專題十三電場的性質一、考點分析一、考點分析1．近幾年對本知識點的的考查，主要集中在三個角度：通過點電荷形成的電場考查電場力的性質與能的性質；結合帶電粒子的運動軌跡、電場線、等勢面的關系考查電場的性質；通過圖象考查公式U＝Ed的應用。2．幾點注意：(1)電場疊加問題要注意矢量性與對稱性；(2)在勻強電場中，平行線上距離相等的兩點間電勢差相等；(3)在圖象問題中，一般從圖象的“點、線、面、斜”四個方向理解，φ－x圖象中斜率表示場強，E－x圖象中面積表示電勢差。二、考題再現二、考題再現典例1.(2023?全國I卷?15)如圖，空間存在一方向水平向右的勻強磁場，兩個帶電小球P和Q用相同的絕緣細繩懸掛在水平天花板下，兩細繩都恰好與天花板垂直，則()A．P和Q都帶正電荷B．P和Q都帶負電荷C．P帶正電荷，Q帶負電荷D．P帶負電荷，Q帶正電荷【解析】根據兩細繩都恰好與天花板垂直說明兩小球水平方向都處于平衡狀態。設勻強電場場強為E，P所帶電荷量大小為q，Q所帶電荷量大小為q'。若P帶負電，對P分析如圖甲所示，此時Q應帶正電，對Q分析如圖乙所示，兩細繩可與天花板垂直，符合題意；同理分析若P帶正電，不符合題意。故選D。【答案】D典例2.(2023?全國III卷?21)如圖，電荷量分別為q和－q（q＞0）的點電荷固定在正方體的兩個頂點上，a、b是正方體的另外兩個頂點。則()A．a點和b點的電勢相等B．a點和b點的電場強度大小相等C．a點和b點的電場強度方向相同D．將負電荷從a點移到b點，電勢能增加【解析】由點電荷產生的電勢分布可知q在a點產生的電勢低于在b點產生的電勢，－q在a點產生的電勢也低于在b點產生的電勢，故φa＜φb，再由Ep＝qφ可知負電荷在a、b兩點的電勢能Epa＞Epb，故A、D均錯誤。由點電荷的場強分布可知q在a點產生的場強與－q在b點產生的場強完全相同，q在b點產生的場強與－q在a點產生的場強也完全相同，故a點與b點的總場強也完全相同，B、C均正確。【答案】BC三、對點速練三、對點速練1．如圖所示，不帶電的金屬球B接地，在B球附近放置一個帶正電q的小球A，A的重力不計。現由靜止開始釋放A球，在A運動過程中下列說法正確的是()A．A向B做勻加速運動B．B球的電勢不斷增加C．B球上感應電荷數保持不變D．A、B球上電荷相互作用電勢能不斷減小【答案】D【解析】由于靜電感應，金屬球B表面感應出現負電荷，A向B運動，根據F＝keq\f(qAqB,x2)可得金屬球B對A作用力變大，根據F=ma可得A的加速度變大，故選項A錯誤；由于金屬球B接地，B球的電勢為零，故選項B錯誤；A向B靠近，B球上感應電荷數增大，故選項C錯誤；A向B運動，電場力做正功，所以A、B球上電荷相互作用電勢能不斷減小，故選項D正確。2．兩個固定的等量異種點電荷所形成電場的等勢面如圖中虛線所示，一帶電粒子以某一速度從圖中a點進入電場，其運動軌跡為圖中實線所示，若粒子只受靜電力作用，則下列關于帶電粒子的判斷正確的是()A．粒子帶正電B．b點和d點的電場強度相同C．粒子的動能先減小后增大D．粒子在a點的電勢能大于在c點的電勢能【答案】C【解析】根據兩個固定的等量異種點電荷所形成電場的等勢面的特點可得，該圖中的等勢面中，正電荷在上方，負電荷在下方；從粒子運動軌跡看出，軌跡向上彎曲，可知帶電粒子受到了向上的力的作用，所以粒子帶負電，故A錯誤；在電場中等勢面與電場線是垂直的，由圖可知，b、d兩點彎曲的方向不同，則過b、d兩點，與-5V的等勢面垂直的電場線的方向是不同的，所以b、d兩點電場強度是不同的，故B錯誤；粒子從a→b→c過程中，電場力做負功，c→d→e過程中，電場力做正功。