§3.3頻率方程的零根和重根情形看右圖示例子，其剛度矩陣和質量矩陣為一.零根情形代入頻率方程可解得請你思考：造成固有頻率為零的數學原因和物理原因是什么？一般說來，將代入頻率方程導出可見，從數學的角度來看，造成頻率方程有零根的充分必要條件是由于剛度矩陣的行列式值等于零，所以此時剛度矩陣為奇異矩陣，即：此時柔度矩陣Ｆ不存在。仔細觀察剛才的系統，發現它沒有外界的約束，系統可以含有任意的剛體位移，因此，要求系統的柔度矩陣是不可能的。因此，從物理的角度來看，造成頻率方程有零根的充分必要條件是：系統含有剛體位移。上述系統稱為半正定系統。假定相應的主坐標方程為積分得表明此主振動轉化為隨時間t勻速增大的剛體位移系統的剛體自由度可以利用模態的正交性條件消除設為零固有頻率對應的剛體位移模態正交性條件要求為系統的除剛體位移之外的其它模態將上式各項乘以與相應的主坐標并對i=2至n求和令為系統消除剛體位移后的自由振動，導出以下約束條件利用此約束條件可消去系統的一個自由度，得到不含剛體位移的縮減系統。縮減系統的剛度矩陣不再奇異

例4

討論兩端自由的軸上三個圓盤的扭轉振動。各盤繞轉動軸的轉動慣量分別為J，2J和J，軸的抗扭剛度均為k。

解

以，，為廣義坐標，系統的動能和勢能分別為代入拉氏方程，導出動力學方程為其中直接驗證可知剛度矩陣為半正定系統的本征方程為解出固有頻率并可計算出相應模態其中與零頻率對應的一階模態為剛體轉動，其模態示意圖見下面系統模態1111-111-1為消去剛體轉動自由度，將剛體轉動模態代入導出如下的約束條件解出將解出的再代入系統的動能和勢能得到代入拉氏方程，縮減系統的質量矩陣和剛度矩陣縮減后的剛度矩陣為正定矩陣，對應的本征方程為解出縮減系統的頻率和模態為縮減系統與未縮減系統的計算結果完全相同注：縮減系統的動力學方程也可以將約束方程直接代入原來的未縮減系統動力學平衡方程得到二.重根情形在復雜系統中會出現某些特征值非常接近甚至相等的現象，如柔性航天結構。下面討論特征值重根時系統的模態和其正交問題不失一般性，假設則在計算與該頻率相對應的模態時，振幅方程組中會有兩個方程不獨立將A的最后兩個元素的有關項移至等號右端和任意給定，兩組線性獨立的值，和，比如令從前面方程組解出其余n-2個的兩組解記作此組合的第1、第2階模態顯然不是唯一的,也不是正交的。為

保證它們之間滿足正交性條件，令也是原方程組的解顯然與令正交解出待定常數從而得到相互獨立且正交的第1、第2階模態。思考：這樣求得的前兩階模態與其余的n-2個模態是否正交？為什么？例

討論圖示由等剛度彈簧支承的質點的平面運動，設質點的質量為m

，彈簧的剛度均為k/2。解

系統的動力學方程為本征方程為固有頻率為取模態為滿足正交性條件取模態為也滿足正交性條件§3.4多自由度系統在簡諧激勵下的受迫振動回顧:單自由度系統的受迫振動或穩態解為其中若不考慮阻尼,則穩態解為設n自由度系統沿各個廣義坐標均受到頻率和相位相同的廣義簡諧力的激勵，為簡單起見，先不計阻尼影響系統的受迫振動方程其中x為位移向量.為激勵頻率

