第三章線性系統的時域分析法第一步:建立模型第二步:分析控制性能方法:時域分析法，頻域分析法，根軌跡法本章先討論時域法2/6/2023自動控制原理第三章線性系統的時域分析法2/6/2023自動控制原理（1）單位階躍函數（UnitStepfunction）

突然受到恒定輸入作用或突然的擾動。室溫調節系統和水位調節系統

一、典型輸入信號第一節典型輸入函數和時域性能指標階躍函數2/6/2023自動控制原理（2）單位斜坡函數(速度函數）如果控制系統的輸入量是隨時間逐步變化的函數，則斜坡時間函數是比較合適的。2/6/2023自動控制原理（3）單位加速度函數（UnitAccelerationfunction）拋物線2/6/2023自動控制原理（5）正弦函數（Simusoidalfunction），當輸入作用具有周期性變化時。（4）沖激函數（Impulsefunction）

2/6/2023自動控制原理一般：運用階躍函數作為典型輸入作用信號，便于在統一的基礎上對各種控制系統的特性進行比較和研究。2/6/2023自動控制原理對控制性能的要求（1）系統應是穩定的（2）系統達到穩定時，應滿足給定的穩態誤差的要求（3）系統在暫態過程中應滿足暫態品質的要求穩準快二、時域性能指標規定時域性能指標通常是以零初始條件下的單位階躍響應曲線為依據的。2/6/2023自動控制原理暫態（動態）性能指標延遲時間：（DelayTime）響應曲線第一次達到穩態值的一半所需的時間。上升時間（RiseTime）響應曲線第一次達到穩態值所需的時間。上升時間越短，響應速度越快。

峰值時間（PeakTime）：響應曲線第一次達到峰值所需的時間。2/6/2023自動控制原理暫態（動態）性能指標④調節時間：（SettlingTime）響應曲線與響應穩態值的偏差達到允許范圍（一般取穩態值的或）以后不再超出這個范圍所需的最短時間。

⑤最大超調量（MaximumOvershoot）：響應曲線首次達到的峰值超過穩態值的百分數為超調量。即

2/6/2023自動控制原理用穩態誤差來表示。當時，輸出響應期望的理論值與實際值之差稱為穩態誤差。ess穩態性能指標（準確性）或評價系統的響應速度；同時反映響應速度和阻尼程度的綜合性指標。評價系統的阻尼程度。2/6/2023自動控制原理3.2一階系統的暫態響應用一階微分方程描述的控制系統稱為一階系統。K為閉環放大系數；T為一階慣性時間常數。

2/6/2023自動控制原理由于c(t)的終值為1，因而系統單位階躍輸入時的穩態誤差為零。

暫態性能指標：一階系統的單位階躍響應

Unit-StepResponseofFirst-orderSystem2/6/2023自動控制原理一階系統的單位沖激響應

稱為一階系統響應的自然模式

2/6/2023自動控制原理例3-1試求該系統單位階躍響應的調節時間。如果要求,試問系統的反饋系數應取何值？求閉環傳遞函數，將其化成2/6/2023自動控制原理求時的反饋系數值2/6/2023自動控制原理二階系統定義：由二階微分方程描述的輸出量關于輸入量函數關系的系統稱為二階系統。實際應用：2/6/2023自動控制原理典型二階系統結構圖則閉環傳遞函數為令則R(s)C(s)2/6/2023自動控制原理閉環系統特征方程：（1）當時：（2）當時：（3）當時：相等負實根（4）當時：共軛虛根二階系統的階躍響應2/6/2023自動控制原理(1)過阻尼()2/6/2023自動控制原理

2/6/2023自動控制原理(2)欠阻尼(）令－衰減系數

－阻尼振蕩頻率2/6/2023自動控制原理穩態分量瞬態分量2/6/2023自動控制原理(3)臨界阻尼()臨界阻尼情況下的二階系統的單位階躍響應稱為臨界阻尼響應當時，二階系統的單位階躍響應是穩態值為1的無超調單調上升過程2/6/2023自動控制原理（4）無阻尼（）2/6/2023自動控制原理二階系統在不同值瞬態響應曲線2/6/2023自動控制原理ωn不變ξ增大2/6/2023自動控制原理ξ