粒子在靜電場中電場力先做負功后做正功，電勢能先增大后減小，動能先減小后增大，故C正確；粒子從a→b→c過程中，電場力做負功，電勢增大，故D錯誤。3．(多選)在x軸上有兩個點電荷q1、q2，其靜電場的電勢φ在x軸上分布如圖所示。下列說法正確的有()A．q1和q2帶有異種電荷B．x1處的電場強度為零C．負電荷從x1移到x2，電勢能減小D．負電荷從x1移到x2，受到的電場力增大【答案】AC【解析】由題圖可知，空間的電勢有正有負，且只有一個極值，則兩個點電荷必定為異種電荷，A項正確；由E＝eq\f(Δφ,Δx)可知，φ－x圖象的切線斜率表示電場強度，因此x1處的電場強度不為零，B項錯誤；負電荷從x1移到x2的過程中，電勢升高，電場強度減小，由Ep＝qφ，F＝qE可知，電勢能減小，受到的電場力減小，C項正確，D項錯誤。4．(多選)如圖所示，帶電小球A、B的電荷分別為QA、QB，OA＝OB，都用長L的絲線懸掛在O點。靜止時A、B相距為d。為使平衡時AB間距離減為eq\f(d,2)，可采用的方法有()A．將小球A、B的質量都增加到原來的2倍B．將小球B的質量增加到原來的8倍C．將小球A、B的電荷量都減小到原來的一半D．將小球A、B的電荷量都減小到原來的一半，同時將小球B的質量增加到原來的2倍【答案】BD【解析】如圖所示，B受重力、繩子的拉力及庫侖力；將拉力及庫侖力合成，其合力應與重力大小相等、方向相反；由幾何關系可知，eq\f(mBg,L)＝eq\f(F,d)，而庫侖力F＝eq\f(kQAQB,d2)；即eq\f(mBg,L)＝eq\f(\f(kQAQB,d2),d)＝keq\f(QAQB,d3)，即mBgd3＝kQAQBL，要使d變為eq\f(d,2)，可以使B球質量增大到原來的8倍而保證上式成立，故A錯誤，B正確；或將小球A、B的電荷量都減小到原來的一半，同時小球B的質量增加到原來的2倍，也可保證等式成立，故C錯誤，D正確。5．某真空區域的豎直平面內存在電場，其中一條豎直電場線如圖中豎直實線（方向未知）。一個質量為m電荷量為q的帶正小球，在電場中從O點以一定的初速度v0水平向右拋出，其軌跡如圖甲中虛線所示。以O為坐標原點，取豎直向下為x軸的正方向，A點是軌跡上的一點，其x方向坐標值是x1，小球的機械能E與豎直方向的位移x的關系如圖乙，不計空氣阻力。則下列說法正確的是()A．電場強度大小恒定，方向沿x軸負方向B．從O到A的過程中，小球的速率越來越大，所受的電場力越來越大C．從O到A的過程中小球的電勢能越來越大D．到達A位置時，小球的動能為mgx1－E1＋E2＋eq\f(1,2)mv02【答案】C【解析】物體的機械能逐漸減小，電場力對小球做負功，故電場強度方向向上，即沿x軸負方向。再根據機械能的變化關系可知，相等位移電場力做功越來越小，說明電場力減小，故電場強度不斷減小，根據牛頓第二定律可知，物體受重力與電場力，電場力向上，重力向下，開始時重力大于電場力，電場力越來越小，故合力越來越大，加速度越來越大，速度越來越大，故AB錯誤；從O到A的過程中，小球所受的電場力一直做負功，則小球的電勢能越來越大，選項C正確；到達A位置時，機械能變化量為：E1－E2=eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv02－mgx1，解得eq\f(1,2)mv2=eq\f(1,2)mv02＋mgx1＋E1－E2，選項D錯誤。6．(多選)如圖所示，在真空中有三個帶等電荷量的點電荷a、b和c，分別固定在水平面內正三角形的頂點上，其中a、b帶正電，c帶負電，O為三角形中心，A、B、C為三條邊的中點。則()A．B、C兩點場強相同B．B、C兩點電勢相同C．在O點自由釋放電子（不計重力），會沿OA方向一直運動D．