第7章穩恒磁場

SteadyElectromagneticField

前面我們研究了相對于觀察者靜止的電荷所激發的電場的性質與作用規律。從本章起我們看到，在運動電荷周圍，不僅存在著電場而且還存在著磁場。磁場和電場一樣也是物質的一種形態。1820年，丹麥的奧斯特發現了電流的磁效應，當電流通過導線時，引起導線近旁的小磁針偏轉，開拓了電磁學研究的新紀元，打開了電應用的新領域。1837年惠斯通、莫爾斯發明了電動機，1876年美國的貝爾發明了電話。……迄今，無論科學技術、工程應用、人類生活都與電磁學有著密切關系。電磁學給人們開辟了一條廣闊的認識自然、征服自然的道路。7.1磁場磁感強度

TheMagneticField/Intensity

磁現象的發現要比電現象早得多。早在公元前人們知道磁石()能吸引鐵。十一世紀我國發明了指南針。但是，直到十九世紀，發現了電流的磁場和磁場對電流的作用以后，人們才逐漸認識到磁現象和電現象的本質以及它們之間的聯系，并擴大了磁現象的應用范圍。到二十世紀初，由于科學技術的進步和原子結構理論的建立和發展，人們進一步認識到磁現象起源于運動電荷，磁場也是物質的一種形式，磁力是運動電荷之間除靜電力以外的相互作用力。（

7.1.1基本磁現象磁場無論是天然磁石或是人工磁鐵都有吸引鐵、鈷、鎳等物質的性質，這種性質叫做磁性。條形磁鐵及其它任何形狀的磁鐵都有兩個磁性最強的區域，叫做磁極。將一條形磁鐵懸掛起來，其中指北的一極是北極(用N表示)，指南的一極是南極(用S表示)。實驗指出，極性相同的磁極相互排斥，極性相反的磁極相互吸引。在相當長的一段時間內，人們一直把磁現象和電現象看成彼此獨立無關的兩類現象。直到1820年，奧斯特首先發現了電流的磁效應。后來安培發現放在磁鐵附近的載流導線或載流線圈，也要受到力的作用而發生運動。進一步的實驗還發現，磁鐵與磁鐵之間，電流與磁鐵之間，以及電流與電流之間都有磁相互作用。上述實驗現象導致了人們對“磁性本源”的研究，使人們進一步認識到磁現象起源于電荷的運動，磁現象和電現象之間有著密切的聯系。主要表現在：1.通過電流的導線(也叫載流導線)附近的磁針，會受到力的作用而偏轉(圖7-1)。2.放在蹄形磁鐵兩極間的載流導線，也會受力而運動(圖7-2)。3.載流導線之間也有相互作用力。當兩平行載流直導線的電流方向相同時，它們相互吸引；電流方向相反時，則相互排斥(圖7-3)。4.通過磁極間的運動電荷也受到力的作用。如電子射線管，當陰極和陽極分別接到高壓電源的正極和負極上時，電子流通過狹縫形成一束電子射線。如果我們在電子射線管外面放一塊磁鐵，可以看到電子射線的路徑發生彎曲。由于電流是大量電荷作定向運動形成的，所以，上述一系列事實說明，在運動電荷周圍空間存在著磁場；在磁場中的運動電荷要受到磁場力(簡稱磁力)的作用。磁場不僅對運動電荷或載流導線有力的作用，它和電場一樣，也具有能量。這正是磁場物質性的表現。7.1.2磁感應強度在靜電學中，我們利用電場對靜止電荷有電場力作用這一表現，引入電場強度E來定量地描述電場的性質。與此類似，我們利用磁場對運動電荷有磁力作用這一表現，引入磁感應強度B來定量地描述磁場的性質。其中B的方向表示磁場的方向，B的大小表示磁場的強弱。v∥BF=0v⊥BF=Fmax（a）（b）圖7-4運動的帶電粒子在磁場中的受力情況運動電荷在磁場中的受力情況，如圖7-4所示。v∥BF=0v⊥BF=Fmax（a）（b）圖7-4運動的帶電粒子在磁場中的受力情況v∥BF=0v⊥BF=Fmax（a）（b）圖7-4運動的帶電粒子在磁場中的受力情況由大量實驗可以得出如下結果：

1．運動電荷在磁場中所受的磁力隨電荷的運動方向與磁場方向之間的夾角的改變而變化。當電荷運動方向與磁場方向一致時，它不受磁力作用[圖7-4(a)]。而當電荷運動方向與磁場方向垂直時，它所受磁力最大，用表示[圖7-4(b)]。2．磁力的大小正比于運動電荷的電量，即。如果電荷是負的，它所受力的方向與正電荷相反。

3．磁力的大小正比于運動電荷的速率，即。4．作用在運動電荷上的磁力F的方向總是與電荷的運動方向垂直，即。由上述實驗結果可以看出，運動電荷在磁場中受的力有兩種特殊情況：當電荷運動方向與磁場方向一致時，F=0；當電荷運動方向垂直于磁場方向時，。根據這兩種情況，我們可以定義磁感應強度B(簡稱磁感強度)的方向和大小如下：在磁場中某點，若正電荷的運動方向與在該點的小磁針N極的指向相同或相反時，它所受的磁力為零，我們把這個小磁針N極的指向方向規定為該點的磁感強度B的方向。當正電荷的運動方向與磁場方向垂直時，它所受的最大磁力與電荷的電q和速度v的大小的乘積成正比，但對磁場中某一定點來說，比值是一定的。對于磁場中不同位置，這個比值有不同的確定值。我們把這個比值規定為磁場中某點的磁感強度B的大小，即

磁感強度B的單位，取決于F、q和v的單位，在國際單位制中，F的單位是牛頓(N)，q的單位是庫侖(C)，v的單位是米／秒(m/s)，則B的單位是特斯拉，簡稱為特，符號為T。所以。應當指出，如果磁場中某一區域內各點B的方向一致、大小相等，那么，該區域內的磁場就叫均勻磁場。不符合上述情況的磁場就是非均勻磁場。長直螺線管內中部的磁場是常見的均勻磁場。地球的磁場只有，一般永磁體的磁場約為。而大型電磁鐵能產生2T的磁場，目前已獲得的最強磁場是31T。7.2畢奧—薩伐爾定律

