第五章傅里葉變換應用于通信系統－濾波、調制與抽樣教學目的：1傅里葉變換形式的系統函數H(jω)

及物理意義2信號無失真傳輸的條件3理想低通濾波器教學重點：1傅里葉變換形式的系統函數H(jw)2信號無失真傳輸的條件據FT卷積定理有：一、傅里葉變換形式的系統函數H(jw)§5.1引言系統的響應：系統頻率響應特性區分：時域系統函數h(t)

頻域系統函數H(jw)

復頻域系統函數H(s)二、系統函數的物理意義系統可以看作是一個信號處理器激勵：E(j)響應：H(j)·E(j)對信號各頻率分量進行加權系統對信號起濾波的作用，因此又叫濾波器。三、

利用系統函數

H(j)求響應例5-1-1響應例5-1-2分析：傅氏分析法激勵：E(j)

響應：()()()wwwjjj=EHR()wj=ssH()wjH=系統：解:求v2(t)波形及頻譜圖傅氏分析法波形及頻譜圖低通濾波器濾波§5.2無失真傳輸失真無失真傳輸條件一．失真信號經系統傳輸，要受到系統函數的加權，若輸出波形發生了變化，與輸入波形不同，則產生失真。二．無失真傳輸1、幅度可以比例增加2、可以有時移波形形狀不變●線性系統的失真——幅度，相位變化，不產生新的頻率成分；●非線性系統產生非線性失真——產生新的頻率成分。

對系統的不同用途有不同的要求：●無失真傳輸；●利用失真波形變換。線性系統引起信號失真的因素●幅度失真：各頻率分量幅度產生不同程度的衰減；●相位失真：各頻率分量產生的相移不與頻率成正比，使響應的各頻率分量在時間軸上的相對位置產生變化。說明：二．無失真傳輸條件頻域條件時域條件時域條件無失真傳輸系統的時、頻域條件●要求幅度為與頻率無關的常數K，系統的通頻帶為無限寬。●相位特性與成正比，是一條過原點的負斜率直線。相位特性為什么與頻率成正比關系？只有相位與頻率成正比，方能保證各諧波有相同的延遲時間，在延遲后各次諧波疊加方能不失真。延遲時間t0

是相位特性的斜率：群時延（色散）或稱群延時只有當系統的群延時特性為常數時，才能使得信號傳輸時不產生相位失真。見書P271圖5-5§5.4理想低通濾波器理想低通的頻率特性理想低通的沖激響應理想低通的階躍響應理想低通對矩形脈沖的響應一．理想低通濾波器的頻率特性●的低頻段內，傳輸信號無失真

()。●為截止頻率，稱為理想低通濾波器的頻帶寬度，簡稱頻帶。

即二．理想低通的沖激響應理想低通的沖激響應波形（1）當經過理想低通時，以上的頻率成分都衰減為0，所以失真,信號有時移。（2）理想低通濾波器是個物理不可實現的非因果系統(4)理想低通濾波器的沖激響應與帶寬的關系三．理想低通的階躍響應激勵系統響應1.下限為0；2.奇偶性：奇函數。正弦積分3.最大值出現在最小值出現在

理想低通的階躍響應2．階躍響應的上升時間tr

與網絡的截止頻率B（帶寬）成反比。

B是將角頻率折合為頻率的濾波器帶寬（截止頻率）。討論1．上升時間：輸出由最小值到最大值所經歷的時間，：

四．理想低通對矩形脈沖的響應吉伯斯現象：跳變點有9%的上沖。改變其他的“窗函數”有可能消除上沖。（例如：升余弦類型）21．時，才有如圖示，近似矩形脈沖的響應。如果過窄或過小，則響應波形上升與下降時間連在一起完全失去了激勵信號的脈沖形象。討論§5.5系統的物理可實現性、