在O點自由釋放電子（不計重力），會在OA直線上往復運動【答案】BD【解析】由題意知，B、C兩點的電場強度為三個點電荷在該處場強的矢量和。其中ac兩處的點電荷在B點的場強的矢量和沿Ba方向，b處電荷在B點的場強沿bB方向，方向如圖所示，可知，B、C兩處電場強度的方向不同，所以A錯誤；ac兩電荷在B點的電勢之和為零，bc兩處電荷在C點的電勢之和等于零，所以B點的電勢等于b處電荷產生，C處電勢等于a處電荷產生，ab兩電荷等量同種且到C、B的距離也相等，所以電勢相等，故B正確；由圖知，O點電場的方向沿AC方向，在OA的延長線上有一場強為零的點D，在OA線上D點的兩側電場的方向相反，所以電子在O點由靜止釋放將沿OA方向做加運動到D，然后減速運動到速度為零，接著往回運動，即會在OA直線上往復運動。7．點電荷Q1、Q2分別固定在x軸上的原點O處和x＝5d處，正點電荷q（不計重力）從x＝d處以初速度v0沿x軸正方向運動，其速率v與在x軸上的位置關系如圖所示，則下列判斷正確的是()A．點電荷Q1帶負電荷、Q2帶正電荷B．點電荷Q1、Q2所帶電荷量的絕對值之比為2∶3C．點電荷q從x＝d處到x＝4d處的過程中，在x＝2d處的電勢能最小D．從x＝d處到x＝4d處，電勢先增大后減小【答案】D【解析】正點電荷從d到4d的過程，速度先減小后增大，則電場力先做負功后做正功，即從d到2d場強方向向左，從2d到4d場強方向向右，則x＝2d處合場強為零。由上面的分析結合場強的疊加可知點電荷Q1、Q2均帶負電荷，故A錯誤；由x＝2d處和場強為零得：，解得：Q1：Q2＝4：9，故B錯誤；由前面的分析知：點電荷q從x＝d處到x＝4d處的過程中，電場力先做負功后做正功，電勢能先增大后減小，所以x＝2d處的電勢能最大，故C錯誤，由可知正電荷電勢能越大則電勢越大，因此在2d處電勢最大，因此電勢先增大后減小，D正確。8．(多選)如圖所示，在豎直平面內固定一個半徑為R的絕緣圓環，有兩個可視為點電荷的相同的帶負電的小球A和B套在圓環上，其中小球A可沿圓環無摩擦的滑動，小球B固定在圓環上和圓心O的連線與水平方向的夾角為45°。現將小球A由靜止釋放，則下列說法中正確的有()A．小球A恰好可以運動到P點B．小球A運動到圓環最低點Q的過程中，速率不斷變大C．小球A運動到圓環最低點Q的過程中電勢能先減小后增大D．小球到達圓環最低點Q時的速度大小為2eq\r(gR)【答案】CD【解析】當B球不存在時，由于機械能守恒可得，A球能夠運動到P點，但是當有B球后，AB兩球靠近時電場力做負功，故A球不可能運動到P點，故A錯誤；小球A從釋放到運動到圓環最低點Q的過程中電勢能先減小后增大，而重力勢能一直減小，結合運動的電場線可知，小球A從釋放到運動到圓環最低點Q的過程中動能先增大后減小，則速率先變大后減小，故B錯誤；開始時小球A與B之間的距離小于環的直徑，而小球A與B之間的最大距離等于環的直徑；由于兩個小球都帶負電，所以二者之間的距離增大時，庫侖力做正功，二者的電勢能減小；當二者之間的距離減小時，電場力做負功，二者的電勢能增大，即小球A從釋放到運動到圓環最低點Q的過程中電勢能先減小后增大，故C正確；由圖可知A與Q相對于過OB的直徑是對稱的，所以小球在A點的電勢能與在Q點的電勢能是相等的，小球從A到Q的過程中增加的動能等于減小的重力勢能，則eq\f(1,2)mv2=mgR，可得：v＝eq\r(gR)，故D正確。9．如圖所示，勻強電場中有a、b、c三點，在以它們為頂點的三角形中，∠a＝30°，∠c＝90°，電場方向與三角形所在平面平行。已知a、b和c點的電勢分別為(2－eq\r(3))V、(2＋eq\r(3))V和2V。該三角形的外接圓上最低、最高電勢分別為()A．