勤學(xué)好問(wèn)必有所獲第一章隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件隨機(jī)事件的概率概率的性質(zhì)及其應(yīng)用條件概率與事件的獨(dú)立性全概率公式與貝葉斯公式貝努利概型與二項(xiàng)概率式隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件

一、隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)

1.隨機(jī)現(xiàn)象在固定條件下觀察結(jié)果唯一的現(xiàn)象在固定條件下由于概念不明確觀察結(jié)果有兩個(gè)以上的現(xiàn)象確定性現(xiàn)象本課程研究對(duì)象在固定條件下由于偶然性觀察結(jié)果有兩個(gè)以上的現(xiàn)象客觀世界中的現(xiàn)象不確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象模糊現(xiàn)象

Def

在一定條件下，因不可控因素而導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)或觀察結(jié)果不唯一的現(xiàn)象成為隨機(jī)現(xiàn)象。客觀世界存在大量的隨機(jī)現(xiàn)象。

2.隨機(jī)試驗(yàn)

Def

為研究隨機(jī)現(xiàn)象而進(jìn)行的觀察和試驗(yàn)統(tǒng)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)必具備以下特點(diǎn)：

（1）至少有兩個(gè)以上可能結(jié)果；

（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果由試驗(yàn)條件明確已知，但每次具體試驗(yàn)之前不可預(yù)測(cè)本次試驗(yàn)將要出現(xiàn)的結(jié)果；

（3）試驗(yàn)可在相同條件下多次重復(fù)。

例1.1

某人拋擲一枚骰子，觀察朝上面的點(diǎn)數(shù)。

例1.2

從裝有7個(gè)白球和3個(gè)黑球的盒子中隨意取出兩個(gè)球，觀察其顏色。

例1.3

從某廠所生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中隨意抽取53件產(chǎn)品，考察其中次品的件數(shù)

例1.4

從某校中隨意抽選一名學(xué)生，測(cè)量其身高。

例1.5

隨意選取一天，考察上海市某證卷交易所股票中國(guó)石化的交易量。二、隨機(jī)事件概念與集合

1.隨機(jī)事件

Def隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件。

隨機(jī)事件在具體一次試驗(yàn)中有可能出現(xiàn)也有可能不出現(xiàn)，它具有不可預(yù)見(jiàn)性。如果隨機(jī)事件在一次具體試驗(yàn)中出現(xiàn)了，就稱該隨機(jī)事件發(fā)生了。一般用大寫的英文字母隨機(jī)事件的分類基本事件復(fù)合事件特殊事件隨機(jī)試驗(yàn)不可再分的結(jié)果若干個(gè)基本事件共同方可表達(dá)的結(jié)果。必然事件和不可能事件來(lái)表示隨機(jī)事件，如2.樣本空間Def隨機(jī)試驗(yàn)基本事件的全體所形成的集合稱為該隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，一般用字母表示。樣本空間是由所要研究的問(wèn)題及其該問(wèn)題所涉及的隨機(jī)試驗(yàn)確定的，它是研討問(wèn)題的論域。例1.1的樣本空間，其中表示朝上面的點(diǎn)數(shù)為1，表示朝上面的點(diǎn)數(shù)為2，其余記號(hào)類似。例1.2的樣本空間，其中表示白球，表示黑球。如果將問(wèn)題變?yōu)椤坝^察白球出現(xiàn)的個(gè)數(shù)”，那么，樣本空間，其中“0”表示所抽球中沒(méi)有白球，“1”表示所抽球中有1個(gè)白球，其余記號(hào)類似。例1.3的樣本空間，其中“0”表示所抽產(chǎn)品中沒(méi)有次品，其余記號(hào)類似。例1.4的樣本空間，其中表示所抽到學(xué)生的身高。

3.事件與集合顯然，樣本空間是一基本事件為元素的集合，復(fù)合事件是樣本空間的真子集，必然事件就是樣本空間，不可能事件是樣本空間的空子集；如果再規(guī)定基本事件就是一個(gè)單點(diǎn)集，那么，隨機(jī)事件就可以用集合來(lái)表示，但事件與集合又有所不同。

所謂一個(gè)事件發(fā)生時(shí)指表達(dá)該事件的集合中的一個(gè)元素在試驗(yàn)中出現(xiàn)了。三、事件之間的關(guān)系與運(yùn)算

1.事件的包含與等價(jià)（相等）

的子事件。如果有成立，也稱為在例1.1中，令表示擲得點(diǎn)數(shù)能被3整除；表示擲得。的點(diǎn)數(shù)大于2。則

。發(fā)生，則稱事件包含事件，記為發(fā)生必導(dǎo)致事件Def設(shè)為任意兩個(gè)事件，若事件互為對(duì)立事件，則它們一定互斥。顯然，事件與互為對(duì)立事件。球，表示抽出的兩球全為黑球，則與表示抽出的兩球中至少有一球?yàn)榘咨诶?.2中，令互斥。的點(diǎn)數(shù)小于3，則與表示擲得在例1.1中，令表示擲得點(diǎn)數(shù)能被3整除；事件為的對(duì)立驗(yàn)中必有一個(gè)發(fā)生，則稱與互為對(duì)立事件。記互斥，且在一次試時(shí)發(fā)生，則稱事件與互斥。若與在一次試驗(yàn)中不能同Def設(shè)為任意兩個(gè)事件，若與2.事件的互斥與對(duì)立。