TheBiot-SavartLaw在靜電場中，計算帶電體在某點產生的電場強度E時，先把帶電體分割成許多電荷元dq，求出每個電荷元在該點產生的電場強度dE，然后根據迭加原理把帶電體上所有電荷元在同一點產生的迭加(即求定積分)，從而得到帶電體在該點產生的電場強度E。與此類似，磁場也滿足迭加原理，要計算任意載流導線在某點產生的磁感強度B，可先把載流導線分割成許多電流元(電流元是矢量，它的方向是該電流元的電流方向)，求出每個電流元在該點產生的磁感強度dB，然后把該載流導線的所有電流元在同一點產生的dB迭加，從而得到載流導線在該點產生的磁感強度B。因為不存在孤立的電流元，所以電流元的磁感強度公式不可能直接從實驗得到。歷史上，畢奧和薩伐爾兩人首先用實驗方法得到關于載有穩恒電流的長直導線的磁感應強度經驗公式()等，再由拉普拉斯通過分析經驗公式而得到如下定律：7.2.1畢奧—薩伐爾定律

TheBiot-SavartLaw

穩恒電流的電流元在真空中某點P所產生的磁感強度dB的大小，與電流元的大小成正比，與電流元和由電流元到P點的矢徑間的夾角θ［也用（.)表示］

的正弦成正比，而與電流元到P點的距離r的平方成反比(圖7-5)，即式中比例系數k決定于單位制的選擇，在國際單位制中，k正好等于，為了使從畢奧—薩伐爾定律導出的些重要公式中不出現因子而令，式中，叫做真空中的磁導率。

圖7-5畢奧—薩伐爾定律—電流元所產生的磁感強度于是上式寫成

(7-2)

的方向垂直于和所組成的平面，并沿矢積×的指向，即由經小于180°角轉向的右手螺進方向。若用矢量式表示，畢奧—薩伐爾定律可寫成（7-3）式中為的單位矢量，畢奧—薩伐爾定律雖然不能由實驗直接驗證，但由這一定律出發而得出的一些結果都很好地和實驗符合。7.2.2畢奧—薩伐爾定律的應用TheBiot-SavartLaw

要確定任意載有穩恒電流的導線在某點的磁感強度，根據磁場滿足迭加原理，由式(7-3)對整個載流導線積分，即得

(7-4)值得注意的是，上式中每一電流元在給定點產生的方向一般不相同，所以上式是矢量積分式。由于一般定積分的含意是代數和，所以求式(7-4)的積分時，應先分析各電流元在給定點所產生的的方向是否沿同一直線。如果是沿同一直線，則式(7-4)的矢量積分轉化為一般積分，即

(7-5)如果各個方向不是沿同一直線，應先求在各坐標軸上的分量式(例如)，對它們積分后，即得的各分量(例如

最后再求出矢量()。下面應用這種方法討論幾種典型載流導線所產生的磁場。1．載流直導線的磁場圖7-6計算直線電流的B分布設有一長為L的載流直導線，放在真空中，導線中電流為I，現計算鄰近該直線電流的一點P處的磁感強度B。如圖7-6所示，在直導線上任取一電流元，根據畢奧—薩伐爾定律，電流元在給定點P所產生的磁感強度大小為的方向垂直于電流元與矢徑所決定的平面，指向如圖7-6所示(垂直于xoy平面，沿z軸負向)。由于導線上各個電流元在P點所產生的方向相同，因此P點的總磁感強度等于各電流元所產生的代數和，用積分表示，有

圖7-6計算直線電流的B分布

進行積分運算時，應首先把等變量，用同一參變量表示。現在取矢徑與P點到直線電流的垂線PO之間的夾角β為參變量。取O點為原點，從O到處的距離為l并以a表示PO的長度。從圖中可以看出從而`把以上各關系式代入前式中，并按圖中所示，取積分下限，上限為，得(7-6)

式中β1是從PO轉到電流起點與P點連線的夾角；β2是從PO轉到電流終點與P點連線的夾角。當β角的旋轉方向與電流方向相同時,β取正值；當β角的旋轉方向與電流的方向相反時，β取負值。圖7-6中的β1和β2均為正值。如果載流導線是一無限長的直導線，那么可認為，所以

(7-7)上式是無限長載流直導線的磁感強度，它與畢奧—薩伐爾的早期實驗結果是一致的。

2．圓形電流的磁場圖7-7計算圓電流軸線上的B設在真空中，有一半徑為R的圓形載流導線，通過的電流為I，計算通過圓心并垂直于圓形導線所在平面的軸線上任意點P的磁感強度(圖7-7)。圖7-7計算圓電流軸線上的B

圖7-7計算圓電流軸線上的B

在圓上任取一電流元，它在P點產生的磁感強度的大小為，由畢奧—薩伐爾定律得

圖7-7計算圓電流軸線上的B由于與垂直，所以，上式可寫成的方向垂直于電流元和矢徑所組成的平面，由于圓形導線上各電流元在P點所產生的磁感強度的方向不同，因此把分解成兩個分量：平行于X軸的分量和垂直于X軸的分量。在圓形導線上，由于同一直徑兩端的兩電流元在P點產生的磁感強度對X軸是對稱的，所以它們的垂直分量互相抵消，于是整個圓形電流的所有電流元在P點產生的磁感強度的垂直分量兩兩相消，所以迭加的結果只有平行于X軸的分量，即式中，對于給定點P、r、I和R都是常量，所以（7-8）的方向垂直于圓形導線所在平面，并與圓形電流組成右手螺旋關系。上式中令x=0，得到圓心處的磁感強度為

(7-9)在軸線上，遠離圓心即()處的磁感強度為式中為圓形導線所包圍積，，為面積S法線方向的單位矢量，它的方向和圓電流垂直軸線上的磁感強度的方向一樣，與圓電流成右手螺旋關系，則上式可改寫成矢量式(7-10)上式與電偶極子沿軸線上的電場強度公式相似，只是把電場強度E換成磁感強度B，系數換成，而電矩換成。由此可見應叫做載流圓形線圈的磁矩。式(7-10)可推廣到一般平面載流線圈。若平面線圈共有N匝，每匝包圍面積為S，通有電流為I，線圈平面的法線單位矢量方向的指向與線圈中的電流方向成右旋關系，那么該線圈的磁矩為

