第4章控制系統穩定性

對于非線性、時變、多輸入多輸出控制系統穩定性問題的研究，經典控制理論無能為力。只有利用俄羅斯科學家李亞普諾夫（A.M.Lyapunov）的穩定性理論來分析和研究。A.M.Lyapunov于1892年出版專著《運動系統穩定性的一般問題》，使得Lyapunov穩定性理論已經成為控制理論的最重要的幾個柱石之一。本章的主要內容為1.引言2.李亞普諾夫意義下穩定性的定義3.李亞普諾夫第二法5.線性定常離散系統的穩定性4.線性連續系統的穩定性6.有界輸入-有界輸出穩定7.非線性系統的穩定性分析外部穩定性和內部穩定性定義：稱一個系統的外部穩定（BIBO）是指對任何一個有界輸入u(t)，即：‖u(t)‖≤β1<∞，的任意輸入u(t)，對應的輸出y(t)均為有界，即

結論1：對零初始條件p維輸入和q維輸出連續時間線性時變系統，t∈[t0,+∞），則t0時刻系統BIBO穩定的充分必要條件為，存在一個有限正常數β，使對一切t∈[t0,+∞)脈沖響應矩陣H(t,τ)所有元hij(t,τ)均滿足關系式

穩定性是系統的一個基本結構特性。系統的穩定性分為基于輸入輸出描述的外部穩定性和基于狀態空間描述的內部穩定性。在一定條件下，外部穩定性和內部穩定性才存在等價關系。外部穩定性結論2：對零初始條件p維輸入和q維輸出連續時間線性時不變系統，令t0=0,則系統BIBO穩定的充分必要條件為：存在一個有限正常數β，使脈沖響應矩陣H(t)所有元hij(t)均滿足關系式

結論3：對零初始條件p維輸入和q維輸出連續時間線性時不變系統，令初始時刻t0=0，則系統BIBO穩定的充分必要條件為：真或嚴真傳遞函數矩陣G(s)的所有極點均具有負實部。定義：稱連續時間線性時變系統在t0為內部穩定，是指由時刻t0任意非零初始狀態X(t0)=X0引起的零輸入響應Xou(t)對t∈[t0,+∞)有界，并滿足漸近屬性，即：內部穩定性結論4：設n維連續時間線性時變自治系統系統在t0時刻內部穩定的充分必要條件為：狀態轉移矩陣Ф(t,t0)對所有t∈[t0,+∞]為有界，并滿足：

結論5：對n維連續時間線性時不變自治系統內部穩定的充分必要條件為

或矩陣A所有特征值均具有負實部，即：Re{i(A)}<0。內部穩定性和外部穩定性的關系結論6：對連續時間線性時不變系統，內部穩定→BIBO穩定，反之不成立。若系統能控且能觀測，則內部穩定←→BIBO穩定。

李亞普諾夫意義下運動的穩定性的一些基本概念李亞普諾夫第一方法：間接法，小范圍穩定性分析方法，線性化李亞普諾夫第二方法：直接法，引入廣義能量函數平衡狀態：狀態空間中滿足的一個狀態。即平衡狀態的各分量相對時間不再發生變化。不唯一性，零平衡狀態，孤立平衡狀態，對平衡狀態的約定。自治系統：沒有輸入作用的一類動態系統受擾運動：自治系統由初始狀態擾動x0引起的一類狀態運動。實質上就是系統的零輸入響應。適用于線性系統和非線性系統、時變系統和時不變系統、連續時間系統和離散時間系統。4.1引言

