山西省運城市南關中學高二數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，，則∠B等于

（）A． B．

C．或 D．或 參考答案：C2.已知拋物線y2=2px的焦點F與雙曲線的右焦點重合，拋物線的準線與x軸的交點為K，點A在拋物線上且|AK|=|AF|，則△AFK的面積為（）A．4 B．8 C．16 D．32參考答案：D【考點】拋物線的簡單性質；雙曲線的簡單性質．【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】由雙曲線得右焦點為（4，0）即為拋物線y2=2px的焦點，可得p．進而得到拋物線的方程和其準線方程，可得K坐標．過點A作AM⊥準線，垂足為點M．則|AM|=|AF|．可得|AK|=|AM|．可得|KF|=|AF|．進而得到面積．【解答】解：由雙曲線得右焦點為（4，0）即為拋物線y2=2px的焦點，∴，解得p=8．∴拋物線的方程為y2=16x．其準線方程為x=﹣4，∴K（﹣4，0）．過點A作AM⊥準線，垂足為點M．則|AM|=|AF|．∴|AK|=|AM|．∴∠MAK=45°．∴|KF|=|AF|．∴=32．故選D．【點評】熟練掌握雙曲線、拋物線的標準方程及其性質是解題的關鍵．3.在數列{an}中，a1=，an=（﹣1）n?2an﹣1（n≥2），則a5等于(

)A．﹣ B． C．﹣ D．參考答案：B【考點】數列的函數特性．【專題】點列、遞歸數列與數學歸納法．【分析】利用遞推式即可得出．【解答】解：∵a1=，an=（﹣1）n?2an﹣1（n≥2），∴a2=（﹣1）2?2a1==．a3=（﹣1）3?2a2=﹣2×=﹣．a4=（﹣1）4?2a3==﹣．∴a5=（﹣1）5?2a4==．故選：B．【點評】本題考查了利用遞推式求數列的值，屬于基礎題．4.函數是(

).A.偶函數,在區間上單調遞增

B.偶函數,在區間上單調遞減C.奇函數,在區間上單調遞增

D.奇函數,在區間上單調遞減參考答案：B略5.在等差數列中，，則的前5項和=

（

）(A)．7

(B)．15

(C)．20

(D)．25參考答案：B6.條件p：，，條件q：，，則條件p是條件q的

（

）

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充要條件

D．即不充分也不必要條件參考答案：A7.函數的導函數為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D略8.若有一個線性回歸方程為,則變量x增加一個單位時(

)A.y平均減少2.5個單位

B.y平均減少0.5個單位C.y平均增加2.5個單位

D.y平均增加0.5個單位參考答案：A9.由直線,曲線以及軸圍成的圖形的面積為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略10.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面.下列命題中不正確的是（

）

A.若m∥α，α∩β＝n，則m∥nB.若m∥n，m⊥α，則n⊥αC.若m⊥α，m⊥β，則α∥βD.若m⊥α，m?β，則α⊥β[參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數的零點的個數為

.參考答案：212.曲線在點(－1,3)處的切線方程為_________.參考答案：，切線方程為即點睛：求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點.

13.觀察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，則可以猜想：當n≥2時，有_______________．參考答案：1＋＋＋…＋<略14.

．參考答案：315.過點引直線與曲線相交于A,B兩點,則直線斜率的取值范圍是

．參考答案：略16.如圖，在長方形中,,,為線段上一動點，現將沿折起，使點在面上的射影在直線上，當從運動到，則所形成軌跡的長度為

參考答案：17.過坐標原點（0，0）且與曲線相切的直線方程是

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點，且AD＝PD＝2MA.（1）求證：平面EFG⊥平面PDC；（2）求三棱錐P－MAB與四棱錐P－ABCD的體積之比．參考答案：(1)證明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC?平面ABCD，所以PD⊥BC.]因為四邊形ABCD為正方形，所以BC⊥DC.

又PD∩DC＝D，因此BC⊥平面PDC.在△PBC中，因為G、F分別為PB、PC的中點，所以GF∥BC.

因此GF⊥平面PDC.又GF?平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.……………6分(2)因為PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，不妨設MA＝1，則PD＝AD＝2，所以VP－ABCD＝S正方形ABCD·PD＝.由于DA⊥平面MAB，且PD∥MA，所以DA即為點P到平面MAB的距離，VP－MAB＝S△MAB·DA＝××1×2×2＝.所以VP－MAB∶VP－ABCD＝1∶4.…12分19.（10分）（2013秋?建甌市校級期中）如圖所示（單位：cm），四邊形ABCD是直角梯形，求圖中陰影部分繞AB旋轉一周所成幾何體的表面積和體積．參考答案：【考點】旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）．

【專題】計算題；空間位置關系與距離．【分析】由題意，知所成幾何體的表面積等于圓臺下底面積+圓臺的側面積+半球面面積，該幾何體的體積為V圓臺﹣V半球．由此能求出結果．【解答】解：由題意，知所成幾何體的表面積等于圓臺下底面積+圓臺的側面積+一半球面面積．又S球=×4π×22=8π（cm2），S圓臺側=π（2+5）=35π（cm2），S圓臺下底=π×52=25π（cm2），即該幾何全的表面積為8π+35π+25π=68π（cm2）．又V圓臺=×（22+2×5+52）×4=52π（cm3），V半球=××23=（cm3）．所以該幾何體的體積為V圓臺﹣V半球=52π﹣=（cm3）．【點評】本題考查幾何體的體積的求法，解題時要認真審題，注意圓臺、半球的體積的求法和應用．20.已知橢圓的一個頂點為，焦點在軸上，若右焦點到直線的距離為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）是否存在斜率為，且過定點的直線，使與橢圓交于兩個不同的點，且？若存在，求出直線的方程;若不存在,請說明理由．參考答案：解：（I）依題意可設橢圓方程為，則右焦點，由題設：，解得：，故所求橢圓的方程為.

……………4分（II）設存在直線符合題意，直線方程為，代入橢圓方程得：，

……………6分設，為弦的中點，則由韋達定理得：，

……………8分，

……………9分因為

……………11分不符合，所以不存在直線符合題意.

……………12分

略21.已知函數（），其中e為自然對數的底數.（1）討論函數的單調性及極值；（2）若不等式在內恒成立，求證：.參考答案：（1）見解析；（2）見解析.試題分析：(1)由題意可得導函數的解析式，分類討論可得：當時，在內單調遞增，沒有極值；當時，在區間內單調遞減，在區間內單調遞增，的極小值為，無極大值.（2）分類討論：當時，明顯成立；當時，由（1），知在內單調遞增，此時利用反證法可證得結論；當時，構造新函數，結合函數的單調性即可證得題中的結論.試題解析：（1）由題意得.當，即時，，在內單調遞增，沒有極值.當，即時，令，得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，故當時，取得極小值，無極大值.綜上所述，當時，在內單調遞增，沒有極值；當時，在區間內單調遞減，在區間內單調遞增，的極小值為，無極大值.（2）當時，成立.當時，由（1），知在內單調遞增，令為和中較小的數，所以，且，則，.所以，與恒成立矛盾，應舍去.當時，，即，所以.令，則.令，得，令，得，故在區間內單調遞增，