工程測試技術——郭世偉第二章信號及其描述一、信號的描述與分類信號與信息間的關系信號可為時間、空間、頻率等自變量的函數(shù)，本課程中“信號”與“函數(shù)”不加區(qū)分。本課程主要研究一維時間動態(tài)信號。從不同角度觀察信號，可有不同的分類方法：1從信號變化規(guī)律上分--確定性信號與非確定性信號；2從分析域上分--時域與頻域；3從連續(xù)性上分--連續(xù)時間信號與離散時間信號；確定性信號與非確定性信號

可以用明確數(shù)學關系式描述的信號稱為確定性信號。不能用數(shù)學關系式描述的信號稱為非確定性信號。此時信號的分類主要依據(jù)信號時域波形變化特征劃分。信號波形：用被測物理量的強度作為縱坐標，用時間做橫坐標，記錄被測信號幅度隨時間的變化歷程稱為信號的波形。周期信號：經(jīng)過一定時間可以重復出現(xiàn)的信號

x(t)=x(t+nT)簡單周期信號復雜周期信號

例如，下面是一個50Hz正弦波信號10sin(2*π*50*t)的波形，信號周期為1/50=0.02秒。

機械系統(tǒng)中，回轉體不平衡引起的振動，往往也是一種周期性運動。例如，下圖是某鋼廠減速機上測得的振動信號波形(測點3)，可以近似地看作為周期信號。某鋼廠減速機振動測點布置圖某鋼廠減速機測點3振動信號波形復雜周期信號b)非周期信號：在不會重復出現(xiàn)的信號。

例如，錘子的敲擊力、承載纜繩斷裂時的應力變化、熱電偶插入加熱爐中溫度的變化過程等，這些信號都屬于瞬變非周期信號，并且可用數(shù)學關系式描述。例如，下圖是單自由度振動模型在脈沖力作用下的響應,為衰減振蕩形式。

瞬態(tài)信號:持續(xù)時間有限的信號準周期信號準周期信號是非周期信號的特例，處于周期與非周期的邊緣情況，是由有限個周期信號合成的，但各周期信號的頻率相互間不是公倍數(shù)關系，其合成信號不滿足周期條件。例如是兩個正弦信號的合成，其頻率比不是有理數(shù)，不成諧波關系。下面是其信號波形這種信號往往出現(xiàn)于通信、振動系統(tǒng)，應用于機械轉子振動分析、齒輪噪聲分析、語音分析等場合。

c)信號分析中常用的函數(shù)常用的函數(shù)即典型時域信號，有以下幾種

(1)正弦信號、余弦信號正弦函數(shù)三要素：A、ω、θ（2）函數(shù):是一個理想函數(shù)，是物理不可實現(xiàn)信號。等價：tS(t)tS(t)tS(t)1/（3）sinc函數(shù)波形性質：偶函數(shù)；閘門(或抽樣)函數(shù)；濾波函數(shù)；內插函數(shù)。圖示：頻率放大（4）指數(shù)函數(shù)先分別說明實指數(shù)、虛指數(shù)函數(shù)意義，再討論復指數(shù);(實部，或虛部)為幅值呈指數(shù)規(guī)律變化的正弦信號。（5）其他信號 階躍信號 斜坡信號 矩形窗函數(shù) 脈沖序列 矩形波、三角波d)非確定性信號：不能用數(shù)學式描述，其幅值、相位變化不可預知，所描述物理現(xiàn)象是一種隨機過程。例如，汽車奔馳時所產生的振動、飛機在大氣流中的浮動、樹葉隨風飄蕩、環(huán)境噪聲等。下圖為加工過程中螺紋車床主軸受環(huán)境影響的振動信號波形。

噪聲信號(平穩(wěn))噪聲信號(非平穩(wěn))統(tǒng)計特性變異需要指出的是，實際物理過程往往是很復雜的，既無理想的確定性，也無理想的非確定性，而是相互參雜的。隨機信號又有平穩(wěn)和非平穩(wěn)隨機信號之分：二、周期信號的頻譜分析信號頻域分析是采用傅立葉變換將時域信號x(t)變換為頻域信號X(f)，從而幫助人們從另一個角度來了解信號的特征。時域分析只能反映信號的幅值隨時間的變化情況，除單頻率分量的簡諧波外，很難明確揭示信號的頻率組成和各頻率分量大小。

圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號

機械振源的譜分析

任何周期函數(shù)在滿足狄利克利(Dirichlet)條件下，都可以展開成正交函數(shù)線性組合的無窮級數(shù)，如正交函數(shù)集是三角函數(shù)集時，可展開成傅里葉級數(shù)。傅里葉級數(shù)的表達形式：（一）傅立葉級數(shù)注意：以后均以該形式作為標準形式式中:T――周期，T=2π/ω0；ω0――基波圓頻率；f0=ω0/2πa0為直流分量；an為余弦分量幅值；bn

為正弦分量幅值； 基頻n次諧波頻譜分為幅值頻譜和相位頻譜。

An和n一般總取正，cos()中也用正號，則“負”都體現(xiàn)在初相φ上了。而φ需要滿足：-π≤φ≤π時間幅值頻率時域分析頻域分析信號的頻譜X(f)代表了信號在不同頻率分量處信號成分的大小，它能夠提供比時域信號波形更直觀，豐富的信息。時域分析與頻域分析的關系例1：方波信號的頻譜展開頻譜圖工程上習慣將計算結果用圖形方式表示：以fn為橫坐標，bn、an為縱坐標畫圖，稱為實頻－虛頻譜圖；以fn為橫坐標，An、為縱坐標畫圖，則稱為幅值－相位譜；以fn為橫坐標，An2