的點(diǎn)數(shù)為3或6，則表示擲得在例1.1中，令表示擲得點(diǎn)數(shù)能被3整除；例如：。件與等價(jià)或相等。記為，則稱事Def設(shè)為任意兩個(gè)事件，若且

3.互斥事件完備群圖1.1顯然，互為對(duì)立的兩個(gè)事件一定形成一個(gè)互斥事件完備群。因此，互斥事件完備群是對(duì)立事件概念的推廣。互斥事件完備群形成樣本空間的一個(gè)分割。后面將要遇到的概率計(jì)算中，利用互斥事件完備群在一些情況下可以化簡(jiǎn)復(fù)雜事件概率計(jì)算。形成一個(gè)互斥事件完備群，如圖1.1所示。則在例1.4中，令形成互斥事件完備群。這組事件兩個(gè)之間互斥，每次試驗(yàn)中必有它們其中一個(gè)發(fā)生，則稱為一組事件，如果它們之中任意Def設(shè)

4.事件的和運(yùn)算AB圖1.2BA+。事件。記為中事件的和這樣的試驗(yàn)結(jié)果為事件序列中至少有一個(gè)事件發(fā)生”則稱“事件序列為一個(gè)事件序列，設(shè)事件和運(yùn)算概念的推廣：。（3）；（2）若，則；（1）從定義不難看出事件的和運(yùn)算具有下列性質(zhì)事件，如圖1.2所示。所包含的不同的基本事件全體拿來(lái)形成一個(gè)集合所表達(dá)的的和事件就是將兩事件中從運(yùn)算角度來(lái)看，事件與。樣的運(yùn)算稱為事件和運(yùn)算。記與的和事件為的和事件；這一個(gè)發(fā)生”這樣的試驗(yàn)結(jié)果為事件與事件至少Def設(shè)為任意兩個(gè)事件，則稱“事件與事件

5.事件的積運(yùn)算

AB圖1.3。事件，記為中事件的積樣的試驗(yàn)結(jié)果為事件序列則稱“事件序列中每個(gè)事件同時(shí)發(fā)生”這為一個(gè)事件序列，設(shè)事件積運(yùn)算概念的推廣：。

（3）；（2）若，則；（1）從定義不難看出事件的積運(yùn)算具有下列性質(zhì)

圖1.3所示。所包含的公共基本事件全體構(gòu)成的集合所表達(dá)的事件，如的積事件就是由兩個(gè)事件從運(yùn)算角度來(lái)看，事件與。樣的運(yùn)算稱為事件積運(yùn)算。記與的積事件為的積事件；這同時(shí)發(fā)生”這樣的試驗(yàn)結(jié)果為事件與事件兩個(gè)Def設(shè)為任意兩個(gè)事件，則稱“事件與事件

6.事件的差運(yùn)算

（積運(yùn)算）（和運(yùn)算）2.結(jié)合律（積運(yùn)算）

（和運(yùn)算）1.交換律四、事件的運(yùn)算律。（2）若，則；（1）形成的集合表達(dá)的事件，如圖1.1所示。從定義不難看出事件的積運(yùn)算具有下列性質(zhì)

從運(yùn)算角度來(lái)看，事件與的差事件就是由事件所包含的全體基本事件中去掉其與事件所共有的基本事件。這樣的運(yùn)算稱為事件差運(yùn)算。記與的差事件為的差事件；件不發(fā)生”這樣的試驗(yàn)結(jié)果為事件與事件發(fā)生，而事Def設(shè)為任意兩個(gè)事件，則稱“事件

3.分配律

或“中都不發(fā)生”為中恰有兩個(gè)事件發(fā)生”為解:“不發(fā)生”。都達(dá)下列事件“中恰有兩個(gè)事件發(fā)生”，“

為某試驗(yàn)的三個(gè)已知事件，試用它們表例1.6設(shè)討論事件之間關(guān)系和事件運(yùn)算的目的是為了用簡(jiǎn)單事件表示復(fù)雜事件。熟練的應(yīng)用事件的關(guān)系和運(yùn)算將復(fù)雜事件表達(dá)成為一些相對(duì)簡(jiǎn)單事件的運(yùn)算式是將來(lái)計(jì)算復(fù)雜事件概率基本手段。

