成本下降2元．答案：28．已知一個線性回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝＋45，其中x的取值依次為1，7，5，13，19，則eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝________．解析：eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝eq\f(1＋7＋5＋13＋19,5)＝9，因為回歸直線方程過點(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y)))，所以eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝＋45＝×9＋45＝.答案：三、解答題9．某醫(yī)院用光電比色計檢驗?zāi)蚬瘯r，得尿汞含量x(單位：mg/L)與消光系數(shù)y讀數(shù)的結(jié)果如下：尿汞含量x246810消光系數(shù)y64138205285360(1)畫出散點圖；(2)求回歸方程．解：(1)散點圖如圖所示：(2)由圖可知y與x的樣本點大致分布在一條直線周圍，因此可以用線性回歸方程來擬合它．設(shè)回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^)).故所求的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝－.10．某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份20232023202320232023需求量/萬噸236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^))；(2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測該地2023年的糧食需求量．解：(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來求回歸直線方程．為此對數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：年份2023年－4－2024需求量257萬噸－21－1101929對預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝0，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝.所以eq\o(b,\s\up12(^))＝eq\f(（－4）×（－21）＋（－2）×（－11）＋2×19＋4×29,42＋22＋22＋42)＝，eq\o(a,\s\up12(^))＝eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))－eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝.由上述計算結(jié)果，知所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up12(^))－257＝eq\o(b,\s\up12(^))(x－2012)＋eq\o(a,\s\up12(^))＝(x－2012)＋，即eq\o(y,\s\up12(^))＝(x－2012)＋.①(2)利用直線方程①，可預(yù)測2023年的糧食需求量為eq\o(y,\s\up12(^))＝×(2018－2012)＋＝×6＋＝(萬噸)≈300(萬噸)．B級能力提升1．某考察團對全國10大城市進行職工人均工資水平x(單位：千元)與居民人均消費水平y(tǒng)(單位：千元)統(tǒng)計調(diào)查，y與x具有相關(guān)關(guān)系，回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝＋，若某城市居民人均消費水平為(單位：千元)，估計該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為()A．83%B．72%C．67%D．66%解析：因為當eq\o(y,\s\up12(^))＝時，x＝eq\f－,≈，所以eq\f,≈≈83%.答案：A2．為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x(單位：小時)與當天投籃命中率y之間的關(guān)系：時間x12345命中率y小李這5天的平均投籃命中率為________，用線性回歸分析的方法，預(yù)測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率為________．解析：這5天的平均投籃命中率為eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝eq\f＋＋＋＋,5)＝，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3.所以eq\o(b,\s\up12(^))＝eq\f,10)＝，eq\o(a,\s\up12(^))＝eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))－eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝.所以回歸直線方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝＋.當x＝6時，eq\o(y,\s\up12(^))＝×6＋＝.答案：3．某市垃圾處理廠的垃圾年處理量(單位：千萬噸)與資金投入量x(單位：千萬元)有如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：分類2023年2023年2023年2023年2023年資金投入量x/千萬元垃圾處理量y/千萬噸(1)若從統(tǒng)計的5年中任取2年，求這2年的垃圾處理量至少有一年不低于千萬噸的概率；(2)由表中數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝4x＋eq\o(a,\s\up12(^))，該垃圾處理廠計劃2023年的垃圾處理量不低于千萬噸，現(xiàn)由垃圾處理廠決策部門獲悉2023年的資金投入量約為千萬元，請你預(yù)測2023年能否完成垃圾處理任務(wù)，若不能，缺口約為多少千萬噸？解：(1)從統(tǒng)計的5年垃圾處理量中任取2年的基本事件共10個：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中垃圾處理量至少有一年不低于千萬噸的基本事件有6個：，，，，，，，，，，，．所以，這2年的垃圾處理量至少有一年不低于千萬噸的概率為P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝eq\f＋＋＋＋,5)＝，eq\o(\s\up12(—)