李亞普諾夫將穩定性問題的研究歸納為兩種方法。第一種方法是求出線性化以后的常微分方程的解，從而分析原系統的穩定性。

第二種方法不需要求解微分方程的解，而能夠提供系統穩定性的信息。

對于非線性、時變、多輸入多輸出系統來說，第二種方法特別重要。李亞普諾夫第二法又稱為直接法。這種方法是基于一種廣義能量函數及其隨時間變化的特性來研究系統穩定性的。以下通過一個例子來說明。例4-1一個彈簧－質量－阻尼器系統，如下圖示。系統的運動由如下微分方程描述。令（1）選取狀態變量則系統的狀態方程為（2）在任意時刻，系統的總能量（3）顯然，當時，而當時而總能量隨時間的變化率為可見，只有在時，。在其他各處均有，這表明系統總能量是衰減的，因此系統是穩定的。Lyapunov第二法是研究系統平衡狀態穩定性的。平衡狀態——一般地，系統狀態方程為，其初始狀態為。系統的狀態軌線是隨時間而變化的。當且僅當（當t≥t0）則稱為系統平衡。

如果不在坐標原點，可以通過非奇異線性變換，使，因此，平衡狀態的穩定性問題都可以歸結為原點的穩定性問題。4.2李亞普諾夫意義下穩定性的定義4.2.1穩定的定義則非線性時變系統（4）（6）（5）≤定義對于任意給定的實數，都對應存在實數，使滿足的任意初始狀態出發的軌線有≤ε

（對所有

t≥t0）成立，則稱為Lyapunov意義下是穩定的。——表示求歐幾里德范數。（即：表示空間距離）Lyapunov意義下穩定漸近穩定漸近穩定4.2.2漸近穩定如果系統的平衡狀態是穩定的。從平衡狀態的某個充分小的領域內出發的狀態軌線，當時，收斂于，則稱為漸近穩定。更精密的敘述如下：如果系統的平衡狀態，對于，存在和，當時，從出發的，都有并且充分大時，就充分小。則稱為Lyapunov意義下漸近穩定。當與、無關時，則稱為一致漸近穩定。4.2.3大范圍漸進穩定如果是整個狀態空間中任一點，并且都有則為大范圍漸近穩定或稱為Lyapunov意義下全局漸近穩定。當穩定性與的選擇無關時，稱一致全局漸近穩定。不穩定4.2.4不穩定對于任意的實數，存在一個實數，不論取的多么小，在滿足不等式的所有初始狀態中，至少存在一個初始狀態，由此出發的軌線，滿足稱為Lyapunov意義下不穩定不管初始偏差有多大，系統總是穩定的，則稱系統是大范圍穩定的。不管初始偏差有多大，系統總是漸近穩定的，則稱系統是大范圍漸近穩定的。大范圍漸近穩定的系統只能有一個平衡狀態。為了滿足穩定條件，初始偏差有一定限制，則稱系統是小范圍穩定的。對于線性系統，若在小范圍穩定，則必大范圍穩定；若在小范圍漸近穩定，則必大范圍漸近穩定

Q稱為二次型的矩陣設x=[x1,x2,

···,xn]T，則實二次型可記為：f(x1,x2,

···,xn)=xTQx

定義：

(實)二次型是x∈Rn的標量函數f(x1,x2,

···,xn)=xTQx，式中，Q為一實對稱nn矩陣x

0,若xTQx>0,則稱二次型f為正定的，Q稱為正定矩陣，記為Q>0。x

0,若xTQx≥0,，則稱二次型f為半正定的，Q稱為半正定矩陣，記為Q≥0。若xTQx<0(≤0),稱f為負定的(半負定的)，Q稱為負定(半負定)矩陣，記為Q<0(≤0)。若f既不是半正定又不是半負定，則稱為不定的。預備知識：二次型函數的定號性判別準則

——Sylvester（希爾維斯特）判據：i(i=1,2,…,n)為其各階主子行列式：矩陣Q定號性的充要條件是：(1)若i>0(i=1,2,…,n)，則Q為正定的。(2)若i，則Q為負定的。>0i為偶數<0i為奇數(3)若i，，則Q為半正定的。0i=(1,2,…,n-1)=0i=n(4)若i，則Q為半負定的。0i為偶數0i為奇數=0i=nf(x1,x2,

