本章內容(1)

利用MATLAB實現串聯頻率校正的三種方法；(2)

利用MATLAB實現系統狀態反饋的兩種方法；(3)

利用MATLAB實現系統狀態觀測器的兩種方法；(4)

利用MATLAB實現帶狀態觀測器的狀態反饋系統；(5)

利用MATLAB實現系統的解耦；(6)

利用MATLAB實現狀態反饋的線性二次型最優控制器的設計；(7)

利用MATLAB實現輸出反饋的線性二次型的最優控制。

第8章控制系統的計算機輔助設計18.1.3基于頻率響應法的串聯滯后-超前校正1.滯后-超前校正裝置的特性設滯后-超前校正裝置的傳遞函數為上式等號右邊的第一項產生超前網絡的作用，而第二項產生滯后網絡的作用。2(1)極坐標圖滯后-超前校正裝置的極坐標圖如圖8-9所示。由圖可知，當角頻率ω在0→ω0之間變化時,滯后-超前校正裝置起著相位滯后校正的作用；當ω在ω0→∝之間變化時,它起著超前校正的作用，對應相位角為零的頻率ω0為3（2）對數坐標圖滯后-超前校正裝置的對數坐標圖如圖8-10所示。從圖可清楚看出，當0<ω<ω0時滯后-超前校正裝置起著相位滯后校正的作用；當ω0<ω<∝時它起著相位超前校正的作用。42.串聯滯后-超前校正方法滯后-超前校正裝置的超前校正部分，因增加了相位超前角，并且在幅值穿越頻率(剪切頻率)上增大了相位裕量,提高了系統的相對穩定性；滯后部分在幅值穿越頻率以上，將使幅值特性產生顯著的衰減，因此在確保系統有滿意的瞬態響應特性的前提下，容許在低頻段上大大提高系統的開環放大系數，以改善系統的穩態特性。利用頻率法設計滯后-超前校正裝置的步驟:(1)根據性能指標對穩態誤差系數的要求，確定開環增益k；5(2)求出未校正系統相位和幅值裕量；(3)如果未校正系統相位和幅值裕量不滿足要求，則選擇未校正系統相頻特性曲線上相位角等于-180的頻率，即相位交接頻率作為校正后系統的幅值交接頻率ωc；(4)利用ωc確定滯后校正部分的參數T2和β。通常選取滯后校正部分的第二個交接頻率ω2=1/T2=(1/10)ωc,并取β=10；(5)根據校正后系統在新的幅值交接頻率ωc處的幅值必為0db確定超前校正部分的參數T1；(6)畫出校正后系統的bode圖，并檢驗系統的性能指標是否已全部滿足要求。6例8-3

設有單位負反饋系統，其開環傳遞函數為若要求kv=10(1/s)相位裕量為50，幅值裕量為10dB，試設計一個串聯滯后超前-校正裝置，來滿足要求的性能指標。解根據可求出k=10，即7根據其以上設計步驟，可編寫以下m文件。ex8_3.m8執行后可得如下結果及圖8-11所示曲線。

num/den=1.8817s+1-----------------0.18817s+1num/den=7.0711s+1----------------70.7107s+19num/den=133.0595s^2+89.5281s+10-------------------------------------------------------------------------6.653s^5+55.4084s^4+120.1542s^3+72.3989s^2+s校正前：幅值裕量=-10.4567dB，相位裕量=-28.0814校正后：幅值裕量=13.7848dB，相位裕量=52.4219

10圖8-11滯后超前校正裝置及校正前后系統的伯德圖118.2.1狀態反饋狀態反饋是將系統的狀態變量乘以相應的反饋系數，然后反饋到輸入端與參考輸入疊加形成控制作為受控系統的控制輸入，采用狀態反饋不但可以實現閉環系統的極點任意配置，而且也是實現解耦和構成線性最優調節器的主要手段。8.2狀態反饋和狀態觀測器的設計121.全部極點配置給定控制系統的狀態空間模型，則經常希望引入某種控制器，使的該系統的閉環極點移動到某個指定位置，因為在很多情況下系統的極點位置會決定系統的動態性能。假設系統的狀態空間表達式為其中A:n×n;B:n×r;C:m×n引入狀態反饋，使進入該系統的信號為

u=r–Kx式中r為系統的外部參考輸入，K為r×n矩陣。13可得狀態反饋閉環系統的狀態空間表達式為

(8-12)