這些運(yùn)算律讀可以推廣到有限個(gè)事件的情況，對(duì)偶律還可以推廣到無(wú)窮多個(gè)事件的情況。

4.對(duì)偶律（DeMorgan律）為互斥事件完備群事件組對(duì)立事件幾個(gè)重要概念的等價(jià)表達(dá)解:由對(duì)偶律知

的對(duì)立事件。

試求事件

，例1.7設(shè)為某試驗(yàn)的三個(gè)已知事件，隨機(jī)事件的概率(Probability)

同一隨機(jī)試驗(yàn)的不同事件由于其內(nèi)在的差別，在具體的試驗(yàn)過(guò)程中，它們各自發(fā)生的機(jī)會(huì)是不定一樣的。為了刻畫這種差異需要有一個(gè)指標(biāo)，這個(gè)指標(biāo)就是概率。所謂概率是用來(lái)刻畫隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生機(jī)會(huì)大小的一個(gè)數(shù)量指標(biāo)。概率是人們?cè)趯?duì)隨機(jī)現(xiàn)象認(rèn)識(shí)不斷深入的過(guò)程中，逐步建立和完善的概念。一、古典概型與概率的古典定義

1.

古典概型

古典概型描述的是特殊的，相對(duì)較簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象。判斷一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)是否為古典概型就是要看其基本結(jié)果數(shù)是否有限和各基本結(jié)果是否具有等可能性。

例如：例1.1，例1.2，例1.3都是古典概型。為古典概型。每個(gè)基本事件在試驗(yàn)中發(fā)生機(jī)會(huì)相等，則稱該隨機(jī)試驗(yàn)只有有限個(gè)基本事件，且Def若隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間

2.

概率的古典定義

所以有所含結(jié)果數(shù)事件由于所有可能結(jié)果解：設(shè)“全部裝對(duì)”為事件例1.7（匹配問(wèn)題）某人寫了4封信和4個(gè)信封，現(xiàn)隨機(jī)地將信裝入信封中，求全部裝對(duì)的概率。由此不難看出，對(duì)于古典概型概率計(jì)算問(wèn)題就是確定確定樣本點(diǎn)計(jì)數(shù)問(wèn)題，這就使得初等數(shù)學(xué)里的排列組合知識(shí)成為求解古典概型概率問(wèn)題的常用的工具。的概率為樣本點(diǎn)數(shù)為，事件含有個(gè)樣本點(diǎn)，則事件的任意事件，如果Def設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型，為思路例1.8（組數(shù)問(wèn)題）用1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字構(gòu)成三位數(shù)，試求“沒(méi)有相同數(shù)字的三位數(shù)的概率”，“沒(méi)有相同數(shù)字的三位偶數(shù)的概率”。

百位十位個(gè)位注意：該題第二問(wèn)求解過(guò)程中，確定事件所含結(jié)果數(shù)時(shí)，采用了先滿足特殊要求后滿足一般條件的辦法。沒(méi)有相同數(shù)字的三位偶數(shù)的概率沒(méi)有相同數(shù)字的三位數(shù)的概率于是表示組成沒(méi)有相同數(shù)字的三位偶數(shù)。表示組成沒(méi)有相同數(shù)字的三位數(shù)；

解：設(shè)思路例1.9（抽簽問(wèn)題）10個(gè)學(xué)生，以抽簽的方式分配3張音樂(lè)會(huì)入場(chǎng)券，抽取10張外觀形狀相同的紙簽，其中有3簽代表可得到入場(chǎng)券。求“第五個(gè)抽簽的學(xué)生抽到有入場(chǎng)券簽”的概率。第五個(gè)學(xué)生抽到入場(chǎng)券另外9個(gè)學(xué)生抽取剩下9張請(qǐng)大家思考：某人獲得入場(chǎng)卷的概率與他抽簽的次序是否有關(guān)，為什么？所以有所含基本事件數(shù)事件基本事件總數(shù)解：設(shè)表示第五個(gè)抽簽的學(xué)生抽到有入場(chǎng)券簽。注意：生日問(wèn)題，分房問(wèn)題可以歸結(jié)為這類問(wèn)題。，于是有所含基本結(jié)果數(shù)（2），于是有（1）所含基本結(jié)果數(shù)，且各結(jié)果機(jī)會(huì)均等。顯然，所有可能基本結(jié)果數(shù)為小球各占一個(gè)紙盒”。表示“個(gè)盒內(nèi)各有一個(gè)小球”；解：設(shè)表示“指定的小球各占一個(gè)紙盒的概率。（2）（1）指定的個(gè)紙盒各有一個(gè)小球的概率；中，試求解下列問(wèn)題：小球隨意放入紙盒盒子，個(gè)小球（），欲將這個(gè)可容納任意個(gè)小球的紙例1.10（占位問(wèn)題）設(shè)現(xiàn)有二、幾何概型與概率的幾何定義

1.