(7-11)例7-1真空中，一無限長載流導線，AB、DE部分平直，中間彎曲部分為半徑R＝4.00cm的半圓環，各部分均在同一平面內，如圖7-8所示。若通以電流I＝20.0A，求半圓環的圓心O處的磁感強度。解:由磁場迭加原理，O點處的磁感強度是由AB、BCD和DE三部分電流產生的磁感強度的疊加。AB部分為“半無限長”直線電流，在O點產生的B1大小為因故B1的方向垂直紙面向里。同理，DE部分在O點產生的B2的大小與方向均與B1相同，即BCD部分在O點產生的B3要用積分計算因故的方向垂直紙面向里。半圓環上各電流元在O點產生方向都相同，則因的方向都相同，所以O點處總的磁感強度的大小為的方向垂直紙面向里。7.3磁場的高斯定理

MagneticGauss’sLaw

7.3.1磁感線

為了形象化的描述磁場分布情況，我們像在電場中用電場線來描述電場的分布那樣，用磁感應線簡稱線來表示磁場的分布。為此，我們規定

1.磁感應線上任一點的切線方向與該點的磁感應強度的方向一致；2.磁感應線的密度表示B的大小。即通過某點處垂直于的單位面積上的磁感應線條數等于該點處B的大小。因此，B大的地方，磁感應線就密集；B小的地方，磁感應線就稀疏。

實驗上可以利用細鐵粉在磁場中的取向來顯示磁感應線的分布。圖7-9給出了幾種不同形狀的電流所產生的磁場的磁感應線示意圖。

(a)直電流的磁感應線(b)圓電流的磁感應線

(c)螺線管電流的磁感應線

圖7-9幾種不同形狀的電流所產生的磁場的磁感應線從磁感應線的圖示，可得到磁感應線的重要性質：(1)任何磁場的磁感應線都是環繞電流的無頭無尾的閉合線。這是磁感應線與電場線的根本不同點。它說明任何磁場都是渦旋場。

(2)每條磁感應線都與形成磁場的電流回路互相套合著。磁感應線的回轉方向與電流的方向之間關系遵從右手螺旋法則。(3)磁場中每一點都只有一個磁場方向，因此任何兩條磁感應線都不會相交。磁感應線的這一特性和電場線是一樣的。

7.3.2磁通量

磁場的高斯定理

MagneticFluxGauss’sLawfortheMagneticField通過磁場中任一曲面的磁感應線(B線)總條數，稱為通過該曲面的磁通量，簡稱:通量，用表示。磁通量是標量，但它可有正、負之分。磁通量的計算方法與電通量的計算方法類似。如圖7-10所示，在磁場中任一給定曲面S上取面積元，若的法線的方向與該處磁感應強度的夾角為θ

，則通過面積元的磁通量為(7-12)式中，是面積元矢量，其大小等于dS，其方向沿法線的方向。通過整個曲面S的磁通量等于通過此面積上所有面積元磁通量的代數和，即

在國際單位制中，磁通量的單位是韋伯，符號為Wb，

對閉合曲面來說，規定取垂直于曲面向外的指向為法線的正方向。于是磁感應線從閉合曲面穿出時的磁通量為正值()，磁感應線穿入閉合曲面時的磁通量為負值（)。由于磁感應線是無頭無尾的閉合線，所以穿入閉合曲面的磁感應線數必然等于穿出閉合曲面的磁感應線數。因此，通過磁場中任一閉合曲面的總磁通量是恒等于零。這一結論稱作磁場中的高斯定理。即

圖7-10上式與靜電場中的高斯定理相對應，但兩者有本質上的區別。在靜電場中，由于自然界有獨立存在的自由電荷，所以通過某一閉合曲面的電通量可以不為零，其中

說明靜電場是有源場。在磁場中，因自然界沒有單獨存在的磁極，所以通過任一閉合面的磁通量必恒等于零，即，說明磁場是無源場，或者說是渦旋場。例7-2如圖7-11所示，磁感應強度為B=2T的均勻磁場，方向沿y軸正向。閉合面是一底面為直角三角形的三棱柱面。規定封閉曲面各處的法線方向垂直曲面向外。求通過：（1）befc面的磁通量；(2)aefd面的磁通量；（3）整個閉合面的磁通量；解；（1）通過befc面的磁通量為（2）通過aefd面的磁通量為（3）對整個閉合面而言，面上各點的正法線指向規定向外為正，磁感線從abcd面穿入，則通過abcd面的磁通量為負而通過aefd面的磁通量是穿出的，磁通量為正，由（2）得：通過其他三個面的磁通量均為零。所以通過整個閉合面的磁通量為例7-3真空中一無限長直導線CD，通以電流I＝10.0A，若一矩形EFHG與CD共面，如圖7-12所示。其中a=d=10.0cm，b＝20.0cm。求通過矩形EFGH面積S的磁通量。

解

由于無限長直線電流在面積S上各點

所產生的磁感強度B的大小隨r不同而不同，所以計算通過S面的磁通量B時要用積分。為了便于運算，可將矩形面積S劃分

成無限多與直導線CD平行的細長條面積元dS

=bdr，

設其中某一面積元dS與CD相距r，dS上各點B的

大小視為相等，B的方向垂直紙面向里。

取dS的方向(也就是矩形面積的法線方向)

也垂直紙面向里，則

7.4安培環路定理

AmpereCircuitaltheorem

靜電場中的電場線不是閉合曲線，電場強度沿任意閉合路徑的環流恒等于零，即

。這是靜電場的一個重要特征。但是在磁場中，磁感應線都是環繞電流的閉合曲線，因而可預見磁感強度的環流不一定為零。如果積分路徑是沿某一條磁感應線，則在每一線段元上的B·都是大于零，所以

。這種環流可以不等于零的場叫做渦旋場。磁場是一種渦旋場，這一性質決定了在磁場中不能引入類似電勢的概念。在真空中，各點磁感強度的大小和方向與產生該磁場的電流分布有關。可以預見環流的值也與場源電流的分布有關。下面的定理將給出它們之間十分簡單的定量關系。7.4.1安培環路定理