可以證明，若給定系統是完全能控的，則可以通過狀態反饋將該系統的閉環極點進行任意配置。假定單變量系統的n個希望極點為λ1,λ2,…,λn，則可求出期望的閉環特征方程為

f*(s)=(s-λ1)(s-λ2)…(s-λn)=

sn

+a1sn-1+…+an這時狀態反饋陣K可根據下式求得

K=[0…01]Uc-1f*(A)(8-13)式中Uc=[bAb…An-1b]，f*(A)是將系統期望的閉環特征方程式中的s換成系統矩陣A后的矩陣多項式。14例8-4

已知系統的狀態方程為采用狀態反饋，將系統的極點配置到-1,-2,-3，求狀態反饋陣K。解

MATLAB程序為ex8_4.m15執行后得K=-124其實，在MATLAB的控制系統工具箱中就提供了單變量系統極點配置函數acker()，該函數的調用格式為K=acker(A,b,P)式中P為給定的極點，K為狀態反饋陣。對例8-4，采用下面命令可得同樣結果>>A=[-2-11;101;-101];b=[1;1;1];rc=rank(ctrb(A,b));>>p=[-1,-2,-3];K=acker(A,b,p)結果顯示K=-12416對于多變量系統的極點配置，MATLAB控制系統工具箱中也給出了函數place()，其調用格式為K=place(A,B,P)例8-5

已知系統的狀態方程為求使狀態反饋系統的閉環極點為-2,-3,(-1±j√3)/2的狀態反饋陣K。17解

MATLAB程序為ex8_5.m執行后得K=32.592365.684458.833246.655755.4594111.8348103.680081.0239182.部分極點配置在一些特定的應用中，有時沒有必要去對所有的極點進行重新配置，而只需對其中若干個極點進行配置，使得其他極點保持原來的值，例如若系統開環模型是不穩定的，則可以將那些不穩定的極點配置成穩定的值，而不去改變那些原本穩定的極點。作這樣配置的前提條件是原系統沒有重極點，這就能保證由系統特征向量構成的矩陣是非奇異的。19假設xi為對應于λi的特征向量，即A

xi

=λixi，這樣可以對各個特征值構造特征向量矩陣X=[x1,x2,…,xn]，由前面的假設可知X矩陣為非奇異的，故可以得出其逆陣T=X-1，且令T的第i個行向量為Ti，且想把λi配置到μi的位置，則可以定義變量ri=（μi-λi）/bi，其中bi為向量Tb的第i個分量，這時配置全部的極點，則可以得出狀態反饋陣特別地，若不想對哪個極點進行重新配置，則可以將對應的項從上面的求和式子中刪除就可以得出相應的狀態反饋陣，它能按指定的方式進行極點配置。20例8-6對于例8-4所示系統，實際上只有一個不穩定的極點1,若僅將此極點配置到-5，試采用部分極點配置方法對其進行。解MATLAB程序為ex8_6.m執行后得

K=1.5000-1.5000-6.0000218.2.2狀態觀測器1.全維狀態觀測器的設計極點配置是基于狀態反饋，因此狀態x必須可量測，當狀態不能量測時，則應設計狀態觀測器來估計狀態。對于系統若系統完全能觀測，則可構造如圖8-12所示的狀態觀測器。2223由上圖可得觀測器的狀態方程為即其特征多項式為f（s）=|sI-(A-LC)|由于工程上要求能比較快速的逼近x，只要調整反饋陣L，觀測器的極點就可以任意配置達到要求的性能，所以，觀測器的設計與狀態反饋極點配置的設計類似。24假定單變量系統所要求的n個觀測器的極點為λ1,λ2,…,λn，則可求出期望的狀態觀測器的特征方程為