···,xn)=xTQx正定f(x1,x2,

···,xn)=xTQx負定f(x1,x2,

···,xn)=xTQx半正定f(x1,x2,

···,xn)=xTQx半負定f(x1,x2,

···,xn)=xTQx4.3李亞普諾夫第二法定義如果標量函數，并且當時，；僅當時，；則稱為正定的。除了以外，還有狀態使，稱為半正定的。≥0定義如果標量函數，并且當時，；僅當時，；則稱為負定的。除了以外，還有狀態使，稱為半負定的。≤0（7）定理4-1

設系統狀態方程為在平衡狀態的某鄰域內，標量函數具有連續一階偏導數，并且滿足：1）為正定；2）為負定。則為一致漸近穩定的。如果，，則是大范圍一致漸近穩定的。例4-2

系統的狀態方程如下，判別系統穩定性。解而將狀態方程代入上式，化簡后得選取Lyapunov函數，顯然是正定的，即滿足可見，是負定的，即滿足因此，是一致漸進穩定的。當，有，故系統是一致大范圍漸進穩定的。例；設系統狀態方程為試確定該系統平衡狀態的穩定性。

為一負定的標量函數，且‖x‖→∞，有V(x)→∞，系統的平衡狀態是大范圍漸近穩定的。解：由平衡狀態方程得解得唯一的平衡狀態為x1=0,x2=0,

即xe=0,

為坐標原點。選取一正定的標量函數

定理4-2

設系統狀態方程為在平衡狀態的某鄰域內，標量函數具有連續一階偏導數，并且滿足：1）為正定；2）為半負定；3）除了平衡狀態外，還有的點，但是不會在整條狀態軌線上有則為一致漸近穩定的。如果，，則是大范圍一致漸近穩定的。（注：本定理是將定理4-1的條件稍微放寬了一點）

對為數不少的系統，4-1中的條件“李導為負定”是構造Lyapunov函數V(x)的主要困難，可適當放寬該條件。例4-3

系統的狀態方程為其中，a

為大于零的實數。判別系統的穩定性。解系統的平衡狀態為選取Lyapunov函數：顯然它是正定的，即滿足而將狀態方程代入上式，化簡后得可見，當和任意的時，有，而和任意時，。又因為，只要變化就不為零，因此在整條狀態軌線上不會有。因此，是一致漸進穩定的。當，有，故系統是一致大范圍漸進穩定的。定理4-3

設系統狀態方程為在平衡狀態的某鄰域內，標量函數具有連續一階偏導數，并且滿足：1）為正定；2）為半負定；則為一致穩定的。如果，，則是大范圍一致穩定的。（注：本定理只是比定理4-2少了第3個條件，不能保證漸近穩定，只能保證一致穩定。）因為≤0則系統可能存在閉合曲線（極限環），在上面恒有，則系統可能收斂到極限環，而不收斂到平衡點。因此是一致穩定的。例4-4

系統的狀態方程為其中，k

為大于零的實數。分析系統平衡狀態的穩定性。解系統的平衡狀態為選取Lyapunov函數：顯然它是正定的，即滿足而由定理4-3可知，為Lyapunov意義下一致穩定。例：設系統的狀態方程為，試確定系統平衡狀態的穩定性。解：顯然，原點為系統的平衡狀態。選可見系統在xe=0處是不穩定的。例：設系統的狀態方程為，試確定系統平衡狀態的穩定性。解：顯然，原點為系統的平衡狀態。選由于當x1為任意值，x2=0時而所以x2=0是暫時的，不會恒等于零，故系統是不穩定的。例：設系統的狀態方程為，試確定系統平衡狀態的穩定性。解：顯然，原點為系統的平衡狀態。選系統在xe=0處是李亞普諾夫意義下的穩定。系統在xe=0處是漸近穩定的。系統在xe=0處是不穩定的。定理4-4