為簡單起見，下面從特例計算環流的值，然后引入定理。設真空中有一長直載流導線，它所形成的磁場的磁感應線是一組以導線為軸線的同軸圓(圖7-13)，即圓心在導線上，圓所在的平面與導線垂直。在垂直于長直載流導線的平面內，任取一條以載流導線為圓心半徑為

r的圓形環路

l作為積分的閉合路徑。

圖7-13圖7-14

則在這圓周路徑上的磁感強度的大小為，其方向與圓周相切。如果積分路徑的繞行方向與該條磁感應線方向相同，也就是積分路徑的繞行方向與包圍的電流成右螺旋關系，則與間的夾角處處為零，于是所以

=

μ0I

(7-15a)上式說明磁感強度的環流等于閉合路徑所包圍的電流與真空磁導率的乘積，而與積分路徑的圓半徑r無關。如果保持積分路徑的繞行方向不變，而改變上述電流的方向，由于每個線元與的夾角，則所以β=－μ0I=μ0（－I）(7-15b)上式說明積分路徑的繞行方向與所包圍的電流方向成左旋關系，可認為對路徑講，該電流是負值。(7-15a)、(7-15b)兩式雖從特例得出，但可證明(從略)：對于任意形狀的載流導線以及任意形狀的閉合路徑，該兩式仍成立。應指出，當電流未穿過以閉合路徑為周界的任意曲面時，路徑上各點的磁感強度雖不為零，但磁感強度沿該閉合路徑的環流為零，即=0(7-15c)在一般情況下，設有n根電流為的載流導線穿過以閉合路徑l為周界的任意曲面，m根電流為的載流導線未穿過該曲面，利用(7-15a)、(7-15b)、(7-15c)并根據磁場的迭加原理，可得到該閉合路徑的環流式中是由、共（n+m）個電流共同產生的。由此總結出真空中的安培環路定理如下：在穩恒磁場中，磁感強度B沿任何閉合路徑的線積分

，等于這閉合路徑所包圍的各個電流之代數和的μ0倍。其數學表達式為

(7-16)它指出：在真空中磁感強度沿任意閉合路徑的環流等于穿過以該閉合路徑為周界的任意曲面的各電流的代數和與真空磁導率μ0的乘積，而與未穿過該曲面的電流無關。應當指出：未穿過以閉合路徑為周界的任意曲面的電流雖對磁感強度沿該閉合路徑的環流無貢獻，但這些電流對路徑上各點磁感強度的貢獻是不容忽視的。在圖7-14中，電流穿過閉合路徑l所包圍的曲面，與l成右旋關系，I1取正值；I2與l成左旋關系，I2取負值。I3未穿過閉合路徑l所包圍的曲面，所以對的環流無貢獻。于是磁感強度B沿該閉合路徑的環流為安培環路定理反映了磁場的基本規律。和靜電場的環路定理相比較，穩恒磁場中B的環流，說明穩恒磁場的性質和靜電場不同，靜電場是保守場，穩恒磁場是非保守場。

安培環路定理對于研究穩恒磁場有重要意義。下面只應用安培環路定理計算幾種特殊分布的穩恒電流所產生的磁場的磁感強度。

7.4.2安培環路定理的應用

安培環路定理是一個普遍定理，但要用它直接計算磁感強度，只限于電流分布具有某種對稱性，即利用安培環路定理求磁場的前提條件是：如果在某個載流導體的穩恒磁場中，可以找到一條閉合環路

l，該環路上的磁感強度大小處處相等，的方向和環路的繞行方向也處處同向，這樣利用安培環路定理求磁感強度的問題，就轉化為求環路長度，以及求環路所包圍的電流代數和的問題，即

所以，利用安培環路定理求磁場的適用范圍是，在磁場中能否找到上述的環路。這取決于該磁場分布的對稱性，而磁場分布的對稱性又來源于電流分布的對稱性。應用安培環路定理，計算一些具有一定對稱性的電流分布的磁感應強度十分方便。計算時，首先用磁場疊加原理對載流體的磁場作對稱性分析；然后根據磁場的對稱性和特征，設法找到滿足上述條件的積分路徑（使Ｂ可提到積分號外）；最后利用定理公式求磁感強度。舉例說明如下：1.長直載流螺線管內的磁場設螺線管長l，直徑為Ｄ，且；導線均勻密繞在管的圓柱面上，單位長度上的匝數為n；導線中的電流強度為Ｉ。

（a）

（b）

圖7-15用磁場疊加原理作對稱性分析：可將長直密繞載流螺線管看作由無窮多個共軸的載流圓環構成，其周圍磁場是各匝圓電流所激發磁場的疊加結果。在長直載流螺線管的中部任選一點P，在P點兩側對稱性地選擇兩匝圓電流，由圓電流的磁場分布可知，二者磁場疊加的結果，磁感強度的方向與螺線管的軸線方向平行。如圖7-15（a）所示。

由于且，則長直螺線管可以看成無限長，因此在P點兩側可以找到無窮多匝對稱的圓電流，它們在P點的磁場迭加結果與圖7-15（a）相似。由于P點是任選的，因此可以推知長直載流螺線管內各點磁場的方向均沿軸線方向。磁場分布如圖7-15（b）所示。

從圖7-15可以看出，在管內的中央部分，磁場是均勻的，其方向與軸線平行，并可按右手螺旋法則判定其指向；而在管的中央部分外側，磁場很微弱，可忽略不計，即

B=0。據此，選擇如圖7-15（b）所示的過管內任意場點P的一矩形閉合曲線abcda為積分路徑l

。則環路ab段的方向與磁場的方向一致，即（，）=0°，故在ab段上；在環路cd段上，B=0，則；在環路bc段和da段上，管內部分與垂直，管外部分=0，都有，因此，沿此閉合路徑

l，磁感強度的環流為：螺線管上每單位長度有n匝線圈，通過每匝的電流是I，則閉合路徑所圍繞的總電流為n·非ab·I，根據右手螺旋法則，其方向是正的。由安培環路定理B=abμ0nI故得

