第18章測量不確定度與回歸分析18.1測量誤差概述任何測量的目的是為了獲得被測量的真實值。量是物體可以從數量上進行確定的一種屬性。由一個數和合適的計量單位表示的量稱為量值。量值有理論真值、約定真值和實際值或標稱值與指示值之分。真值理論真值是在理想情況下表征一個物理量真實狀態或屬性的值，它通常客觀存在但不能實際測量得到，或者是根據一定的理論所定義的數值。約定真值是為了達到某種目的按照約定的辦法所確定的值，或以高精度等級儀器的測量值約定為等精度等級儀器測量值的真值。實際值是在滿足規定準確度時用以代替真值使用的值。標稱值和指示值標稱值是計量或測量器具上標注的量值。指示值（即測量值）是測量儀表或量具給出的量值。精度對于具體物體的測量：精密度高的準確度不一定高，準確度高的精密度不一定高，但精確度高，精密度和準確度都高。誤差的來源測量環境誤差：測量儀器的工作環境與規定的標準狀態不一致時所造成的誤差。典型的有溫度、濕度、大氣壓力、振動、重力加速度、電磁干擾等。測量裝置誤差：是指由于測量儀表本身不完善或測量精度不高所帶來的誤差。測量方法誤差：是指由于測量方法不合理或不完善所引起的誤差。測量人員誤差：是指由于測量人員本身的專業素質不高所引起的誤差。誤差的分類根據測量數據中誤差的規律，有三類：系統誤差：由于測量系統本身的性能不完善、測量方法不完善、測量者對儀器的使用不當、環境條件的變化等原因所引起的測量誤差成為系統誤差。隨機誤差：對同一被測量進行多次重復測量時，絕對誤差的絕對值和符號不可預知的隨機變化，但就誤差的總體而言，具有一定的統計規律性，這類誤差稱之為隨機誤差。粗大誤差：明顯偏離測量結果的誤差稱為粗大誤差（也稱疏忽誤差，或過失誤差）。提問：系統誤差和粗大誤差的產生原因都提到了環境條件變化，試區分它們的異同？隨機誤差是否受環境影響？誤差的表示絕對誤差Δ：測量值x與真實值L間的差值。

Δ=x-L相對誤差：絕對誤差與真實值（或測量值）之比。工程上，在無法得到真值時，常采用在被測參量沒有發生變化的條件下重復多次測量，用多次測量的平均值代替真值。附加誤差：當儀表的使用條件偏離標準條件時出現的誤差（如溫度、壓力、頻率、電源電壓波動附加誤差等）。引用誤差：絕對誤差與儀表滿量程之比。這里的滿量程是指儀表的測量范圍的上下限之差。

其中，xm為儀表的滿量程。相比于相對誤差，這里使用滿量程代替了真值，但引起誤差的分子仍為絕對誤差Δ；當測量值為檢測系統測量范圍的不同數值時，各測量值的絕對誤差Δ也可能不同。因此，即使是同一檢測系統，其測量范圍內的不同測量值處的引用誤差也不一定相同。但是，在沒有修正值的情況下，通常認為在整個測量范圍內各處的最大絕對誤差是一個常數。例題：檢定一臺滿量程Am=5A，精度等級為1.5的電流表，測得在2.0A處其絕對誤差Δ=0.1A，請問該電流表是否合格？解：

顯然該電流表不合格。最大引用誤差：在檢測系統全量程所有測量值引用誤差（絕對值）的最大者，或者說所有測量值中最大絕對誤差（絕對值）與量程的比值的百分數，用符號γmax表示。檢測儀表的精度等級儀表的精度等級是根據引用誤差來定義的，如0.5級表的引用誤差不超過±0.5%，根據國家標準的規定，引用誤差分為0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5和5.0共7個等級。檢測儀表的精度等級由生產廠商根據其最大引用誤差的大小并以選大不選小的原則就近套用上述精度等級。例如，量程為0~1000V的數字電壓表，如果其整個量程中最大絕對誤差為1.05V，則有該數字電壓表的精度等級應為0.2級。檢測儀表的工作誤差工作誤差是指檢測儀表在額定工作下可能產生的最大誤差范圍，它也是衡量檢測儀表的最重要的質量指標之一。根據國標的規定，工作誤差通常直接用絕對誤差表示。例題：被測電壓實際值為21.7V，現有四種電壓表，A表：1.5級、量程為0~30V；B表：1.5級、量程為0~50V；C表：1.0級、量程為0~50V；D表：0.2級、量程為0~360V；選用哪種規格的電壓表測量時所產生的測量誤差較小？被測電壓實際值為21.7V，A表：1.5級、量程為0~30V；B表：1.5級、量程為0~50V；C表：1.0級、量程為0~50V；D表：0.2級、量程為0~360V；解：最大絕對誤差A表：B表：C表：D表：檢測儀表產生的測量誤差不僅與所選儀表精度等級有關，而且與所選儀表的量程有關。通常測量值與量程差距越小，測量準確度越高。（要求示值落在儀表滿刻度的三分之二以上）粗大誤差的處理1、3