佩利－維納準則一種可實現的低通佩利－維納準則理想低通濾波器在物理上是不可實現的，近似理想低通濾波器的實例一．一種可實現的低通二．佩利－維納準則物理可實現的網絡佩利－維納準則：佩利、維納證明幅度函數|H(jω)|滿足一定條件時系統才是物理可實現的系統。說明物理可實現系統,可以允許H(jω)特性在某些不連續的頻率點上為零，但不允許在一個有限頻帶內為零。（理想低通、理想高通、理想帶通、理想帶阻等理想濾波器都是不可實現的）佩利-維納準則要求可實現的幅度特性其總的衰減不能過于迅速；可實現的低通近似理想低通濾波器的實例網絡傳遞函數相量法波形及頻譜圖響應是從t=0開始，是一個可實現的網絡。

§5.6利用希爾伯特(Hilbert)變換

研究系統的約束特性希爾伯特變換的引入可實現系統的網絡函數與希爾伯特變換由傅里葉變換到希爾伯特變換已知正負號函數的傅里葉變換

根據對稱性得到

則若系統函數為則沖激響應系統框圖:系統的零狀態響應

利用卷積定理具有系統函數為的網絡是一個使相位滯后弧度的寬帶相移全通網絡。同理可得到:若系統沖激響應為其網絡的系統函數為該系統框圖為利用卷積定理具有系統函數為的網絡是一個使相位超前

弧度的寬帶相移全通網絡。

一、希爾伯特變換對希爾伯特正變換希爾波特反變換HilbertTransform二、

可實現系統的網絡函數與希爾伯特變換可實現系統是因果系統，其沖激響應即:其傅里葉變換又則根據實部與實部相等，虛部與虛部相等，得因果系統系統函數的實部與虛部滿足希爾伯特變換約束關系。三．常用希爾伯特變換對對于任意因果函數，傅里葉變換的實部與虛部都滿足希爾伯特變換的約束關系，希爾伯特變換作為一種數學工具在通信系統中得到了廣泛的應用。例5-6-1方法1:方法2：

用三種方法求解此題：方法3：

直接用希爾伯特變換定義式即：則希爾伯特變換的頻譜函數為例5-6-2[]伯特變換的約束關系。的實部與虛部滿足希爾，證明已知)()()(thFtuethta-=因為即系統函數式中實部虛部現在求的希爾伯特變換可求出各分式系數則例5-6-3試分析下面系統可以產生單邊帶信號已知信號是帶限信號，其頻譜函數為

圖中系統函數載頻由調制定理可知為帶通信號其頻譜函數是的希爾伯特變換信號其頻譜則解：其頻譜函數即輸出信號其頻譜為頻譜圖是帶通信號（上邊帶調幅信號）的頻譜。§5.7調制與解調信號調制原理信號解調原理在通信系統中，信號從發射端傳輸到接收端，為實現信號的傳輸，往往要進行調制和解調：高頻信號容易以電磁波形式輻射出去多路信號的傳輸——頻分復用相關課程中講解“調制與解調”的側重點不同：“信號與系統”——應用傅里葉變換的性質說明搬移信號頻譜的原理；“通信原理”——研究不同的調制方式對系統性能的影響；“高頻電路”——調制／解調電路的分析。一．調制原理1．調制調制：將信號的頻譜搬移到任何所需的較高頻段上的過程。調制的分類 按載波 正弦型信號作為載波 脈沖串或一組數字信號作為載波 連續性 模擬（連續）調制 數字調制模擬調制是數字調制的基礎。幅度調制分析頻移性質調制頻譜2．解調將已調信號恢復成原來的調制信號的過程。本地載波，與發送端載波同頻同相解調頻譜理想低通截止頻率：))二．調幅、抑制載波調幅及其解調波形調制信號載波信號抑制載波調幅（需本地載波）調幅（不需本地載波）解調（包絡檢波）§5.9從抽樣信號恢復