B=μ0nI

螺線管為在實驗上建立一已知的均勻磁場提供了一種方法，正如平行板電容器提供了建立均勻電場的方法一樣。

2.環形載流螺線管（常稱螺繞環）內外的磁場

均勻密繞在環形管上的圓形線圈叫做環形螺線管，設總匝數為N(圖7-16a、b)。通有電流I時，由于線圈繞得很密，所以每一匝線圈相當于一個圓形電流。下面根據對稱性，分析環形螺線管的磁場分布。對于如圖7-16（a）所示的均勻密繞螺繞環，由于整個電流的分布具有中心軸對稱性，因而磁場的分布也應具有軸對稱性，且不論在螺線管內還是螺線管外，磁場的分布都是軸對稱。由于磁感應線總是閉合曲線，所以所有磁感應線只能是圓心在軸線上，并與環面平行的同軸圓。將通有電流I的矩形螺繞環沿直徑切開，其剖面圖如圖7-16（b）在環內作一個半徑為r的環路l，繞行方向如圖7-16（b）所示。環路上各點的磁感強度大小相等，方向由右手螺旋法可知，與環路繞行方向一致。磁感強度沿此環路的環流為

（a）

圖7-16（b）

環路內包圍電流的代數和為NI。根據安培環路定理，有：B2πr=μ0NI得

（R1＜r＜R2）

可見，螺繞環內任意點處的磁感應強度隨到環心的距離而變，即螺繞環內的磁場是不均勻的。用R表示螺繞環的平均半徑，當時，可近似認為環內任一與環共軸的同心圓的半徑r≈R，則上式可變換為（R1＜r＜R2）

可見，螺繞環內任意點處的磁感應強度隨到環心的距離而變，即螺繞環內的磁場是不均勻的。用R表示螺繞環的平均半徑，當時，可近似認為環內任一與環共軸的同心圓的半徑r≈R，則上式可變換為

（R1＜r＜R2）式中，n=N／2πR為環上單位長度所繞的匝數。因此，當螺繞環的平均半徑比環的內外半徑之差大得多時，管內的磁場可視為均勻的，計算公式與長螺線管相同。根據同樣的分析，在管的外部，也選取與環共軸的圓L（半徑為r′）作積分路徑，則因為L所圍電流強度代數和為零，由安培環路定理，有：B2πr′=0，所以

B=0

即對均勻密繞螺繞環，由于環上的線圈繞得很密，則磁場幾乎全部集中于管內，在環的外部空間，磁感強度處處為零。

3.長直載流圓柱體的磁場

在利用畢奧——薩伐爾定律計算無限長載流直導線的磁感強度，得出式(7-7)時，認為載流導線很細，但是當a→0時，該式失效。實際上，導線都有一定的半徑，尤其在考察導線內的磁場分布時，就不得不把導體看成圓柱體了。對于穩恒電流，在導線的橫截面上，電流I是均勻分布的。長直圓柱體中的電流分布對稱于圓柱的軸線，所以圓柱內、外的磁感強度也應對軸線對稱。又因磁感應線總是閉合曲線，于是長直載流圓柱體內、外的磁感應線分布，只能是圓心在軸線上，

并與軸線垂直的同軸圓。也就是說：磁場中各點的磁感強度方向與通過該點的同軸圓相切。由于同一磁感應線上各點到軸線的距離相等，根據軸對稱，同一磁感應線上各點磁感強度的大小相等。現在我們來計算半徑為R的長直載流圓柱內、外，距軸線為r的P點的磁感強度。將長直載流圓柱體分割成許多截面為dS的無限長直線電流，每一直線電流的磁感應強度都分布在垂直于導體的平面內。如圖7-17所示，過場點P取垂直于導體的平面，點O是導體軸線與此平面的交點。在此平面內的導體截面上取關于OP對稱分布的一對面元dS和

dS′，設dB和dB′分別是以dS和dS′為截面的無限長電流dI和dI′在P點產生的磁感應強度。不難看出，它們的合矢量dB+dB′

應沿以O為圓心、OP=r為半徑、位于和導體垂直的平面內的圓L的切線，指向與電流方向成右螺旋關系。選擇通過P點的同軸圓L作為積分的閉合路徑，則對導體內部的點P，r＜R，L所圍的電流，由安培環路定理，有：得

（r＜R）

上式表明，在導體內部，B與r成正比。

對導體外部的點P，r＞R，L所圍的電流即圓柱體上的總電流I，由安培環路定理有

得（r＞R）該式表明，在導體內部，B與r成反比。即長直載流圓柱體外部磁場B的分布與一無限長載流直導線的磁場的B分布相同。對圓柱體表面上的點，r=R，從以上兩式都能得到：。圖7-17給出了長直載流圓柱體的磁場B隨r變化的曲線。

*7.5磁場對電流的作用

前面我們討論了穩恒電流所產生的磁場，這只是電流和磁場之間相互關系中的一個側面。本節我們簡單討論一下問題的另一個側面，即磁場對電流的作用。主要內容有：磁場對載流導線作用力的基本規律——安培定律；磁場對載流線圈作用的磁力矩；磁場對運動電荷的作用力——洛侖茲力。

7.5.1磁場對載流導線的作用力

載流導線放在磁場中時，將受到磁力的作用。安培最早用實驗方法，研究了電流和電流之間的磁力的作用，從而總結出載流導線上一小段電流元所受磁力的基本規律，稱為安培定律。其內容如下：放在磁場中某點處的電流元Idl，所受到的磁場作用力dF的大小和該點處的磁感強度B的大小、電流元的大小以及電流元Idl和磁感強度B所成的角θ[或用(Idl，B)表示]的正弦成正比，即dF=kBIdlsinθ

dF的方向與矢積Idl

×B的方向相同(圖7-18)。

式中的比例系數k的量值取決于式中各量的單位。在國際單位制中，B的單位用特斯拉(T)，I的單位用安培(A)，dl的單位用米(m)，dF的單位用牛頓(N)，則k=1，安培定律的表達式可簡化為

dF=BIdlsinθ

，寫成矢量表達式，即

dF=Idl×B

（7-17）

載流導線在磁場中所受的磁力，通常也叫安培力。式(7-17)表達的規律叫做安培定律。

因為安培定律給出的是載流導線上一個電流元所受的磁力，所以它不能直接用實驗進行驗證。但是，任何有限長的載流導線L在磁場中所受的磁力F，應等于導線L上各個電流元所受磁力dF的矢量和，

(7-18)圖7-19圖7-18對于一些具體的載流導線，理論計算的結果和實驗測量的結果是相符的。這就間接證明了安培定律的正確性。圖7-18圖7-19

式(7-18)是一個矢量積分。如果導線上各個電流元所受的磁力dF的方向都相同，則矢量積分可直接化為標量積分。例如，長為L的一段載流直導線，放在均勻磁場B中，如圖7-19所示。根據矢積的右手螺旋法則，可以判斷導線上各個電流元所受磁力dF的方向都是垂直紙面向外的。所以整個載流直導線所受的磁力F的大小為

