第三節瞬變非周期信號與連續頻譜準周期信號：由一系列頻率比為無理數的正弦波組成，其頻率譜為離散的，但不滿足諧波性.

這種信號稱為準周期信號。

例如：2.瞬變信號及傅立葉變換：信號出現的時間是有限的，或隨時間趨于無窮信號是收斂的。在信號出現的期間，信號不呈現周期性。非周期信號是時間上不會重復出現的信號，一般為時域有限信號，具有收斂可積條件，其能量為有限值。如電容的放電過程，對這種信號沿時間軸積分，其積分值存在，它所攜帶的能量也是有限值，故稱能量有限信號。對于周期信號我們可以借助于傅立葉級數完成從時域到頻域的轉換，而非周期性信號不具有周期性，不能使用傅立葉級數進行頻譜分析。我們可以從周期函數的傅立葉級數取T→∞時的極限入手，對于周期信號：

∵頻線間隔：

∴當T0→∞時，Δω→0，成為dw,

nw０變成連續變量，求和符號成為積分符號，上式變為：式中：我們將周期函數的復指數形式的傅立葉級數展開與非周期函數的傅立葉變換相比較，看出兩點不同：1．周期函數中所包含的頻率成分，是基頻ω0的整倍數。而非周期函數中包含了一系列從0到無窮大的所有頻率成分，ω是連續變量。2．周期函數的傅立葉系數Cn反映的是對應頻率成分幅值的大小，而非周期函數的傅立葉變換F(ω)反映的是單位頻率寬度上的振幅。所以又稱F(ω)為頻譜密度函數。一般的說，X(ω)是個復數

幅值譜密度

相位譜密度

①幅度頻譜

相位頻譜②例：求矩形脈沖的傅氏變換

解：

小結１、周期信號從時域描述到頻域描述采用的是傅立葉級數，非周期信號從時域描述轉換到頻域描述采用的是傅立葉變換。２、非周期信號幅值頻譜的量綱是單位頻率寬度上的幅值，在周期信號傅立葉級數展開式中，函數ej2πft的系數幅值｜Cn|具有與原信號幅值相同的量綱。非周期信號的表達式中，函數ej2πft的系數是｜X(f)|df，若｜X(f)|可以看成是｜X(f)|df／df，則X(f)的物理意義是非周期信號單位頻帶寬上的幅值，具有密度的函數，所以稱F(f)為原信號的頻譜密度函數，它的量綱就是信號的幅值與頻率之比。傅立葉變換的主要性質

一個信號的時域描述和頻域描述依靠傅里葉變換來確立彼此一一對應的關系。熟悉傅里葉變換的主要性質，有助于了解信號在某個域中的變化和運算將在另一域中產生何種相應的變化和運算關系，最終有助于對復雜工程問題的分析和簡化計算工作。（一）奇偶虛實性如果x(t)為實偶函數，則：如果x(t)為實奇函數，則：例1求雙邊指數信號的頻譜(>0)t解:

例2求奇對稱指數信號的頻譜解:（二）對稱性以-t代替t得將t與f互換，即得X（t）的傅立葉變換為所以證明：例3求傅立葉變換解：（三）時間尺度改變特性證明：

若k>1,則波形壓縮，若0<k<1,則波形展寬。若k<0,則波形反折并壓縮或展寬。信號在時域壓縮k倍，信號隨時間變化加快k倍，所以它包含的頻率分量增加k倍，即頻譜寬了k倍。根據能量守恒原理，各頻率分量的大小必須減小k倍。性質3結論：信號x(kt)表示信號x(t)在時間上壓縮了k倍，相似的，信號X(f/k)表示信號X(f)在頻域中擴展了k倍。這一性質說明了信號在時域中的壓縮導致了在頻域中的頻譜的擴展，反之，在時域中的擴展相應地導致了頻域中頻譜的壓縮。尺度變換意味著信號在時域中越寬，則其頻譜越窄，反之亦然。即信號與其頻帶寬度成反比。在通信系統中，為了快速傳遞信號，對信號進行時域壓縮，將以擴展頻帶為代價。（四）時移和頻移特性時移特性