設系統狀態方程為

在的某鄰域內，標量函數具有連續一階偏導數，并且滿足：1）為正定；2）為正定或半正定；則為不穩定的。例4-5

系統的狀態方程為分析系統平衡狀態的穩定性。解系統的平衡狀態為選取Lyapunov函數：顯然它是正定的，即滿足而由定理4-4可知，是不穩定的。

應該指出：到目前為止，人類還沒有找到構造Lyapunov函數的一般方法。因為Lyapunov第二法給出的結果是系統穩定性的充分條件。因此，對于某個系統來說，找不到合適的Lyapunov函數，既不能說系統穩定，也不能說系統不穩定，只能說無法提供有關該系統穩定性的信息（即：inconclusive—沒有得出結論）。構造李亞普諾夫函數的規則化方法變量梯度法設連續時間非線性時不變系統xe=0為系統孤立平衡狀態，(1)選取候選李亞普諾夫函數V(x)的梯度▽V(x)

李亞普諾夫第二法的核心是構造李亞普諾夫函數。構造原則：先按定理條件構造候選李亞普諾夫函數的導數，在此基礎上定出李亞普諾夫函數，進一步再判斷候選李亞普諾夫函數的正定性。若判斷成立則構造成功，否則構造失敗。其中aij=常數或狀態變量的函數。(2)按穩定性結論給出的條件引入對梯度▽V(x)的限制矢量的積分矢量的積分與路徑無關則旋度rot▽V(x)=0設梯度▽V(x)對應于有勢場(nn-n)/2個方程(3)確定▽V(x)的待定系數aij（i，j=1，2，…，n）(4)定出對應梯度▽V(x)的候選李亞普諾夫函數V(x)(5)判斷V(x)計算結果的正定性例：試用變量梯度法確定下列非線性系統的李亞普諾夫函數，并分析平衡狀態的穩定性。(1)選取候選李亞普諾夫函數V(x)的梯度▽V(x)

(2)按穩定性結論給出的條件引入對梯度▽V(x)的限制旋度rot▽V(x)=0(3)確定▽V(x)的待定系數aij（i，j=1，2，…，n）試選：a11=a22

=1，a12=a21=0，則(4)定出對應梯度▽V(x)的候選李亞普諾夫函數V(x)是正定的，因此，在x1x2<1的范圍內，平衡狀態是漸近穩定的。是否為大范圍漸近穩定的？李亞普諾夫函數的選擇是非唯一的。再選：a11=1，a22

=3，a12=x22，a21=3x22

，則是正定的，因此，在1/3<x1x2<1的范圍內，平衡狀態是漸近穩定的。那一種選擇好？平衡狀態是漸近穩定的范圍越大越好！克拉索夫斯基方法設連續時間非線性時不變系統Xe=0為系統孤立平衡狀態，系統雅可比矩陣克拉索夫斯基指出：如果存在一個對稱正定矩陣B，使對稱陣S(x)=BF(x)+[BF(x)]T是負定的，那么平衡狀態x=0是漸近穩定的，系統的李雅普諾夫函數為：V(x)=f(x)TBf(x)

如果，則平衡狀態x=0是大范圍漸近穩定的。特點：相對于狀態導數構造候選李亞普諾夫函數V(x)通常B=I注意：克拉索夫斯基方法是充分條件例：給定一個連續時間非線性時不變系統

確定平衡狀態x=0的穩定性

解：

取B=I為對稱負定陣，所以平衡狀態x=0是漸近穩定的。平衡狀態x=0是大范圍漸近穩定的

顯然，上述形式的V(x)用經驗法很難找到，這從一方面反映了規則化方法的效果。例：已知線性時不變系統，判斷平衡狀態的穩定性。

解顯然A非奇異，xe=0是唯一平衡狀態。結論對連續時間線性時不變系統,矩陣A為非奇異，若A+AT為負定，則原點平衡狀態x=0為大范圍漸近穩定。

其順序主子式為xe=0是大范圍漸進穩定。A+AT為負定4.4線性連續系統的穩定性對線性時變系統，其相應的齊次狀態方程為由第2章介紹的方法求出其解為由此可判別齊次以及非齊次系統的穩定性，如果收斂則都穩定；如果發散，則都不穩定。首先介紹矩陣正定性的定義：對于方陣當它的所有主子式均大于零時，則Q是正定的。即：對線性定常系統，可以用Lyapunov第二法。