不變ωn減小2/6/2023自動控制原理1）二階系統較為常見；2）高階系統在一定條件下與二階系統的響應性能近似，可以按照滿足近似條件的二階系統的響應性能來分析和設計高階系統。二階系統的研究具有重要的意義2/6/2023自動控制原理欠阻尼系統(0<ξ<1)的時域性能指標1．上升時間tr：評價系統的響應速度；2、峰值時間tp：評價系統的響應速度；3、超調量σ％：評價系統的阻尼程度；4、調節時間ts：同時反映響應速度和阻尼程度的綜合性指標。2/6/2023自動控制原理欠阻尼時：

二階系統的暫態特性時域指標的計算

1．上升時間tr,在暫態過程中第一次達到穩態值的時間稱為上升時間。2、最大超調量最大超調量發生在第一個周期中t＝tm的時刻。根據求極值的方法計算2/6/2023自動控制原理3、調節時間4、峰值時間2/6/2023自動控制原理例3—1已知二階系統的動態結構圖。當輸入量為單位階躍函數時，試計算系統響應的上升時間、峰值時間、超調量和調節時間閉環傳函求(1)上升時間(2)峰值時間

(3)超調量

2/6/2023自動控制原理(4)調節時間

例3—2已知二階系統的動態結構圖。當輸入量為單位階躍函數時，①若要求，峰值時間，試確定系統參數K和τ，并計算上升時間和調節時間；②由①條件所確定的K值不變，τ取0時，系統的超調量又是多少？自然振蕩角頻率是否改變？2/6/2023自動控制原理2)結論：引入微分負反饋可增大系統的阻尼比，降低超調量，但不改變自然振蕩角頻率。2/6/2023自動控制原理例3—3系統是反饋系數為α的負反饋二階控制系統。已知單位階躍響應特性，試根據圖中標注的量確定系統參數K,T和α。思路：已知：2/6/2023自動控制原理六.穩定性的基本概念穩定性系統在擾動消失后，由初始偏差狀態恢復到原平衡態的性能。若線性系統在初始擾動的影響下，其動態過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于零（原平衡工作點），則稱系統漸近穩定，簡稱穩定；若在初始擾動的影響下，系統的動態過程隨時間的推移而發散，則稱系統不穩定。穩定的平衡態不穩定的平衡態2/6/2023自動控制原理線性系統穩定性例：飛機縱向控制系統

受縱向擾動作用

受持續縱向力作用結論線性系統的穩定性是系統本身的屬性；線性系統穩定：當t趨于無窮時，系統的階躍響應趨于恒值，表示為：2/6/2023自動控制原理線性系統穩定性分析方法時域

單位階躍響應復數域代數方法：勞斯判據

幾何方法：根軌跡法

2/6/2023自動控制原理系統的閉環傳遞函數的特征方程的特征根決定系統的穩定性。第三節代數穩定判據穩定臨界穩定不穩定2/6/2023自動控制原理一、勞斯穩定判據線性定常系統穩定的充要條件是：閉環系統特征方程的所有根均具有負實部；將各項系數，按下面的格式排成勞斯表2/6/2023自動控制原理將各項系數，按下面的格式排成勞斯表2/6/2023自動控制原理這樣可求得n+1行系數勞斯穩定判據:如果勞斯表中第一列的系數均為正值，則其特征方程式的根都在S的左半平面，相應的系統是穩定的。如果勞斯表中第一列系數的符號有變化，其變化的次數等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個數，相應的系統為不穩定。2/6/2023自動控制原理例求系統穩定時各系數應滿足的條件2/6/2023自動控制原理已知一調速系統的特征方程式為例試用勞斯判據判別系統的穩定性。解：列勞斯表由于該表第一列系數的符號變化了兩次，所以該方程中有二個根在S的右半平面，因而系統是不穩定的。2/6/2023自動控制原理已知系統的特征方程式為試判別相應系統的穩定性。解：列勞斯表由于表中第一列上面的符號與其下面系數的符號相同，表示該方程中有一對共軛虛根存在，相應的系統為不穩定。例2/6/2023自動控制原理勞斯表某一行中的第一項等于零，而該行的其余各項不全等于零。解決的辦法是以一個很小的正數來代替為零的這項，據此算出其余的各項，完成勞斯表的排列。如果上面一行首列的系數與下面一行首列的系數符號相同，則表示該方程中有一對共軛虛根存在，相應的系統臨界穩定。若勞斯表第一列中系數的符號有變化，其變化的次數就等于該方程在S右半平面上根的數目，相應的系統為不穩定。勞斯判據特殊情況（勞斯表某一行中的第一項等于零）2/6/2023自動控制原理已知系統的特征方程式為試判別相應系統的穩定性。解：列勞斯表閉環系統不穩定2/6/2023自動控制原理例如，一個控制系統的特征方程為