幾何概型

Def設(shè)有一個(gè)可度量的區(qū)域（直線上的區(qū)間、平面上的區(qū)域、空間的立體通稱），向區(qū)域任意投一點(diǎn)，該點(diǎn)落于區(qū)域內(nèi)任意小區(qū)域里的可能性大小只與小區(qū)域度量的大小有關(guān)，而與小區(qū)域的位置形狀無(wú)關(guān)，這樣的隨機(jī)試驗(yàn)稱為幾何概型，這時(shí)樣本空間。

幾何概型如圖1.4所示，具有下列特點(diǎn)：（1）有一個(gè)可度量的區(qū)域；（2）試驗(yàn)看成向中隨機(jī)地投擲一點(diǎn)；（3）事件就是所投擲的點(diǎn)落在中的可度量圖形中。

2.概率的幾何定義

Def

設(shè)為幾何概型，為其任意一個(gè)事件，為的度量，為的度量，則事件的概率為G圖1.4A例1.11甲乙二人相約6:00-6:30在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面，規(guī)定先到的人要等候另一人10分鐘后，方可離去。已知甲乙二人在6:00-6:30內(nèi)任意時(shí)刻到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的機(jī)會(huì)是均等的。求甲乙二人能會(huì)面的概率。解：設(shè)表示甲乙二人能會(huì)面甲乙二人到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)時(shí)刻分別為

及

（分鐘）,則

二人能會(huì)面以6:00作為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，那么，該問(wèn)題如圖1.5所示。從而有30301010圖1.5例1.12甲乙兩艘船欲停靠同一個(gè)碼頭，設(shè)兩艘船到達(dá)碼頭的時(shí)間互不相干，而且到達(dá)碼頭的時(shí)間在一晝夜內(nèi)是等可能的。如果兩艘船到達(dá)碼頭后需在碼頭停留的時(shí)間分別是1小時(shí)與2小時(shí),試求在一晝夜內(nèi)，任一艘船到達(dá)時(shí)，需要等待空出碼頭的概率。解：設(shè)甲船到達(dá)碼頭的時(shí)刻為，；

乙船到達(dá)碼頭的時(shí)刻為，；

事件表示任一船到達(dá)碼頭時(shí)需要等待空出碼頭．事件發(fā)生與需滿足如圖1.6所示，從而有即有xy2424y=x+1y=x-2圖1.6例1.14(蒲豐投針問(wèn)題)平面上畫有間隔為d的等距平行線,向平面任意投擲一枚長(zhǎng)為l的針，針與平行線相交的概率.由蒲豐投針問(wèn)題：長(zhǎng)為l的針與平行線相交的概率為:2l/d.實(shí)際去做N次試驗(yàn)，得n次針與平行線相交，頻率為:n/N.用頻率代替概率得：2lN/(dn)注：的隨機(jī)模擬三、頻率與概率的統(tǒng)計(jì)定義

1.

頻率

Def設(shè)將試驗(yàn)進(jìn)行了次，其中次發(fā)生了事件，則稱為事件發(fā)生的頻率，記為，即

顯然，頻率具有下列性質(zhì)：（1）；（2），；（3）設(shè)為互斥事件，則有。

2.隨機(jī)事件的統(tǒng)計(jì)規(guī)律

隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生帶有偶然性，但當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)不斷增大時(shí)，它發(fā)生的頻率就趨于穩(wěn)定，這種規(guī)律稱為隨機(jī)事件的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。在歷史上，為了證明隨機(jī)事件的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，許多學(xué)者將擲硬幣做過(guò)許多次，一些記錄如下表所示。試驗(yàn)者拋擲次數(shù)出現(xiàn)正面的次數(shù)出現(xiàn)正面的頻率德.摩根204810610.5180蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998擲硬幣試驗(yàn)的歷史資料表

3.

概率的統(tǒng)計(jì)定義

Def在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)附近擺動(dòng),

且隨越大擺動(dòng)幅度越小,則稱為事件的概率,記作。

概率的統(tǒng)計(jì)定義對(duì)試驗(yàn)沒(méi)有特殊限制，適用于所有隨機(jī)試驗(yàn)。優(yōu)點(diǎn)是易于理解，在試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)能給出概率的近似值；不足是粗糙、模糊和不便使用。例1.12為掌握一批小麥種子的發(fā)芽率，從這批小麥種子中抽取若干種子做發(fā)芽試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示。試由此資料確定該批小麥種子的發(fā)芽率。解：從表內(nèi)的資料可看出，隨著做試驗(yàn)種子粒數(shù)的增加，種子發(fā)芽的頻率在0.9附近擺動(dòng)，參與發(fā)芽試驗(yàn)的種子粒數(shù)愈大附近擺動(dòng)愈小，所以，這批小麥種子的發(fā)芽率大概應(yīng)在0.9這個(gè)數(shù)值上。