其中θ為電流I的方向與磁場B的方向之間的夾角。F的方向與dF的方向相同，即垂直于紙面向外。

由式(7-18)可以看出，當直導線與磁場平行時(即或)，F=0，即載流導線不受磁力作用；當直導線與磁場垂直時（)，載流導線所受磁力最大，其值為F=BIL；如果載流導線上各個電流元所受磁力dF的方向各不相同，式(7-18)的矢量積分不能直接計算。這時應選取適當的坐標系，先將dF沿各坐標分解成分量，然后對各個分量進行標量積分：，，，最后再求出合力。例7-4如圖7-20所示，載流長直導線L1通有電流，另一載流直導線L2與L1共面且正交，長為，通電流。L2的左端與L1相距d＝20cm，求導線L2所受的磁場力。

解

長直載流導線L1所產生的磁感強度B在L2處的方向雖都是垂直圖面向內，但它的大小沿L2逐點不同。要計算L2所受的力，先要在L2上距L1為x處任意取一線段元dx，在電流元I2dx的微小范圍內，B可看作恒量，它的大小為

顯然任一電流元I2dx都與磁感強度B垂直，即，所以電流元受力的大小根據矢積Idl

×B的方向可知，電流元受力的方向垂直L2沿圖面向上。由于所有電流元受力方向都相同，所以整根L2所受的力F是各電流元受力大小的和，可用標量積分直接計算

圖7-20

代入題設數據后得

導體L2受力的方向和電流元受力方向一樣，也是垂直L2沿圖面向上。7.5.2磁場對載流線圈的作用力矩

一個剛性載流線圈放在磁場中往往要受力矩的作用，因而發生轉動。這種情況在電磁儀表和電動機中經常用到。下面我們利用安培定律討論均勻磁場對平面載流線圈作用的磁力矩。圖7-21

如圖7-21所示，在磁感應強度為B的均勻磁場中，有一剛性的載流線圈abcd，邊長分別為L1和L2，通有電流I。設線圈平面的法線n的方向(由電流I的方向，按右手螺旋法則定出)與磁感應強度B的方向所成的夾角為φ。ab和cd兩邊與B垂直。由圖可見，線圈平面與B的夾角

根據安培定律，導線bc和da所受磁場的作用力分別為F1和F2，其大小,F1和F2大小相等，方向相反，又都在過bc和da中點的同一直線上。所以它們的合力為零，對線圈不產生力矩。導線ab和cd所受磁場的作用力分別為F3和F4，

根據安培定律，它們的大小為

圖7-21F3和F4大小相等，方向相反，雖然合力為零，但因它們不在同一直線上，而形成一力偶，其力臂為因此，均勻磁場作用在矩形線圈上的力矩M的大小為

（7-19）

式中，S=L1L2為矩形線圈的面積。M的方向為沿ac中點和bd中點的聯線向上。如果線圈有N匝，則線圈所受力矩為一匝時的N倍，即式中，Pm=NIS為載流線圈磁矩的大小，Pm的方向就是載流線圈平面的法線n的方向。所以上式可以寫成矢量形式，即

M=Pm×B

（7-20）式(7-19)和式(7-20)雖然是由矩形載流線圈推導出來的，但可以證明，在均勻磁場中對于任意形狀的載流平面線圈所受的磁力矩，上述二式都是普遍適用的。總之，任何一個載流平面線圈在均勻磁場中，雖然所受磁力的合力為零，但它還受一個磁力矩的作用。這個磁力矩M總是力圖使線圈的磁矩Pm轉到磁場B的方向上來。當φ=，即線圈磁矩Pm與磁場方向垂直，或者說線圈平面與磁場方向平行時，線圈所受磁力矩最大，即由此也可以得到磁感強度B的大小的又一個定義式，即當φ=0即線圈磁矩Pm與磁場方向一致時，磁力矩M=0，此時線圈處于穩定平衡狀態；當φ=π時，載流線圈所受的磁力矩為零，此時線圈處于非穩定平衡狀態。

7.5.3磁場對運動電荷的作用力

帶電粒子在磁場中運動時，受到磁場的作用力，這種磁場對運動電荷的作用力叫做洛侖茲力。

實驗發現，運動的帶電粒子在磁場中某點所受到的洛侖茲力f的大小，與粒子所帶電量q的量值、粒子運動速度v的大小、該點處磁感強度B的大小以及B與v之間夾角θ的正弦成正比。在國際單位制中，洛侖茲力f的大小為

(7-21)洛侖茲力f的方向垂直于v和B構成的平面，其指向按右手螺旋法則由矢積v×B的方向以及q的正負來確定：對于正電荷(q>0)，f的方向與矢積v×B的方向相同；對于負電荷(q<0)，f的方向與矢積v×B的方向相反，如圖7-22所示。洛侖茲力f的矢量式為

f=qv×B

(7-22)圖7-22注意，式中的q本身有正負之別，這由運動粒子所帶電荷的電性決定。當電荷運動方向平行于磁場時，v與B之間的夾角或θ=π，則洛侖茲力f=0。當電荷運動方向垂直于磁場時，v與B的夾角，則運動電荷所受的洛侖茲力最大，這正是7.1.2中定義磁感強度B的大小時引用過的情況。由于運動電荷在磁場中所受的洛侖茲力的方向始終與運動電荷的速度垂直，所以洛侖茲力只能改變運動電荷的速度方向，不能改變運動電荷速度的大小。也就是說洛侖茲力只能使運動電荷的運動路徑發生彎曲，但對運動電荷不作功。

7.5.4霍耳效應

將通有電流I的金屬板（或半導體板）置于磁感強度為B的均勻磁場中，磁場的方向和電流方向垂直如圖7-23所示，在金屬板的第三對表面間就顯示出橫向電勢差，這一現象稱為霍耳效應。UH則稱為霍耳電勢差。