很顯然，信號在時域平移，相當于信號中各個頻率成分產生了相移，所以頻譜中應反映出相移的大小。例4已知單矩形脈沖,求三脈沖信號的頻譜解：例5已知信號f(t)的頻譜函數如圖所示，試求信號a(t)=f(t)cosw0t的頻譜函數。(w0>wM)解：（五）卷積特性兩個函數x1(t)與x2(t)的卷積定義為：記作：若：則：積分特性的證明令兩邊求導FT微分特性FT積分特性幾種典型信號的頻譜公式：頻譜：一、矩形窗函數的頻譜一個在時域有限區間內有值的信號，其頻譜卻延伸至無限頻率。若在信號中截取信號的一段記錄長度，則相當于原信號和矩形窗函數之乘積，因而所得頻譜將是原信號頻域函數和sinc函數的卷積，它將是連續的、頻率無限延伸的頻譜。從其頻譜圖上可以看到，在f=0~±1/T之間的譜峰,幅值最大,稱為主瓣.兩側其他各譜峰的峰值較低,稱為旁瓣.主瓣寬度為2/T,與時域窗寬度T成反比.可見時域窗寬T越大,即截取信號時長越長,主瓣寬度越小.（二）函數及其頻譜（1）函數的定義：在時間內激發一個矩形脈沖S(t)（或三角形脈沖、雙邊指數脈沖、鐘形脈沖等），其面積為1。當

0時（t）的極限就稱為函數，記作（t）。函數也稱為單位脈沖函數。（t）的特點有：從函數值極限角度看：從面積（通常也稱其為

函數的強度）的角度來看：且

---稱之為δ函數。

用它可描述一些作用時間極短、但取值極大的物理現象，如云層之間的放電，瞬時間的沖擊力等。定義中積分等于1，說明其強度為1，若強度為K的脈沖用kδ(t)表示。δ(t)的圖示可用一長度為一個單位的線段來表示，線段位于原點，表示當時間t0=0有一沖擊。若線段位于 t=t0點，則可定義δ函數的延遲為：，積分值仍為1。

2、

函數及其頻譜（1）

函數的定義：在時間內激發一個矩形脈沖S(t)（或三角形脈沖、雙邊指數脈沖、鐘形脈沖等），其面積為1。當

0時（t）的極限就稱為函數，記作（t）。

函數也稱為單位脈沖函數。（t）的特點有：從函數值極限角度看：從面積（通常也稱其為

函數的強度）的角度來看：且

---稱之為δ函數。

定義中積分等于1，說明其強度為1，若強度為E的脈沖用Eδ(t)表示。δ(t)的圖示可用一長度為一個單位的線段來表示，線段位于原點，表示當時間t0=0有一沖擊。若線段位于t=t0點，則可定義δ函數的延遲為：，積分值仍為1。

（2）函數的采樣性質：如果函數與某一連續函數f(t)相乘，顯然其乘積僅在t=0處為f(0)(t)，其余各點（t0）之乘積均為零。如果函數與某一連續函數f(t)相乘，并在（，－）區間中積分，則有：對于有延時t0的函數

(t－t0)，則有：由于經過此種處理，可將f(t)在任何時刻的值提取出來，所以稱其為篩選性質，或抽樣性質。當對信號進行采樣時，采樣的過程及采樣后信號即可利用此種性質來進行描述.（3）

函數的與其他函數的卷積：任何函數和函數

(t)的卷積是一種最簡單的卷積積分。例如，一個矩形函數x(t)與

函數

(t)的卷積為:x(t)函數和δ函數的卷積的結果，就是在發生δ函數的坐標位置上簡單地將x(t)重新構圖。（4）函數的頻譜這說明δ函數的頻譜密度是常數1，即δ函數是各種等強度的各種頻率成分所組成的。1故知時域的函數具有無限寬廣的頻譜，而且在所有的頻段上都是等強度的，即頻譜密度在整個頻率軸上處處為１，這種頻譜常稱為“均勻譜”。由脈沖函數的定義不難看出，理想的脈沖函數是不可能實現的．然而，與脈沖函數類似，具有很小脈寬的脈沖函數在實際生活中卻比比皆是，例如，力學中瞬間作用的沖擊力，電學中的脈沖電擊，數字通訊信號采樣的抽樣脈沖等等．實際上，脈沖函數的概念正是以這些實際問題為背景引出的．