注意：概率的統(tǒng)計(jì)定義只給出了確定事件概率近似方法。請(qǐng)大家思考概率的統(tǒng)計(jì)定義與下列極限過(guò)程有何區(qū)別？也即概率的統(tǒng)計(jì)定義能否理解為下式成立：種子粒數(shù)25107013031070015002000發(fā)芽粒數(shù)2496011628263913391806發(fā)芽率10.80.90.8570.8920.9100.9130.8930.903四、概率的公里化定義前面分別介紹了概率統(tǒng)計(jì)定義，概率的古典及概率的幾何定義，它們?cè)诮鉀Q各自相適應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題中，都起著很重要的作用，但它們各自都有一定局限性。為了克服這些局限性，1933年（前）蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏浞蛟诳偨Y(jié)前人成果的基礎(chǔ)上，抓住概率本質(zhì)特性，提出了概率公理化定義，為概率論的發(fā)展奠定了理論基礎(chǔ)。

Def設(shè)的樣本空間為，對(duì)于該試驗(yàn)的任意事件，賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，如果滿足下列三條公理：非負(fù)性：規(guī)范性：可列可加性：若事件列中的事件兩兩互斥，則有則稱為事件的概率。概率的性質(zhì)及其應(yīng)用概率的公理化定義規(guī)定了概率的基本性質(zhì)，由這些基本性質(zhì)可以推導(dǎo)出下面一些概率的常用性質(zhì)。有效的利用概率的這些性質(zhì)可以簡(jiǎn)化復(fù)雜事件的概率計(jì)算。一、概率的性質(zhì)

1.

證明：因?yàn)榍胰我鈨身?xiàng)互斥，由公理3便有由于概率是數(shù)，顯然有

該性質(zhì)告訴人們：不可能事件的概率為零。但可不能推出是不可能事件。例如：某人用一薄刀片在直尺上隨意砍，現(xiàn)考察刀片恰好砍到直尺的中點(diǎn)這一事件，顯然這事件是可能發(fā)生的，但由幾何概型容易看出其概率為0。

2.有限可加性

設(shè)兩兩互斥，則有這個(gè)性質(zhì)稱為概率的有限可加性，證明類似于性質(zhì)1。

3.單調(diào)性若，則有。證明：如圖1.7所示有又互斥，從而所以有圖1.7

4.加法定理

對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)事件，有證明：如圖1.8所示有又互斥且所以有如果事件互斥，則有。加法定理可以推廣到人以有限個(gè)事件的情況，下面給出三個(gè)事件的情況圖1.8

5.逆事件的概率

設(shè)為事件的對(duì)立事件，則有。證明：如圖1.9所示有所以有即有

該公式為求事件的概率提供了一個(gè)途徑。二、概率性質(zhì)在求解復(fù)雜事件概率中的應(yīng)用

在求解復(fù)雜事件概率時(shí)，一般先利用事件之間的關(guān)系和運(yùn)算把復(fù)雜事件用相對(duì)容易求概率的簡(jiǎn)單的事件表達(dá)出來(lái)，然后再用概率的性質(zhì)計(jì)算。下面以例說(shuō)明：例1.13袋中有20個(gè)球，其中15個(gè)白球，5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，求至少取到一個(gè)白球的概率．解：設(shè)表示至少取到一個(gè)白球，表示恰好取到個(gè)白球，，則A圖1.9兩兩互斥

由古典概型和概率加法公式易得

(另解)又由于，從而由古典概型與逆概率公式有例1.14把6個(gè)小球隨機(jī)地投入6個(gè)盒內(nèi)(球,盒可識(shí)別)，求前三個(gè)盒當(dāng)中有空盒的概率。解：設(shè)表示前三個(gè)盒當(dāng)中有空盒，表示恰好第個(gè)盒是空的，，則，于是由古典概型與概率加法公式有例1.15設(shè)事件的概率分別為，試在下列情況下求的值：（1）與互斥；（2）。解:（1）因?yàn)榕c互斥，故有，于是有。所以（2）因?yàn)槎コ猓谑怯杏种杂袟l件概率與事件的獨(dú)立性一、條件概率（ConditionalProbability）

1.條件概率的概念

Def設(shè)為同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的任意兩個(gè)隨機(jī)事件，且滿足條件，則稱為在事件發(fā)生條件下，事件發(fā)生的條件概率。

條件概率具有概率的一切性質(zhì)，譬如：等概率性質(zhì)均成立。

2.概率與概率的區(qū)別和聯(lián)系聯(lián)系：它們都是在發(fā)生下求概率。區(qū)別：①求時(shí)，事件同時(shí)發(fā)生；而求時(shí)，事件先發(fā)生，事件后發(fā)生；

②求時(shí)，樣本空間為；而求時(shí)，樣本空間為，即樣本空間發(fā)生變化，如圖1.10所示。

一般總有成立，但與不可比

3.條件概率的計(jì)算★一般利用條件概率的定義轉(zhuǎn)化為無(wú)條件概率計(jì)算；★對(duì)于具有等可能性的古典概型、幾何概型采用壓縮樣本空間法計(jì)算，即用下式計(jì)算：AB圖1.10BAB發(fā)生條件下，A發(fā)生的次數(shù)或度量