實驗測定，霍耳電勢差的大小和電流I及磁感強度B成正比，而與板的厚度d成反比。

這種現象可用載流子受到洛侖茲力來解釋。

設一導體薄片寬為l、厚為d，把它放在磁感強度為B的均勻磁場中，通以電流I，方向如圖7-23所示。如果載流子（金屬導體中為電子）作宏觀定向運動的平均速度為v(也叫平均漂移速度，與I的方向相反)，則每個載流子受到的平均洛侖茲力Fm的大小為

Fm

=qvB，它的方向為矢積qv

×B的方向。即圖7-23（b）中寬度l向下的方向。在洛侖茲力作用下，使正載流子聚集于上表面，下表面因缺少正載流子而積累等量異號的負電荷。隨著電荷的積累，在兩表面之間出現電場強度為EH的橫向電場，使載流子受到與洛侖茲力方向相反的電場力Fe

(=qEH)的作用。達到動態平衡時，兩力方向相反而大小相等。于是有

(b)

圖7-23霍耳效應

所以由于半導體內各處，載流子的平均漂移速度相等。而且磁場是均勻磁場，所以動態平衡時，半導體內出現的橫向電場是均勻電場。于是霍爾電壓為，由于電流，n為載流子密度，上面兩式消去v，即得或寫成

(7-23)式中叫做材料的霍爾系數。霍爾系數越大的材料，霍爾效應越顯著。霍爾系數與載流子密度n成反比。在金屬導體中，自由電子的濃度大，故金屬導體的霍耳系數很小，相應的霍耳電勢差也就很弱，即霍耳效應不明顯。而半導體的載流子密度遠比金屬導體的小，故半導體的霍耳系數比金屬導體大得多，所以半導體的霍爾效應比金屬導體明顯得多。如果載流子是負電荷(則)，霍爾系數是負值，則霍爾電壓也是負值。因此可根據霍爾電壓的正、負判斷導電材料中的載流子是正的還是負的。

在電流、磁場均相同的前提下，應特別注意：P型半導體和N型半導體的霍耳電勢差正負不同。霍耳系數與材料性質有關。表7-1列出了幾種材料的霍耳系數

表7-1幾種材料的霍耳系數

物

質化學名稱霍耳系數

物

質化學名稱霍耳系數鋰Li-1.7鉍Be2.44鈉Na-2.5鎂Mg-0.94鉀K-4.2鋅Zn0.33銫Cs-7.8鉻Cr6.5銅Cu-0.55鋁Al-0.30銀Ag-0.84錫Sn

-0.048金Au-0.72鉈Tl

0.12用半導體做成反映霍爾效應的器件叫做霍爾元件。它已廣泛應用于科學研究和生產技術上。例如可用霍爾元件做成測量磁感強度的儀器——高斯計。利用霍耳效應，可實現磁流體發電。它是目前許多國家都在積極研制的一項高新技術。7.5.5介質中的磁場

在實際的磁場中，一般都存在各種不同的實物性物質，放在磁場中的任何物質都要和磁場發生相互作用，所以人們把放在磁場中的任何物質統稱為磁介質。

1.磁介質

放在靜電場中的電介質要被電場極化，極化了的電介質會產生附加電場，從而對原電場產生影響。與此類似，放在磁場中的磁介質要被磁場磁化，磁化了的磁介質也會產生附加磁場，從而對原磁場產生影響。實驗表明，不同的磁介質對磁場的影響不同。如果在真空中某點磁感強度為B0，放入磁介質后，因磁介質被磁化而在該點產生的附加磁感強度為B′。那么該點的磁感強度B應是這兩個磁感強度的矢量和，即

B=B0

+

B′(7-24)

在磁介質內任一點，附加磁感強度B′的方向隨磁介質而異，如果B′的方向與B0的方向相同，使得B＞B0，這種磁介質叫做順磁質，如鋁、氧、錳等。還有一些磁介質，在磁介質內部任一點，B′的方向與B0的方向相反，使得B＜B0，這種磁介質叫做抗磁質，如銅、鉍、氫等。無論是順磁質還是抗磁質，附加的磁感強度B′都比B0小得多(不大于十萬分之幾)，它對原來的磁場的影響比較弱。所以，順磁質和抗磁質統稱為弱磁質。另一類磁介質，在磁介質內

部任一點的附加磁感強度B′的方向與順磁質一樣，也和B0的方向相同，但B′的值卻比B0大得多，即，從而使磁場顯著增強，例如鐵、鈷、鎳等就屬于這種情況，人們把這類磁介質叫做鐵磁質或強磁質。

為反映各種磁介質對外磁場影響的程度，常用磁介質的磁導率來描述。

2.相對磁導率和磁導率

以載流長直螺線管為例來討論磁介質對外磁場的影響。設螺線管中的電流為I，單位長度的匝數為n，則電流在螺線管內產生的磁感強度B0的大小為(7-25)如果在長直螺線管內充滿某種均勻的各向同性磁介質，則由于磁介質的磁化而產生附加磁感強度B′，使螺線管內的磁介質中的磁感強度變為B，B和B0大小的比為

(7-26)

比值是決定磁介質磁性的純數。叫做該磁介質的相對磁導率，它的大小表征了磁介質對外磁場影響的程度。比較(7-25)、(7-26)兩式得

或(7-27)

式中，μ叫做磁介質的磁導率。在國際單位制中，磁介質的磁導率μ的單位和真空磁導率的單位相同，即或N·A-2。

對于順磁質，＞1，對于抗磁質，＜1，事實上，大多數順磁質和一切抗磁質的相對磁導率是與1相差極微的常數，說明這些物質對外磁場影響甚微，因而有時可忽略它們的影響。至于鐵磁質，它們的相對磁導率遠大于1，并且隨著外磁場的強弱而變化。磁介質的磁化是物體的一個重要屬性。它與物質微觀結構分不開，下面介紹弱磁物質的磁化的微觀機理。

3.順磁質與抗磁質的磁化機理

從物質結構看，任何物質分子中的每個電子，除繞原子核作軌道運動外，還有自旋運動，這些運動都要產生磁場。如果把分子當作一個整體，每一個分子中各個運動電子所產生的磁場的總和，相當于—個等效圓形電流所產生的磁場。這一等效圓形電流叫做分子電流。每種分子的分子電流的磁矩Pm具有確定的量值，叫做分子磁矩。