(2－eq\r(3))V、(2＋eq\r(3))VB．0、4VC．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(4\r(3),3)))V、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(4\r(3),3)))VD．0、2eq\r(3)V【答案】B【解析】如圖所示，圓心O是ab的中點，所以圓心O點的電勢為2V，所以Oc是等勢線，則電場線如圖中MN所示，方向由M指向N。沿電場線方向電勢均勻降低，過圓心的電勢為2V，作aP⊥MN，則aP為等勢線，則UOP＝φO－φa＝eq\r(3)V，UON∶UOP＝ON∶OP＝1∶cos30°，解得UON＝2V，則圓周上電勢最低為0，最高為4V，選B。10．如圖所示，a、b、c、d是某勻強電場中的四個點，它們正好是一個矩形的四個頂點，ab＝cd＝L，ad＝bc＝2L，電場線與矩形所在的平面平行。已知a點電勢為20V，b點電勢為24V，d點電勢為12V。一個質子從b點以速度v0射入此電場，入射方向與bc成45°角，一段時間后經過c點。不計質子的重力。下列判斷正確的是()A．c點電勢高于a點電勢B．場強的方向由b指向dC．質子從b運動到c，電場力做功為8eVD．質子從b運動到c，電場力做功為4eV【答案】C【解析】由于是勻強電場，故a、d的中點(設為E)電勢應為a、d兩點的一半，即16V，那么E、b的中點F電勢是20V，和a點一樣．連接a、F得到等勢線，則電場線與它垂直，正好是由b指向E.那么cE平行于aF，故c點電勢與E相同，也為16V，小于a點電勢，A錯誤；場強的方向由b指向E，B錯誤；從b到c電勢降落了8V，質子電荷量為e，質子從b運動到c，電場力做功8eV，電勢能減小8eV，C正確，D錯誤。11．(多選)如圖所示為空間某一電場的電場線，a、b兩點為其中一條豎直向下的電場線上的兩點，該兩點的高度差為h，一個質量為m、帶電荷量為＋q的小球從a點靜止釋放后沿電場線運動到b點時速度大小為eq\r(3gh)，則下列說法中正確的是()A．質量為m、帶電荷量為＋q的小球從a點靜止釋放后沿電場線運動到b點的過程中動能增加量等于電勢能減少量B．a、b兩點的電勢差U＝eq\f(mgh,2q)C．質量為m、帶電荷量為＋2q的小球從a點靜止釋放后沿電場線運動到b點時速度大小為eq\r(gh)D．質量為m、帶電荷量為－q的小球從a點靜止釋放后沿電場線運動到b點時速度大小為eq\r(gh)【答案】BD【解析】質量為m、帶電荷量為＋q的小球從a點靜止釋放后沿電場線運動到b點的過程中，機械能與電勢能之和守恒，其動能增加量等于重力勢能、電勢能的減少量之和，選項A錯誤；設a、b之間的電勢差為U，由題意，質量為m、帶電荷量為＋q的小球從a點靜止釋放后沿電場線運動到b點時速度大小為eq\r(3gh)，根據動能定理，mgh＋qU＝eq\f(1,2)m·3gh，解得qU＝eq\f(1,2)mgh，a、b兩點的電勢差U＝eq\f(mgh,2q)，選項B正確；質量為m、帶電荷量為＋2q的小球從a點靜止釋放后沿電場線運動到b點時，由動能定理得mgh＋2qU＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，解得v1＝2eq\r(gh)，選項C錯誤；質量為m、帶電荷量為－q的小球從a點靜止釋放后沿電場線運動到b點時，由動能定理得mgh－qU＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)，解得v2＝eq\r(gh)，選項D正確。12．如圖所示，真空空