f*(s)=(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn)=sn

+a1sn-1

+…+an這時可求得反饋陣L為式中，,f*（A）是將系統期望的觀測器特征方程中s換成系統矩陣A后的矩陣多項式。25

利用對偶原理，可使設計問題大為簡化，求解過程如下：首先構造系統式(8-14)的對偶系統

(8-15)然后，根據下式可求得狀態觀測器的反饋陣L。

LT=acker(AT,CT,P)或LT=place(AT,CT,P)其中P為給定的極點，L為狀態觀測器的反饋陣。26例8-7

已知開環系統其中設計全維狀態觀測器，使觀測器的閉環極點為

-2±j2√3,-5。27解

為求出狀態觀測器的反饋陣L，先為原系統構造一對偶系統。然后采用極點配置方法對對偶系統進行閉環極點位置的配置，得到反饋陣K，從而可由對偶原理得到原系統的狀態觀測器的反饋陣L。MATLAB程序為ex8_728執行后得TheRankofObstrabilatyMatrixr0=3L=3.00007.0000-1.0000由于rankr0=3，所以系統能觀測，因此可設計全維狀態觀測器。292.降維觀測器的設計前面所討論的狀態觀測器的維數和被控系統的維數相同，故稱為全維觀測器，實際上系統的輸出y總是能夠觀測的。因此，可以利用系統的輸出量y來直接產生部分狀態變量，從而降低觀測器的維數。假設系統是完全能觀測器，若狀態x為n維，輸出y為m維，由于y是可量測的，因此只需對n-m個狀態進行觀測，也就是說用(n-m)維的狀態觀測器可以代替全維觀測器，這樣觀測器的結構可以大大簡化。3031Matlab程序為：ex8_8328.2.3帶狀態觀測器的狀態反饋系統

狀態觀測器解決了受控系統的狀態重構問題，為那些狀態變量不能直接量測得到的系統實現狀態反饋創造了條件。帶狀態觀測器的狀態反饋系統由三部分組成，即原系統、觀測器和控制器，圖8-13是一個帶有全維觀測器的狀態反饋系統。3334設能控能觀測的受控系統為（8-21）狀態反饋控制律為（8-22）狀態觀測器方程為（8-23）由以上三式可得閉環系統的狀態空間表達式為35可以證明，由觀測器構成的狀態反饋閉環系統，其特征多項式等于狀態反饋部分的特征多項式|sI-(A-BK)|和觀測器部分的特征多項式|sI-(A-LC)|的乘積，而且兩者相互獨立。因此，只要系統∑0(A,B,C)能控能觀測，則系統的狀態反饋陣K和觀測器反饋陣L可分別根據各自的要求，獨立進行配置，這種性質被稱為分離特性。同理，用降維觀測器構成的反饋系統也具有分離特性36例8-9

已知開環系統設計狀態反饋使閉環極點為-1.8±j2.4，而且狀態不可量測，因此設計狀態觀測器使其閉環極點為-8,-8。解

狀態反饋和狀態觀測器的設計分開進行，狀態觀測器的設計借助于對偶原理。在設計之前，應先判別系統的能控性和能觀測性，MATLAB的程序為

ex8_9.m37執行后得TherankofControllabilityMatrixrc=2TherankofObservabilityMatrixro=2K=29.60003.6000L=16.000084.6000388.2.4離散系統的極點配置和狀態觀測器的設計

離散系統的極點配置和狀態觀測器的設計的求解過程與連續系統基本相同，在MATLAB中，可直接采用工具箱中的place()和acker()函數進行設計，這里不在贅述。39Matlab程序為ex8_10.m408.2.5系統解耦在多變量系統中，如果傳遞函數陣不是對角矩陣，則不同的輸入與輸出之間存在著耦合，即第i輸入不但會對第i輸出有影響，而且還會影響到其他的輸出，就給控制系統的設計造成了很大的麻煩，故在多變量控制系統的設計中就出現了解耦控制方法。41假設控制系統的狀態空間表達式為

(8-25)其中A:n×n;B:n×r;C:m×n;D:m×r引入狀態反饋

(8-26)其中R為r×1參考輸入向量，在解耦控制中實際還應要求r=m，亦即系統的輸入個數等于輸出個數，這時閉環系統的傳遞函數矩陣可以寫成42若閉環系統的m×r矩陣G(s)為對角的非奇異矩陣，則稱該系統是動態解耦的系統，若G(0)為對角非奇異矩陣，且系統為穩定的，則稱該系統是靜態解耦的。在給定的控制結構下，若系統的D矩陣為0，則閉環傳遞函數陣G(s)可以簡化成

(8-28)43由上式可見，若H矩陣為奇異矩陣，則G(s)矩陣必為奇異的，所以為使得系統可以解耦，首先應該要求H為非奇異矩陣。對于給定系統,狀態方程可以寫成為可控標準型，故其中44首先這里將給出能解耦的條件：可以證明，若按下面方法生成的矩陣B*為非奇異的，若取H=(B*)-1，則由前面給出的控制格式得出的系統能解耦原系統。（8-29）式中C１,C２,…,Cm為C矩陣的行向量，參數d１,d２,…,dm是在保證B＊為非奇異的前提下任選區間［0,n-1］上的整數。若確定了di參數，則可以直接獲得解耦矩陣45例8-11

對如下系統進行解耦解

MATLAB程序為Example8_11.m46執行后可得H=1.00000-1.33330.3333K=-1.0000001.66671.33333.0000n1=01.0000-0.0000-0.000000.00000.00000.0000d1=1.0000-0.0000-0.00000n2=