在順磁質中，每個分子的分子磁矩Pm不為零，當沒有外磁場時，由于分子的熱運動，每個分子磁矩的取向是無序的。因此在一個宏觀的體積元中，所有分子磁矩的矢量和ΣPm為零。也就是說：當無外磁場時，磁介質不呈磁性。當有外磁場時，各分子磁矩都要受到磁力矩的作用。在磁力矩作用下，所有分子磁矩Pm將力圖轉到外磁場方向，但由于分子熱運動的影響，分子磁矩沿外磁場方向的排列只是略占優勢。因此在宏觀的體積元中，各分子磁矩的矢量和ΣPm不為零。即合成—個沿外磁場方向的合磁矩。這樣，在磁介質內，分子電流產生了一個沿外磁場方向的附加磁感強度B′，于是，順磁質內的磁感強度B的大小增強為

B

=B0+B′，這就是順磁質的磁化效應。

在抗磁質中，雖然組成分子的每個電子的磁矩不為零，但每個分子的所有分子磁矩正好相互抵消。也就是說：抗磁質的分子磁矩為零，即Pm

=0。所以當無外磁場時，磁介質不呈現磁性。當抗磁質放人外磁場中時，由于外磁場穿過每個抗磁質分子的磁通量增加，無論分子中各電子原來的磁矩方向怎樣，根據中學里已學過的電磁感應知識，分子中每個運動著的電子將感應出—個與外磁場方向相反的附加磁場，來反抗穿過該分子的磁通量的增加。這—附加磁場可看作是由分子的附加等效圓形電流所產生的，其磁矩為，叫做分子的附加磁矩

。由于原子、分子中電子運動的特點一一電子不易與外界交換能量，磁場穩定后，已產生的附加等效圓形電流將繼續下去，因而在外磁場中的抗磁質內，由所有分子的附加磁矩產生了一個與外磁場方向相反的附加磁感應強度B′。于是抗磁質內的磁感應強度的大小減為B

=

B0-B′，這就是抗磁質的磁化效應。實際上，在外磁場中順磁質分子也要產生—個與外磁場方向相反的附加磁矩，但在一個宏觀的體積元中，順磁質分子由于轉向磁化而產生與外磁場方向相同的磁矩遠大于分子附加磁矩的總和，因此順磁質中的分子附加磁矩被分子轉向磁化而產生的磁矩所掩蓋。4.介質中的安培環路定理

在不考慮磁介質時，磁場的安培環路定理可寫作

在有磁介質的情況下，介質中各點的磁感強度B等于傳導電流I和磁化電流I′分別在該點激發的磁感強度

B0和

B′之矢量和，即

B=B0+B′

因此，磁場的安培環路定理中，還須計入被閉合路徑

l所圍繞的磁化電流I′，即但是，由于磁化電流

的分布難于測定，這就給應用安培環路定理來研究介質中的磁場造成了困難，為此，在磁場中引入一個輔助量——稱為磁場強度，簡稱H矢量，定義為

，單位是安培每米（

A·m-1）。于是，可以得到有磁介質時磁場的安培環路定理為上式表明，在任何磁場中，H矢量沿任何閉合路徑

l的線積分（即），等于此閉合路徑

l所圍繞的傳導電流

之代數和。

5.鐵磁質的特性

順磁質和抗磁噴的都接近1，因此對磁場影響不大。而鐵磁質則很大，因而磁導率是真空中的幾百倍至幾萬倍。此外還有如下一些特性：(1)鐵磁質的磁感應強度B

(=μH)并不隨著磁場強度H按比例地變化，即鐵磁質的磁導率不是常量。當H從零逐漸增大（H的值不是很大）時，B也逐漸地增加；之后，H再增加時，B就急劇地增加；當H增大到一定程度以后，再增H時，B就增加得慢了，并且再增加外磁場強度H，B的增加就十分緩慢，以至于不再增大。這時對應的B值一般叫做飽和磁感強度Bmax，這種現象叫做磁飽和現象。

(2)鐵磁質的磁化過程并不是可逆的。當H增大時，B按一條磁化曲線增長，當鐵磁質磁化到一定程度后，再逐漸使H減弱而使鐵磁質退磁時，B雖相應的減小，但卻按照另一條曲線下降，而該曲線的位置比上一曲線高，這種B的變化落后于H的變化的現象，叫做磁滯現象，簡稱磁滯。當H減小到零時，B并不等于零，而仍有一定數值Br，Br叫做剩余磁感強度，簡稱剩磁。這是鐵磁質所特有的現象。如果一鐵磁質有剩磁存在，這就表明它已被磁化過。為了消除剩磁，必須加一反向磁場。

圖7-24磁滯回線

由圖7-24可以看出，隨著反向磁場的增加，B逐漸減小，當達到H=HC時，B等于零。通常把HC叫做矯頑力。它表示鐵磁質去磁的能力。當反向磁場繼續不斷增強到－HC時，材料的反向磁化同樣能達到飽和。由于磁滯，B-H曲線形成一個閉合曲線，通常叫做磁滯回線。如圖7-24所示。圖7-24磁滯回線

(3)．實驗還發現，鐵磁質的磁化和溫度有關。隨著溫度的升高，它的磁化能力逐漸減小，當溫度升高到某一溫度時，鐵磁性就完全消失。這個溫度叫做居里溫度或居里點。從實驗知道鐵的居里溫度是770℃(1043K)

本章小結：

1.磁感強度B

大小：；方向：規定磁場中，小磁針靜止時N極的指向方向為該點的磁感強度B的方向。

可用磁感應線簡稱線來形象化的描述磁場的分布情況：磁感應線上任一點的切線方向與該點的磁感應強度B的方向一致；磁感應線的密度表示B的大小。

2.畢奧—薩伐爾定律穩恒電流的電流元I在真空中某點所產生的磁感強度

（1）載流直導線的磁場

當載流導線為無限長時：

（2）圓形電流的磁場

；圓心處：；當：

或

線圈的磁矩

3.通過曲面S的磁通量

4.磁場中的高斯定理

它表明磁場是無源場，或者說是渦旋場5.安培環路定理

它表明穩恒磁場是非保守場（1）.長直載流螺線管內的磁場

B=μ0n

I（2）環形載流螺線管（常稱螺繞環）內外的磁場

管內（R1＜

r

＜R2）：，當，（R：螺繞環的平均半徑）：

管外

B=0（3）長直載流圓柱體的磁場導體