3、周期函數的傅立葉變換從嚴格的數學意義上講，一個函數傅立葉變換存在的條件是其在無限區間內滿足絕對可積條件，即

顯然，周期函數不滿足上述條件，然而，由于脈沖函數的引入，在有些情況下絕對可積并不是傅立葉變換存在的必要條件。比如，直流信號就不滿足絕對可積條件，但它的傅立葉變換存在，等于一個頻域脈沖函數Eδ(f)。由此可以預料，周期函數的傅立葉變換也是存在的。而且由于周期函數頻譜的離散性，它的傅立葉變換必定由頻域脈沖函數所組成。

簡諧函數的頻譜密度函數由于正、余弦函數不滿足絕對可積條件，因此不能直接進行傅里葉變換，而需在傅里葉變換時引如

函數：例：已知f(t)=cos(4t+π/3),試求其頻譜F(w).解：因為利用頻移性質可得于是４、周期單位脈沖序列的頻譜等間隔的周期單位脈沖序列常稱為梳狀函數，并用comb(t,Ts)表示：其頻譜為其FS為周期脈沖序列的頻譜依然是一個周期脈沖序列，只是周期為1/Ts,脈沖強度為1/Ts第四節隨機信號在工程測量時，通常用幅值隨時間變化的函數關系來測量，y=f(t)

隨機信號：無法用明確的數學關系式來描述，具有不確定性和事先不可預知性。

雖然這樣，不能用時間的確定函數來描述，但都能用概率論和數理統計的方法來描述。對隨機信號在有限時間內的觀測結果稱之為樣本，所有可能樣本的集合稱之為總體。總體描述了一個隨機過程。比如：對每日氣溫的觀測，地球上溫度的變化，只能以天為單位，或以年為單位來進行分析。每天的觀測構成一個樣本函數。.隨機過程及其描述隨機過程：

總體平均值：

總體自相關函數：

由同一試驗條件下所有樣本函數的集合（總體）才能定義一個物理現象的隨機過程。t的函數若ux(t)=ux（常值）,則：

這也就是說，該隨機過程的觀測時間起點可以是任意的，其統計特性不隨觀測時間起點的改變而改變，這樣的隨機過程稱作平穩隨機過程。（非平穩隨機過程）

若對平穩隨機過程的某一個樣本進行分析，可求出該樣本的平均值及自相關函數。

k表示第k個樣本。

若

則稱該過程是各態歷經的。各態歷經隨機過程中任一樣本函數的時間平均統計特征等于該過程的集合平均統計特征。即任一個樣本都可把整體的各種可能出現的情況顯示出來。對于各態歷經的隨機過程，我們可以在任一時刻取任意一個樣本進行分析，這就使得信號的分析處理簡化了。在一般工程上遇到的隨機信號很多具有或近似具有各態歷經性質。對于各態歷經的隨機過程，可以用三方面進行描述。

①幅值域：

,概率密度，聯合概率密度。

②時間域：自相關，互相關函數等。二.幅值域描述1．平均值：

――直流分量

③頻率域：自功率譜，互功率譜，相干函數等。2．方差：

――波動程度3．均方值：

――信號的強度或平均功率4．概率密度函數：描述某一時刻隨機數據落在給定區間的概率。說明：反映了在振幅這個位置單位振幅內的概率，即概率隨振幅的變化率。振幅不同，落在單位振幅內的概率不同。x(t)的瞬時值落在某一個區間內的概率是幾種隨機信號的概率密度函數a）正弦信號（初始相角為隨機量）b）正弦信號加隨機噪聲c）窄帶隨機信號d）寬帶隨機信號三.樣本函數、參數估計和統計采樣誤差實際上只能從隨機信號中截取有限時間的樣本記錄來計算出相應的特征參數，并用他