B發(fā)生的次數(shù)或度量例1.16某種動(dòng)物出生之后能活到20歲的概率為0.7，能活到25歲的概率為0.56，已知現(xiàn)有一只年齡為20歲的這種動(dòng)物，求其能繼續(xù)活到25歲的概率。解：設(shè)表示“該動(dòng)物能活到20歲”；表示“該動(dòng)物能活到25歲”。顯然有，由題設(shè)條件知：由于有，由條件概率的定義有即年齡為20歲的這種動(dòng)物，能繼續(xù)活到25歲的概率為0.8。

注意：該題是一個(gè)典型的利用條件概率定義式將條件概率計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)條件概率的解題方法。應(yīng)用這種方法計(jì)算條件概率時(shí)，一定要注意概率與概率的區(qū)別和聯(lián)系，而且概率和概率要容易求算。例1.17設(shè)100件產(chǎn)品中有70件一等品，25件二等品，規(guī)定一、二等品為合格品。從中任取1件，試求解下列問(wèn)題：（1）取得一等品的概率；（2）已知取得的是合格品，其是一等品的概率。解：設(shè)表示取得一等品，表示取得合格品，則有（1）因?yàn)?00件產(chǎn)品中有70件一等品，所以

（2）所求概率為，由古典概型易知從而由條件概率定義有注意：該題的第二問(wèn)也可以采用壓縮樣本空間法求解。例1.18從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽出2張，將其中1張放到驗(yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是假鈔。求所抽出2張都是假鈔的概率。解：設(shè)表示“抽出的2張都是假鈔”；表示“抽出的2張中至少有1張假鈔”。顯然有，所求概率為。由古典概型有所以例1.19假定生男生女是等可能。若已知某一個(gè)家庭有倆孩子，求這個(gè)家庭有兩個(gè)男孩的概率；若已知這個(gè)家庭第一個(gè)孩子是男孩，求這家有兩個(gè)男孩（相當(dāng)于第二個(gè)也是男孩）的概率。解：設(shè)表示“這個(gè)家庭第一個(gè)孩子是男孩”；表示“這個(gè)家庭第二個(gè)孩子是男孩”；表示“這個(gè)家庭兩個(gè)孩子都是男孩。于是有，所求概率分別為。由題意知樣本空間和事件分別可表示為所以有注意：不要由這個(gè)例子隨便得出條件概率大于無(wú)條件該的結(jié)論。請(qǐng)思考條件概率與無(wú)條件概率能比較大小嗎？二、概率乘法公式

利用條件概率定義容易獲得積事件概率的計(jì)算公式，即概率乘法公式設(shè)為隨機(jī)試驗(yàn)的任意兩個(gè)事件，且滿足和，則有概率乘法公式可以推廣到任意有限個(gè)事件積情況：設(shè)任意個(gè)事件，且，則必成立：

個(gè)事件的概率乘法公式并不只有上面這種形式。事實(shí)上，對(duì)于事件，這樣形式的公式一定有個(gè)。請(qǐng)大家對(duì)的情況寫出這些公式，并注意觀察其規(guī)律。例1.20在一批產(chǎn)品中，甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品占60%，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，甲廠產(chǎn)品的次品率為10%，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨意的抽取一件，求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品的概率。解：設(shè)表示事件“產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的”；

表示事件“產(chǎn)品是次品”。

由題設(shè)知概率的乘法公式有例1.21某人打算外出旅游兩天,需要知道兩天的天氣情況，據(jù)預(yù)報(bào)，第一天下雨的概率為0.6，第二天下雨的概率為0.3，兩天都下雨的概率為0.1.求第一天下雨時(shí)，第二天不下雨的概率.

解：設(shè)與分別表示第一與第二天下雨，于是例1.22甲、乙、丙3位求職者參加面試，每人的試題通過(guò)不放回抽取方式確定。假設(shè)被抽的10個(gè)試題卡中有4個(gè)是難題卡，抽取按甲先，乙次，丙最后的次序進(jìn)行。試求解下列事件的概率：（1）甲抽到難題卡；（2）甲沒(méi)抽到難題簽而乙抽到難題卡；（4）甲、乙、丙都抽到難題卡。解：設(shè)分別表示“甲、乙、丙抽到難題卡”，于是，所求概率分別為

三、事件的獨(dú)立

1.事件獨(dú)立的概念先看一個(gè)例子

一個(gè)盒子中有６只黑球、４只白球，從中有放回地摸球。求（1）第一次摸到黑球的條件下，第二次摸到黑球的概率；（2）第二次摸到黑球的概率。設(shè)表示“第一次摸到黑球”；表示“第二次摸到黑球”。容易計(jì)算得：（1）（2）從例子可以看出：第一次抽到黑球并沒(méi)有影響到第二次抽到黑球的概率，即在這個(gè)試驗(yàn)中，有。

Def設(shè)為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，如果滿足則稱事件與事件相互獨(dú)立。

