考點(diǎn)19二次根式考點(diǎn)總結(jié)1．二次根式表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，也就是說(shuō)，是一個(gè)非負(fù)數(shù)，它的平方等于a，即有：（1）（2）形如的式子叫做二次根式。二次根式的性質(zhì)：2．二次根式的乘法兩個(gè)二次根式相乘，將它們的被開(kāi)方數(shù)相乘。3．積的算術(shù)平方根積的算術(shù)平方根，等于各因式算術(shù)平方根的積。主要用于二次根式的化簡(jiǎn)。4．二次根式的除法兩個(gè)二次根式相除，將它們的被開(kāi)方數(shù)相除。商的算術(shù)平方根商的算術(shù)平方根，等于各因式算術(shù)平方根的商。主要用于分母有理化，就是使分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含有分母。7．最簡(jiǎn)二次根式被開(kāi)方數(shù)中不含分母，并且被開(kāi)方數(shù)中所有因式的冪的指數(shù)都小于2，這樣的二次根式稱(chēng)為最簡(jiǎn)二次根式。8．二次根式化簡(jiǎn)主要包括兩方面（1）如果被開(kāi)方數(shù)中含有分母，通常可利用分式的基本性質(zhì)將分母配成完全平方，再“開(kāi)方”出來(lái)。（2）如果被開(kāi)方數(shù)中含有完全平方的因式（或因數(shù)），可利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，將它“開(kāi)方”出來(lái)。9．同類(lèi)二次根式像與，、與這樣的幾個(gè)二次根式，稱(chēng)為同類(lèi)二次根式。二次根式的加減，先把各個(gè)二次根式化簡(jiǎn)，再將同類(lèi)二次根式合并。真題演練一、單選題1．（2021·湖南益陽(yáng)·中考真題）將化為最簡(jiǎn)二次根式，其結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)方法即可得．【詳解】解：原式，，故選：D．2．（2021·湖南婁底·中考真題）是某三角形三邊的長(zhǎng)，則等于（）A． B． C．10 D．4【答案】D【分析】先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出的取值范圍，再把二次根式進(jìn)行化解，得出結(jié)論．【詳解】解：是三角形的三邊，，解得：，，故選：D．3．（2023·湖南郴州·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則、冪的乘方運(yùn)算法則、二次根式的性質(zhì)以及完全平方公式分別計(jì)算各項(xiàng)后，再進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】解：A.，故選項(xiàng)A計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B.，故選項(xiàng)B計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C.，此選項(xiàng)計(jì)算正確，故符合題意；D.故選項(xiàng)D計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．4．（2021·湖南株洲·中考真題）計(jì)算：（）A． B．－2 C． D．【答案】A【分析】將化簡(jiǎn)，然后根據(jù)乘法法則運(yùn)算即可．【詳解】解：故選：A．5．（2022·湖南衡陽(yáng)·中考真題）下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用算術(shù)平方根，零指數(shù)冪，同類(lèi)二次根式，立方根逐項(xiàng)判斷即可選擇．【詳解】，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；，故B選項(xiàng)正確，符合題意；和不是同類(lèi)二次根式不能合并，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；不能化簡(jiǎn)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選B．6．（2021·湖南常德·中考真題）計(jì)算：（）A．0 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】先將括號(hào)內(nèi)的式子進(jìn)行通分計(jì)算，最后再進(jìn)行乘法運(yùn)算即可得到答案．【詳解】解：===1．故選：B．7．（2021·湖南漢壽·一模）古希臘幾何學(xué)家海倫和我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱(chēng)為海倫﹣秦九韶公式：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是，，，記，那么三角形的面積為．如圖，在中，，，所對(duì)的邊分別記為，，，若，，，則的面積為（）A．14 B．20 C． D．【答案】C【分析】利用閱讀材料，先計(jì)算出p的值，然后根據(jù)海倫﹣秦九韶公式計(jì)算△ABC的面積即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴的面積，故選：C．8．（2021·湖南望城·模擬預(yù)測(cè)）已知x＞2，則下列二次根式定有意義的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根確定出所求即可．【詳解】解：∵x＞2，∴x﹣2＞0，∴2﹣x＜0，x﹣1＞0，x﹣3與x﹣4不一定大于0，則當(dāng)x＞2時(shí)，有意義．故選：B．9．（2021·湖南長(zhǎng)沙·二模）要使有意義，則x的取值范圍為（（）A．x≤0 B．x≥1 C．x≥0 D．x≤1【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，列出不等式，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵有意義，∴x-1≥0，即：x≥1，故選B．10．（2021·湖南長(zhǎng)沙·一模）下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)合并同類(lèi)二次根式、完全平方公式、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方進(jìn)行運(yùn)算即可【詳解】解：A、，故A錯(cuò)誤，不符合題意．B、，故B錯(cuò)誤，不符合題意．C、，故C錯(cuò)誤，不符合題意．D、，故D正確，符合題意．故選：D．二、填空題11．（2021·湖南衡陽(yáng)·中考真題）若二次根式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_____．【答案】x≥3【分析】利用二次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)列不等式，再解不等式即可得到答案.【詳解】解：由題意得：故答案為：12．（2021·湖南湘西·中考真題）若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是____．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義可得：，解得：；故答案為．13．（2021·湖南婁底·中考真題）函數(shù)中，自變量的取值范圍是__________．【答案】【分析】求函數(shù)自變量的取值范圍，就是求函數(shù)解析式有意義的條件，二次根式有意義的條件是：被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)．【詳解】由題意得：x-1≥0，解得：x≥1，故答案為：x≥1．14．（2021·湖南永州·中考真題）若二次根式有意義，則的取值范圍是______________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的意義，被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)求解即可．【詳解】根據(jù)題意得：解得，故答案為：．15．（2021·湖南湘潭·中考真題）若二次根式有意義，則x的取值范圍是___．【答案】【詳解】試題分析：根據(jù)題意，使二次根式有意義，即x﹣2≥0，解得x≥2．故答案是x≥2．三、解答題16．（2021·湖南婁底·中考真題）計(jì)算：．【答案】【分析】直接利用零指數(shù)冪，二次根式分母有理化、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：．17．（2021·湖南常德·中考真題）計(jì)算：．【答案】．【分析】直接利用零次冪的運(yùn)算法則，負(fù)次冪的