連續時間信號由理想抽樣信號恢復原信號濾除高頻成分，即可恢復原信號理想低通濾波器一．由理想抽樣信號恢復原信號時域運算以理想抽樣為例理想低通濾波器：

信號恢復卷積包絡由理想抽樣信號恢復原連續信號相乘1/Ts二．零階抽樣保持在實際電路與系統中，要產生和傳輸接近δ函數的時寬窄且幅度大的脈沖信號比較困難。為此，在數字通信系統中經常采用其他抽樣方式，如零階抽樣保持。零階抽樣保持f(t)p(t)fs0(t)h0(t)零階抽樣保持器要研究的問題：零階抽樣保持后信號fs0(t)的頻譜怎樣？零階抽樣保持后怎樣無失真的恢復原連續信號的頻譜？一、fs0(t)的頻譜波形及頻譜圖ωs=2ωmO()th0t1sTOO()tft1O()tfst1O()tf0st1wsT()w0Hsπ2TOw()wFmw-mwOw()wsFmw-mwLLsw-sw1s1TOw()w0sFmw-mw1LLsTsT頻域有失真方法：加補償低通濾波器Fs0(ω)相對于F(ω)有誤差，需要補償二、信號的恢復補償濾波器的頻響特性信號恢復時頻譜的變化補償低通濾波器目前，在數字通信系統中廣泛采用零階抽樣保持來產生和傳輸信號，在收端利用補償濾波器恢復原連續時間信號。§5.10脈沖編碼調制(PCM)PCM通信系統簡化框圖量化編碼原理示意圖PCM的優缺點引言利用脈沖序列對連續信號進行抽樣產生的信號成為脈沖幅度調制（PAM）信號，這一過程的實質是把連續信號轉換為脈沖序列，而每個脈沖的幅度與各抽樣點信號的幅度成正比。在實際的數字通信系統中，除直接傳送PAM信號之外，還有多種傳輸方式，其中應用最為廣泛的一種調制方式稱為脈沖編碼調制（PCM）。在PCM通信系統中，把連續信號轉換成數字（編碼）信號進行傳輸或處理，在轉換過程中需要利用PAM信號。PCM通信系統簡化框圖量化量化的過程是將信號轉換成離散時間離散幅度的多電平信號。編碼原理示意圖數字二進制等效數字脈沖編碼波形00000100012001030011401005010160110701118100091001101010111011121100131101141110151111PCM的優缺點提高了信噪比：模擬通信系統——中繼器——噪聲累加；PCM——數字通信系統——再生器——噪聲不會累加；合理設計A/D,D/A變換器可將量化噪聲限制在相當微弱的范圍內。組合多種新源傳輸時具有靈活性；便于實現各種數字信號處理功能。缺點：

PCM信號傳輸時占用頻帶加寬，例如語音信號300~3400Hz4kHz抽樣率8kHz8位脈沖編碼64kHz§5.11頻分復用與時分復用頻分復用時分復用防止碼間串擾的方法一．頻分復用復用：在一個信道上傳輸多路信號。 頻分復用 （FDM）

時分復用 （TDM）

碼分復用（碼分多址） （CDMA）

波分復用 （WDM）頻分復用：就是以頻段分割的方法在一個信道內實現多路通信的傳輸體制。(frequencydivisionmultiply)復用發信端調制，將各信號搬移到不同的頻率范圍。復用收信端收信端：帶通濾波器，分開各路信號，解調。頻分復用解調分析先利用一個帶通濾波器（）濾出附近的分量，再同步解調再使用低通濾波器，完成解調。二．時分復用●Time-divisionMultiplexing(TDM)●主要用于數字信號的傳輸和接入●把傳輸信道按時間進行分割成不同的時間段●每部分時間段稱為時隙(TimeSlot)優點優點時分復用傳送PCM信號，傳輸PCM信號所具備的優點在十分復用都得以體現。產生與恢復各路信號的電路結構相同，而且以數字電路為主，比頻分復用系統的電路更容易實