由上表可知，第一列的系數均為正值，表明該方程在S右半平面上沒有特征根。令F(s)=0，求得兩對大小相等、符號相反的根系統處于臨界穩定狀態，不穩定。列勞斯表2/6/2023自動控制原理表示相應方程中含有一些大小相等符號相反的實根或共軛虛根。利用系數全為零行的上一行系數構造一個輔助多項式，并以這個輔助多項式導數的系數來代替表中系數為全零的行。完成勞斯表的排列。這些大小相等、徑向位置相反的根可以通過求解這個輔助方程式得到，而且其根的數目總是偶數的。勞斯表中出現全零行2/6/2023自動控制原理已知系統的特征方程式為求該系統穩定的K值范圍。解：列勞斯表由勞斯判據可知，若系統穩定，則勞斯表中第一列的系數必須全為正值。可得：二、勞斯判據的應用例3-71.確定穩定條件下某一參數的取值范圍2/6/2023自動控制原理例3－8某控制系統的開環傳遞函數為試用勞斯穩定判據確定閉環系統穩定時參數τ的取值范圍。方法：(1)求出閉環傳遞函數(2)再利用勞斯判據求參數范圍。2/6/2023自動控制原理穩定判據(1)回答特征方程式的根在S平面上的分布情況，而不能確定根的具體數據。(2)不能保證系統具備滿意的動態性能。(3)不能表明系統特征根在S平面上相對于虛軸的距離。然后用勞斯判據去判別該系統是否穩定2.確定系統的相對穩定性

相對穩定性或穩定裕量：最靠近虛軸的閉環極點與虛軸的距離求相當于坐標軸左移個單位代入特征方程若穩定，則有的穩定裕量。2/6/2023自動控制原理用勞斯判據檢驗下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并檢驗有幾個根在垂線的右方。例3-9解：列勞斯表第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統穩定。2/6/2023自動控制原理令1-=rS代入特征方程：04)1(3)1(10)1(223=+-+-+-rrr014223=--+rrr式中有負號，顯然有根在的右方。列勞斯表第一列的系數符號變化了一次，表示原方程有一個根在垂直直線可確定系統一個或兩個可調參數對系統穩定性的影響。

的右方。2/6/2023自動控制原理例3－9具有控制器二階系統的動態結構圖如圖所示。試計算系統穩定時τ的取值范圍；在保證有的穩定裕量時，τ的取值范圍又是多少？閉環傳函特征方程勞斯判據2/6/2023自動控制原理2/6/2023自動控制原理3.6穩態誤差分析穩態誤差：系統穩定運行時輸出響應期望的理論值與實際值之差。測量誤差擾動誤差結構性誤差原理性誤差提高測量精度減小測量誤差改進系統設計減小原理性誤差原理性穩態誤差的計算方法2/6/2023自動控制原理一、穩態誤差的定義1、從輸入端定義

輸入量象函數與反饋量象函數之差稱為誤差象函數

誤差函數

2、從輸出端定義

直接反映系統的穩態誤差，不便于計算，輸出量期望的理論值事先并不知道。

雖間接反映了穩態誤差，但是，形成它的輸入量和反饋的輸出量均是已知的，便于分析計算。2/6/2023自動控制原理圖3-23控制系統框圖得誤差傳遞函數二、給定輸入量作用下的穩態誤差輸入形式結構形式開環傳遞函數

給定的穩定系統，當輸入信號形式一定時，系統是否存在穩態誤差，就取決于開環傳遞函數所描述的系統結構.