如果方陣Q是正定的，則－Q

就是負定的。負定的矩陣主子式負正相間。Lyapunov函數為狀態變量的二次型函數，即如果P為維正定的對稱常數矩陣，則為正定的。令，其中Q為正定實數矩陣，且滿足如果給定Q陣，能夠推出P

為正定的，則系統在為穩定的。并且線性定常系統為穩定，就一定是大范圍一致漸近穩定。（注：線性定常系統，可以判斷A的特征值是否全部具有負實部，既可以判別其穩定性。）例4-6

線性定常系統的狀態方程為判別系統的穩定性。解系統的平衡狀態為為簡單起見，可以令Q

陣為單位矩陣I。解得有可見，P為正定的矩陣，故為大范圍一致漸近穩定的。例:某系統解:

選Q=I,由ATP+PA=-Q

，pij=pji.注：由于P的對稱性，只有個未知數。，其平衡狀態在坐標原點，試判斷該系統的穩定性。用Sylvester判據：P>0

系統是漸近穩定的.

原則上Q為任意正定對稱陣，且系統漸近穩定性的判斷結果與Q的不同選取無關。具體應用時，Q常常取為正定對角陣或單位陣，以簡化計算結果。線性時變系統的穩定性判據自閱

4.5線性定常離散系統的穩定性線性定常離散系統的狀態方程為（8）系統的平衡狀態為假設G

為維非奇異常數陣，是唯一的平衡狀態。選取Lyapunov函數（9）式中，P

為正定的對稱常數，因此是正定的。的差分為若要在處漸近穩定，要求為負定的。所以其中Q為正定。給定一個正定對稱常數陣Q，求P

陣，并驗證其正定性。（10）例4-7

線性定常離散系統的狀態方程如下，試判別其穩定性。解系統的平衡狀態為為簡單起見，可以令Q

陣為單位矩陣I。解得P的各階主子式均大于零，即可見，P為正定的矩陣，故為大范圍一致漸近穩定的。4.6有界輸入-有界輸出穩定4.6.1有界輸入-有界輸出穩定BoundedInputBoundedOutput(BIBO)Stable定義：對于初始松弛系統，任何有界輸入，其輸出也是有界的，稱為BIBO系統。如果輸入有界，是指≤如果輸入有界，是指≤≤如果≤于是≤可以取定理4-5

由方程描述的線性定常系統。為初始松弛系統。其輸出向量的解為（11）BIBO穩定的充分必要條件是存在一個常數K3，有≤或者對于的每一元素，都有≤其中，a

為一個非負的實數，而系統的脈沖響應函數為例4-8線性定常系統方程為分析系統是否BIBO穩定。解可見，只有當時，才有有限值存在，系統才是BIBO穩定的。4.6.2BIBO穩定與平衡狀態穩定性之間的關系對于線性定常系統（12）平衡狀態的漸近穩定性由A的特征值決定。而BIBO的穩定性是由傳遞函數的極點決定的。

的所有極點都是A的特征值，但A的特征值并不一定都是的極點。可能存在零極點對消。所以，處的漸近穩定就包含了BIBO穩定，而BIBO穩定卻可能不是處的漸近穩定。那么在什么條件下，BIBO穩定才有平衡狀態漸近穩定呢？結論是：如果（12）式所描述的線性定常系統是BIBO穩定，且系統是既能控又能觀測的，則系統在處是漸近穩定的。4.7非線性系統的穩定性分析4.7.1