為廣義激勵力的幅值向量設動力方程的穩態解為其中X為受迫振動振幅組成的列陣代入動力方程導出記一.按剛度法求解于是有結論

因為系統的特征方程而故:激勵頻率接近系統的任何一個固有頻率都會使受迫振動的振幅無限增大而引起共振在求得結構的振幅之后，若要計算結構的最大內力，可將最大慣性力和最大干擾力同時作用在結構上，然后按靜力問題求解例設剛度系數為的彈簧支承的物體上受到簡諧力此物體上安裝由小物體和剛度系數為試證明在一定條件下吸振器能消除物體的受迫振動的激勵。的彈簧組成的吸振器解動力方程為:令:代入動力方程后得到計算復頻響應矩陣其中導出受迫振動的振幅顯然,當和滿足如下條件時可以得到這表明:處于共振狀態的吸振器,激勵力平衡，從而吸收了外界激勵的全部能量，使物體的振動抑制為零。的慣性力恰好與例題三層剛架。質量、側移剛度及動荷載如圖所示，p(t)=100sintkN。每分鐘振動200次。略去橫梁變形。試求該剛架各層振幅值及各層柱的剪力幅值。解：（一）求各樓層的振幅：（二）求動內力值：44.5947.61617.492Q圖（kN)位移（cm.)動M圖（kN.m)二.按柔度法求解運動方程設達到穩態后，各質點按干擾力頻率作簡諧振動：代入動力方程得也可寫成若動力荷載不是直接作用在結點上，則以代替在平穩階段,各質點作簡諧振動,振動頻率與荷相同各質點的慣性力為各質點的慣性力的幅值為慣性力的幅值向量為代入方程整理得利用以上二式可以求得結構振動的振幅向量和慣性力的幅值向量與剛度法一樣，若要計算結構的最大內力，可將最大慣性力和最大干擾力同時作用在結構上，然后按靜力問題求解例：求圖示體系的穩態振幅、動彎矩幅值圖。已知：解：利用對稱性可簡化計算對稱荷載反對稱荷載質量1處的靜位移質量1的位移動力系數質量1處的靜彎矩質量1的彎矩動力系數結論

在多自由度體系中，沒有一個統一的動力系數。?10.8.5?10.8.6?10.8.6?10.8.7直接解法:只適合于外部激勵為同步的簡諧激勵模態疊加法:適合于外部激勵為任意激勵動力方程坐標變換主坐標

幾何坐標向量

振型矩陣

其中荷載向量

§3.5多自由度系統在任意激勵下的受迫振動坐標變換式代入動力方程，并兩邊左乘得到其中主坐標形式的動力學方程顯然是解耦的，即可利用杜哈梅積分求出各主坐標的受迫振動特解模態疊加（振型分解)法計算步驟1.確定體系的自振頻率和主振型；2.求廣義質量，廣義荷載；3.求廣義坐標；4.求質點位移。例：求圖示結構在突加荷載作用下的位移解確定自振頻率和主振型主振型求廣義質量、廣義荷載求廣義坐標求質點位移可見，第一主振型對位移的影響遠大于第二主振型的影響。多自由度體系位移計算時，由于高階振型分量影響很小，故通常只計算前2～3個振型的影響即可。例.求圖示體系在突加荷載作用下的位移反應.解:m1m2已知:加荷前靜止。§3.6有阻尼的受迫振動一.多自由度系統的阻尼阻尼力的機理很復雜，難以給出恰當的數學描述通常等效為粘性阻尼粘性阻尼系數系統僅沿第j個坐標有單位速度時，沿第i個坐標必須施加的力二.動力學方程利用拉格朗日方程，可以得到系統的動力學方程寫成矩陣形式仍然利用振型疊加法主坐標

幾何坐標向量

振型矩陣

其中荷載向量

結構質量矩陣

結構阻尼矩陣

結構剛度矩陣

三.方程求解Rayleigh阻尼將代入動力學方程并兩邊左乘得到其中一般情況下，振型關于阻尼矩陣不具有正交性,因此，此時的動力學方程無法求解為便于求解，通常假定阻尼矩陣C為質量矩陣M和剛度矩陣K的線性組合式中，a和b為兩個待定系數此時即變成對角矩陣令模態阻尼矩陣原動力學方程組