2/6/2023自動控制原理令系統開環傳遞函數為系統的開環增益。K系統類型(type)與系統的階數(order)的區別分析0、I、II型系統在階躍、斜坡、拋物線輸入作用下的穩態誤差三、控制系統的類型2/6/2023自動控制原理令令穩態位置誤差系數:pKStaticpositionerrorconstant要求對于階躍作用下不存在穩態誤差，則必須選用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系統1、階躍信號輸入2/6/2023自動控制原理一型系統二階系統在階躍輸入作用下的響應的誤差曲線2/6/2023自動控制原理令穩態速度誤差系數

Staticvelocityerrorconstant在斜坡輸入情況下，0型系統的穩態誤差為∞，也就是說被控制量不能跟隨按時間變化的斜坡函數。而對Ⅰ型系統，有跟蹤誤差；Ⅱ型系統則能準確的跟蹤斜坡輸入，穩態誤差為零。2、斜坡信號輸入2/6/2023自動控制原理二階系統在斜坡輸入作用下的響應的誤差曲線一型系統2/6/2023自動控制原理令

令穩態加速度誤差系數

Staticaccelerationerrorconstant3、加速度信號輸入2/6/2023自動控制原理加速度信號輸入作用下的響應的誤差曲線0型系統I型系統II型系統2/6/2023自動控制原理靜態位置誤差系數

靜態加速度誤差系數

誤差系數類型

0型K00

Ⅰ型∞K0

Ⅱ型∞∞K靜態速度誤差系數輸入類型U*1(t)U*t*1(t)U/2*t2*1(t)0型U/(1+Kp)∞∞Ⅰ型0U/Kv∞Ⅱ型00U/Ka表2/6/2023自動控制原理例：某控制系統的開環傳遞函數為

試計算輸入函數為時系統的穩態誤差。

Ⅱ型系統能夠完全跟隨階躍和斜坡輸入,對應穩態誤差為零線性系統應用疊加定理求開環放大倍數K=202/6/2023自動控制原理控制系統時域分析暫態時域性能指標勞斯判據穩態誤差2/6/2023自動控制原理暫態時域性能指標

P99:3-2,3-4,3-5定義--前提：單位階躍輸入上升時間：輸出首次達到穩態值的時間。峰值時間：輸出首次達到峰值的時間。調節時間：此時刻后，輸出在一定范圍內。超調量：輸出首次達到峰值超過穩態值的百分數。穩態誤差：無窮時刻，輸出理論值與實際值之差。2/6/2023自動控制原理暫態時域性能指標

P99:3-2,3-4,3-5計算公式--通常考查欠阻尼二階系統上升時間：峰值時間：調節時間：超調量：2/6/2023自動控制原理勞斯判據:

P100:3-6,3-7,3-8,3-9使用目的：判斷閉環極點是否全部在虛軸左側。研究對象：特征方程**幾個概念**特征方程特征根閉環極點閉環零點2/6/2023自動控制原理勞斯判據

P100:3-6,3-7,3-8,3-9研究方法：列寫勞斯表，看第一列符號研究步驟：（1）確定系統閉環傳遞函數。（2）獲得特征方程，判斷各項系數>0。（3）按S降次,列寫勞斯表(零值處理）（4）判斷勞斯表第一列符號，全正穩定，否則不穩定。（5）僅首列出現零，上下符號一致，存在共軛虛根，上下符號相反，存在實部為正的根。（6）出現全零行，存在共軛虛根。利用輔助方程可求解。2/6/2023自動控制原理勞斯判據

P100:3-6,3-7,3-8,3-9應用（1）求解參數取值范圍（2）確定系統的相對穩定性2/6/2023自動控制原理穩態誤差:

P100:3-11,3-13定義：輸入端；輸出端求解：前提：系統穩定研究：輸入端方法：終值定理步驟：（1）判斷系統穩定性（2）由開環傳函，確定系統類型（3）典型輸入下，應用終值定理，求穩態誤差系數（4）結合誤差系數與誤差關系，求取穩態誤差2/6/2023自動控制原理對控制系統的要求：穩、快、準

穩——穩定性，指系統能否達到新的平衡狀態。穩定是系統首先必須滿足的條件，不穩定的系統是無法正常工作的。通俗地說，只有在系統能夠使用的基礎上，系統才有其它指標要求。

快——暫態性能，指系統從最初的平衡狀態，在控制