為縱坐標畫圖，則稱為功率譜。

注意：頻率單位可用rad/s或Hz，相位單位可為rad或角度值o周期方波的頻譜描述圖示：相頻譜常因約定形式的不同而不同。如取另一種約定形式時為：

頻譜是構成信號的各頻率分量的集合，它完整地表示了信號的頻率結構，即信號由哪些諧波組成，各諧波分量的幅值大小及初始相位，從而揭示了信號的頻率信息。對周期信號來說，信號的譜線只會出現(xiàn)在0,f1,f2,…fn等離散頻率點上，這種頻譜稱為離散譜。（1）周期信號頻譜特點：離散性、諧波性、收斂性（2）頻譜分析的工程意義（3）付氏分析的局限性（1），的頻譜特征（2）例，求以下周期信號的頻譜圖（按約定形式展開）求思考：注意：所取標準形式，幅值正負，頻率正負等問題典型周期信號的傅立葉級數(shù)展開周期函數(shù)的奇、偶情況（二）周期信號的復指數(shù)函數(shù)表示歐拉公式則有把它代入下式：得到傅里葉級數(shù)的復數(shù)表達形式：

一般為復數(shù)復數(shù)可表示成實部和虛部的形式，也可表示成模和相角的形式：幅值相位

其中An、φn分別為約定的（三角函數(shù)形式）傅立葉級數(shù)標準形式中的幅值、相位。由此可看出兩種傅立葉級數(shù)參數(shù)間的聯(lián)系。以繪出的曲線稱為幅值譜以繪出的曲線稱為相位譜包含了信號x(t)的幅值信息和相位信息

傅立葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式為單邊譜，傅立葉級數(shù)的復指數(shù)展開式為雙邊譜。（后者的表達形式比較“穩(wěn)定”）兩者均為離散譜，分布規(guī)律一致。雙邊譜的幅值（和實部）為偶函數(shù)，相位（和虛部）為奇函數(shù)。引入負頻率的概念意義舉例：余弦、正弦信號的頻譜（三）周期信號的強度表示1、峰值與峰-峰值2、均值與絕對均值3、有效值，即均方根值4、平均功率三、非周期信號的頻譜分析準周期信號的頻譜也是離散的，與周期信號的頻譜無本質區(qū)別，只是各離散頻率不成整倍數(shù)關系。通常所說的非周期信號指的是瞬態(tài)信號。（一）傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換可以從周期信號的傅立葉級數(shù)分析引申開來。周期信號可認為是非周期信號的周期延拓；而非周期信號為周期信號的周期，則則取：此即傅立葉變換對取f(Hz)為自變量時,為傅立葉變換的條件——狄利克利(Dirichlet)、絕對可積。與周期信號相似，非周期信號也可以分解為許多不同頻率分量的諧波和。所不同的是：（1）由于非周期信號的周期，基頻，它包含了從零到無窮大的所有頻率分量,使非周期信號的頻譜為連續(xù)譜

；（2）非周期信號的幅值頻譜的量綱——單位頻寬上的幅值，故稱頻譜密度函數(shù)。因為各頻率分量的幅值X(ω)dω/(2π)為無窮小量，不能表示頻譜，而必須用幅值密度函數(shù)X(ω)描述。非周期信號x(t)的傅里葉變換X(f)是復數(shù)，所以有式中|X(f)|——信號在頻率f處的幅值譜密度；

——信號在頻率f處的相位。

工程上習慣將計算結果用圖形方式表示：以f為橫坐標，Re[X(f)]、Im[X(f)]為縱坐標畫圖，繪出的曲線圖稱為實頻、虛頻密度譜圖（實頻圖，虛頻圖）；以f為橫坐標，|X(f)|、為縱坐標畫圖，繪出的曲線圖稱為幅值、相位密度譜（幅頻圖，相頻圖）；以f為橫坐標，|X(f)|2為縱坐標畫圖，繪出的曲線圖稱為功率密度譜。

頻譜分析的應用：頻譜分析主要用于識別信號中的周期分量，是信號分析中最常用的一種手段。例如，在機床齒輪箱故障診斷中，可以通過測量齒輪箱上的振動信號，進行頻譜分析，確定最大頻率分量，然后根據(jù)機床轉速和傳動鏈，找出故障齒輪。再例如，在螺旋漿設計中，可以通過頻譜分析確定螺旋槳的固有頻率和臨界轉速，確定螺旋槳轉速工作范圍。在生活中也有許多應用頻譜分析的場合，例如可以用頻譜分析儀來對電子琴校音，看各琴鍵產生的音的頻率是不是準確。

時間幅值頻率時域分析頻域分析對于非周期信號想象中，頻率連續(xù)，幅值則為頻譜密度例：求矩形窗函數(shù)的頻譜其付氏變換為其頻譜也可表示為：sinc()函數(shù)性質：偶函數(shù)；閘門(或抽樣)函數(shù)；內插函數(shù)。

（二）傅立葉變換的性質（以下頻譜自變量均取f

）1、奇偶虛實性如時域實函數(shù)的幅頻特性為偶函數(shù)，相頻為奇函數(shù)。2、線性迭加性3、對稱性質4、時移性質（以f為頻率自變量時）矩形窗函數(shù)時、頻域的對稱性5、頻移性質6、時間尺度改變性質7、卷積定理8、微分、積分性質（三）典型信號的付氏變換1、矩形窗函數(shù)S(t)2、單位脈沖信號δ(t)的頻譜（1）δ(t)的定義可看作矩形窗函數(shù)Sε(t)的極限(見下圖)（2）δ(t)的抽樣性質（篩選性質）（3）δ(t)的卷積性質（4）δ(t)的頻譜3、常數(shù)函數(shù)4、正、余弦函數(shù)的頻譜FT5、一般周期信號