由定義顯然有：事件與任意事件相互獨(dú)立。

如果，則有

事件與事件相互獨(dú)立事件相互獨(dú)立的實(shí)質(zhì)是：

“事件發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率。”

2.事件獨(dú)立性的判定（1）利用定義判定；（2）利用或判定；（3）利用問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)判定。定理：下列四組事件具有相同的獨(dú)立性；；；；證明：這里只證明相互獨(dú)立相互獨(dú)立。先證相互獨(dú)立相互獨(dú)立。因?yàn)椋蚁嗷オ?dú)立，所以由概率的性質(zhì)有即說(shuō)明相互獨(dú)立。再證相互獨(dú)立相互獨(dú)立。因?yàn)椋蚁嗷オ?dú)立，所以由概率的性質(zhì)有即說(shuō)明相互獨(dú)立所以相互獨(dú)立相互獨(dú)立。

3.有限多個(gè)事件獨(dú)立性（事件獨(dú)立性的推廣）

Def設(shè)任意個(gè)事件，如果對(duì)所有可能組合滿足則稱事件相互獨(dú)立。如果只滿足，則稱兩兩相互獨(dú)立。顯然，相互獨(dú)立必兩兩相互獨(dú)立，但兩兩相互獨(dú)立未必相互獨(dú)立。例1.23設(shè)一均勻堆成的四面體，第一面涂為紅色，第二面涂為黃色，第三面涂為籃色，第四面紅黃藍(lán)三種顏色各涂一部分。旋轉(zhuǎn)上拋，下落到地面后，觀察接觸地面面的直覺(jué)未必可信顏色。記表示接觸地面面有紅色；表示接觸地面面有黃色；表示接觸地面面有藍(lán)色。試判斷的獨(dú)立性。解：由題設(shè)條件與古典概率定義有從而

所以，兩兩相互獨(dú)立。又因?yàn)橛兴裕嗷ゲ华?dú)立例1.24一批玉米種子在某地的土壤及氣候條件下，出苗率為0.80。如農(nóng)民采用穴播法播種，為了保證每穴99%以上有苗，問(wèn)每穴至少播多少粒種子？解：設(shè)每穴至少需播粒種子，表示第粒種子出苗，表示每穴有苗，則有相互獨(dú)立于是有，即有

所以有，解得。那種解法你更喜歡！例1.25加工某一種零件需要經(jīng)過(guò)三道工序，設(shè)三道工序的次品率分別為2%，1%，5%，如果各道工序之間相互不影響。求加工出來(lái)的零件的次品率。解：設(shè)

表示加工的道工序出現(xiàn)次品，；表示加工出來(lái)的產(chǎn)品是次品。于是有，相互獨(dú)立。（解法一）

（解法二）全概率公式與貝葉斯公式在計(jì)算較復(fù)雜的事件的概率時(shí)，根據(jù)事件在不同原因或不同情景下發(fā)生，將它分解成若干互斥事件的和，進(jìn)而分別計(jì)算概率，然后求和。這就是全概率公式所體現(xiàn)的思想，全概率公式是概率論中的一個(gè)基本公式，它使一些復(fù)雜事件的概率計(jì)算問(wèn)題得以化簡(jiǎn)。貝葉斯公式則是在已知一事件發(fā)生下，重新認(rèn)識(shí)導(dǎo)致該事件發(fā)生的原因事件的概率，即有了試驗(yàn)結(jié)果后對(duì)原因事件認(rèn)識(shí)的調(diào)整。一、全概率公式

定理：設(shè)為互斥事件完備群，為任意事件，且，則有該公式稱為全概率公式。證明因?yàn)闉榛コ馐录陚淙海赜杏谑怯星矣袃蓛苫コ猓杂袕淖C明過(guò)程不難看出，全概率公式在較弱的條件下也是成立的。全概率公式的推廣形式：設(shè)為一組兩兩互斥事件，為任意事件，，，則有例1.26為了掌握一支股票未來(lái)一定時(shí)期內(nèi)價(jià)格的變化，人們往往會(huì)去分析影響股票的基本因素，比如利率的變化。現(xiàn)在假設(shè)經(jīng)分析估計(jì)利率下調(diào)的概率為60%，利率不變的概率為40%。人們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，在利率下調(diào)的情況下，該支股票價(jià)格上漲的概率為80%，在利率不變的情況下，其價(jià)格上漲的概率為40%，求該支股票將上漲的概率。