000000.00001.00000d2=1.0000-0.0000-0.0000047亦即系統解耦后的傳遞函數陣為

解耦控制系統的目的是將原模型變換成解耦的模型，而并不必去考慮變換之后的響應品質，因為響應品質這類問題可以在解耦之后按照單變量系統進行設計補償，單回路的設計當然可以采用單變量系統的各種方法，例如可以采用超前滯后補償，PI設計以及PID設計等，并能保證這樣設計出來的控制器不會去影響其他回路。488.2.6狀態估計器或觀測器假設控制系統的狀態空間表達式為函數estim()將生成下述狀態和輸出估計器49在MATLAB中，函數estim()的調用格式如下est=estim(A,B,C,D,L)其中A,B,C,D為系統系數矩陣，L為狀態估計增益矩陣。狀態估計增益矩陣L可由極點配置函數place()形成，或者由Kalman濾波函數kalman生成。利用以上命令可生成給定增益矩陣L下的狀態空間模型A,B,C,D的輸出估計器est。5051例8-13

利用例8-7所得的狀態觀測器的反饋陣L，求其系統的狀態估計器。解MATLAB程序為>>A=[010;001;-6-11-6];b=[0;0;1];C=[100];>>L=[3;7;-1]>>est=estim(A,b,C,0,L)執行后得est=-3.00001.00000-7.000001.0000-5.0000-11.0000-6.0000528.2.7系統控制器假設控制系統的狀態空間表達式為利用函數reg()可生成下述控制器53在MATLAB中，函數reg()的調用格式為est=reg(A,B,C,D,K,L)

其中A,B,C,D為系統系數矩陣，K為狀態反饋增益矩陣，L為狀態估計增益矩陣。利用以上命令可生成給定狀態反饋增益矩陣K及狀態估計增益矩陣L下的狀態空間模型A,B,C,D的控制器est。假定系統的所有輸出可測。54例8-14

利用例8-7所得的狀態觀測器的反饋陣L，求其系統的控制器。假設狀態反饋陣K=[-124]。解MATLAB程序為>>A=[010;001;-6-11-6];b=[0;0;1];C=[100];>>K=[-124];>>L=[3;7;-1]>>est=reg(A,b,C,0,K,L)執行后得

est=-310-701-4-13-10558.3最優控制系統設計

MATLAB控制系統工具箱中也提供了很多函數用來進行系統的最優控制設計，相關函數如表8-3所示。56578.3.1狀態反饋的線性二次型最優控制設線性定常系統的狀態空間表達式為

(8-31)式中A:n×n;B:n×r;C:m×n并設目標函數為二次型性能指標

(8-32)式中Q(t)為n×n半正定實對稱矩陣，R(t)為r×r正定實對稱矩陣。一般情況下，假定這兩個矩陣為定常矩陣，它們分別決定了系統暫態誤差與控制能量消耗之間的相對重要性。S為對稱半正定終端的加權陣，它為常數。58當x(tf)值固定時，則為終端控制問題，特別是當x(tf)＝0時，則為調節器問題；當t0

,tf均固定時，則為暫態過程最優控制。最優控制問題是為給定的線性系統式（8-31）尋找一個最優控制律u*(t)，使系統從初始狀態x(t0)轉移到終端狀態x(tf)，且滿足性能指標式（8-32）最小。它可以用變分法、極大值原理和動態規劃等三種方法中的任一種求解。這里我們采用極大值原理求解u*(t)。59

MATLAB的控制系統工具箱中也提供了完整的解決線性二次型最優控制的函數，其中命令lqr()和lqry()可以直接求解二次型調節器問題及相關的Riccati方程，它們的調用格式分別為

[K,P,r]=lqr(A,B,Q,R)(8-43)和[K,P,r]=lqry(A,B,C,D,Q,R)(8-44)其中矩陣A,B,C,D,Q,R的意義是相當明顯的，返回的K矩陣為狀態反饋矩陣，P為Riccati方程解，r為A-BK的特征值。lqry()命令用于求解二次調節器問題的特例，即目標函數中用輸出y來代替狀態x，則目標函數為60例8-15已知系統的狀態空間表達式為試求使得性能指標為最小的最優控制u=-Ku的反饋增益矩陣K。其中61解MATLAB程序為ex8_15.m62執行后得如下結果和如圖8-15所示的階躍響應曲線。K=10.00008.42232.1812P=104.222551.811710.000051.811737.99958.422310.00008.42232.1812r=-2.6878-1.2467+1.4718i-1.2467-1.4718i63圖8-15閉環系統輸出和狀態的階躍響應曲線由此構成的閉環系統的三個極點均位于