解：設(shè)表示“利率下調(diào)”，那么為“利率不變”，表示“股票價(jià)格上漲”。

據(jù)題設(shè)知于是有例1.27設(shè)播種用小麥種子中混有一等，二等，三等，四等四個(gè)等級(jí)的種子，分別各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等種子長(zhǎng)出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.10，0.05，求這批種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率。解：設(shè)從這批種子中任選一顆是一等，二等，三等，四等種子的事件分別是，則它們構(gòu)成互斥完備事件群，又設(shè)表示任選一顆種子所結(jié)的穗含有50粒以上麥粒這一事件，于是，由題設(shè)條件有則由全概率公式：（閱讀材料）敏感性問(wèn)題調(diào)查方案設(shè)計(jì)敏感性問(wèn)題的調(diào)查是社會(huì)調(diào)查中的一類，如一群人中參加賭博的比率，吸毒人的比率，學(xué)生中看黃色書籍的比率等調(diào)查都屬于這類調(diào)查，調(diào)查的目的是獲得感興趣的比率。下面以了解大學(xué)生考試作弊率為例說(shuō)明應(yīng)用全概率公式處理這類問(wèn)題的方法

大學(xué)生考試作弊會(huì)嚴(yán)重影響學(xué)風(fēng)和大學(xué)生身心健康發(fā)展，但考試作弊避著教師進(jìn)行的，屬于不光彩行為，要調(diào)查考試作弊學(xué)生在全體學(xué)生中所占比率是一件難事，這里關(guān)鍵是要設(shè)計(jì)一個(gè)調(diào)查方案，使被調(diào)查者愿意作出真實(shí)回答，又能保守個(gè)人秘密。經(jīng)過(guò)多年研究與實(shí)踐，一些心理學(xué)家與統(tǒng)計(jì)學(xué)家設(shè)計(jì)了一種調(diào)查方案，這個(gè)方案的核心是如下兩個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題1：你的生日是在7月1日之前嗎？

問(wèn)題2：你在考試時(shí)作過(guò)弊了嗎？

被調(diào)查者只需回答其中一個(gè)問(wèn)題至于回答哪一個(gè)問(wèn)題由被調(diào)查者事先從一個(gè)裝有紅球和白球的罐中隨機(jī)抽取一只球，觀察顏色一下列方式確定（觀察后再放回）。若被調(diào)查者抽出白球，則回答問(wèn)題1；若被調(diào)查者抽出紅球，則回答問(wèn)題2。假定罐中只有白球與紅球，且紅球的比率是已知的。即被調(diào)查者無(wú)論回答問(wèn)題1還是問(wèn)題2，只需在如圖所示的答卷上認(rèn)可的方框內(nèi)打“√”，然后將答卷放入一只密封的投票箱內(nèi)。上述抽球與答卷都是在一間無(wú)人的房間內(nèi)進(jìn)行的，任何外人都不知道調(diào)查者抽到什么顏色的球和在什么地方打“√”。答卷是（）否（）圖1.11

如果向被調(diào)查者講清楚這個(gè)方案的做法，并嚴(yán)格執(zhí)行，那么就容易被調(diào)查者確信他（她）參加這次調(diào)查不會(huì)泄露個(gè)人秘密，從而愿意參加調(diào)查。當(dāng)有較多的人參加調(diào)查后，就可以打開(kāi)投票箱進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。

設(shè)有張答卷，其中張答“是”，于是回答“是”的比率就是，可用頻率去估計(jì)，記為。這里答“是”有兩種情況：一種是摸到白球后，回答問(wèn)題1，答“是”，這是一個(gè)條件概率，它是“生日是在7月1日之前”的概率，一般認(rèn)為是0.5，即；另一種是摸到紅球后，回答問(wèn)題2，答“是”，這也是一個(gè)條件概率，它不是別的，就是考試作弊同學(xué)在全體學(xué)生中所占比率，即。

最后利用全概率公式把上述各項(xiàng)概率（或其估計(jì)值）聯(lián)系起來(lái)即有，從而解得二、貝葉斯公式（逆概率公式）定理：設(shè)為互斥事件完備群，為任意事件，且，則有該公式稱為貝葉斯公式。其中成為先驗(yàn)概率，稱為后驗(yàn)概率。

由條件概率定義式和全概率公式不難證明此結(jié)果。貝葉斯公式是1763年由T.B.Bayes在他的一篇重要文章（該文章是在他死后，由他的朋友發(fā)表的）中提出來(lái)的。起初該公式并沒(méi)有得到應(yīng)有的重視，直到后來(lái)P.S.Gauss用它推導(dǎo)出“相繼律”才引起了人們的研究興趣，并依次為出發(fā)點(diǎn)形成了統(tǒng)計(jì)學(xué)上重要統(tǒng)計(jì)思想—貝葉斯統(tǒng)計(jì)。貝葉斯公式是先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率轉(zhuǎn)化工具。例1.28每箱產(chǎn)品共有10件，在一箱產(chǎn)品中次品件數(shù)出現(xiàn)0,1,2件的可能性是均等的。開(kāi)箱檢驗(yàn)時(shí)，從中依次抽取兩件(不重復(fù))，如果發(fā)現(xiàn)有次品，則拒收該箱產(chǎn)品。試計(jì)算：

（1）一箱產(chǎn)品通過(guò)驗(yàn)收的概率；

（2）已知一箱產(chǎn)品通過(guò)驗(yàn)收,則該箱產(chǎn)品中有2個(gè)次品的概率。