準則通常把3作為極限誤差。如果一組測量數據中某個測量值的殘余誤差的絕對值時，則可認為該值含有粗大誤差，應舍棄。2、肖維勒準則該準則以正態分布為前提，假設多次重復測量得到的n個測量值中，某個測量值的殘余誤差，則舍棄該測量值。Zc值的選取與測量列的測量值個數n有關。3、格拉布斯準則該準則對于某個測量值的殘余誤差的絕對值，則判斷此值中含有粗大誤差，應剔除。G的確定與重復測量次數N和置信概率Pa有關，如下表所示。隨機誤差的處理假定對某個被測參量x0

（恒值）進行等精度重復測量n次，得到n個測量值x1,x2,……,xn，則各次測量值xi與真值x0的差即為隨機誤差δi=xi-x0，n次測量對應的隨機誤差分別為δ1,δ2,……

,δn。大量實驗結果表明，在沒有起決定性影響的誤差源存在時，隨機誤差的分布多數都服從正態分布。1、隨機誤差的正態分布曲線單峰性有界性對稱性x：測量值；y：概率密度；：標準差；L：數學期望；δ：隨機誤差，

δ=x-L不同均方根下正態分布曲線真值（或數學期望）標準差對測量系統而言，當測量次數n為無窮大時2、正態分布的隨機誤差的數字特征實際測量中，由于測量次數n也不能無窮大，所以真值x0無法知道。通常用多次測量值的算術平均值代替真值x0。各測量值與算術平均值的差值稱為殘余誤差vi由殘差可計算標準差的估計值

，即貝塞爾公式：設在相同條件下對被測量進行了m組的“多次測量”，即分別對每一組做n次測量，各組所得的算術平均值為每組的算術平均值并不相同，它也存在一個隨機波動，但其波動范圍比單次測量的波動范圍要小。由誤差理論可以證明，均值標準差正常情況下，每一組的都是不同值，但假設在不變的情況下，可以畫出與n的如下關系曲線：由圖中可以看出，隨著n的增大，測量精度相應提高，但當測量次數達到一定值后（如n>10），下降很慢。所以單純依靠增加測量次數很難無3、正態分布的概率計算限地提高精度，需要從其他方面考慮。一般取n=5~10。為了確定測量的可靠性，需要計算正態分布在不同區間的概率，分布曲線下的全部面積應等于總概率（即100%）。由殘余誤差表示的正態分布密度函數為由于是正態分布的特征參數，誤差區間通常表示成的倍數，如t。由于正態分布的對稱性特點，計算概率通常取成對稱區間的概率，即測量結果的兩種表示由上表可知，當t=1時，P=0.6827，即測量結果中隨機誤差出現在-~+間的概率為68.27%；當t=3時，即出現在-3~+3間的概率為99.73%。所以測量結果通常表示為如下兩種例題有一組（10個）測量值為237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4，求測量結果。解：首先根據測量值可計算出測量平均值：接著計算出標準差的估計值因此，測量結果可表示為：系統誤差的處理從誤差根源上消除系統誤差系統誤差：是由測量系統本身的缺陷或測量方法的不完善造成的，使得測量值中含有固定不變或按一定規律變化的誤差。特點：系統誤差不具有抵償性，也不能通過重復測量來消除，因此在處理方法上與隨機誤差完全不同。處理原則：找出系統誤差產生的根源，然后采取相應的措施盡量減小或消除系統誤差。分析系統誤差的產生原因一般從以下5個方面著手：所用測量儀表或元件本身是否準確可靠；測量方法是否完善；傳感器或儀表的安裝、調整、放置等是否正確合理；測量儀表的工作環境條件是否符合規定條件；測量者的操作是否正確。如讀數時的視差、視力疲勞等都會引起系統誤差。系統誤差的發現與判別（1）實驗對比法通過改變產生系統誤差的條件從而進行不同條件下的測量，以發現系統誤差適用于：發現固定的系統誤差（2）殘余誤差觀察法是根據測量值的殘余誤差的大小和符號的變化規律來判斷有無變化的系統誤差（3）準則檢查法馬利科夫準阿貝準則3、系統誤差的消除要絕對地消除系統誤差是不可能的（1）消除系統誤差產生的根源測量前，仔細檢查儀表，正確調整和安裝；防止外界干擾的影響；選擇好觀測位置消除視差；選擇環境條件較穩定時進行測量和讀數。（2）在測量系統中采用補償措施找出系統誤差的規律，在測量過程中自動消除系統誤差。（3）實時反饋修正當查明某種誤差因素的變化對測量結果有明顯的影響時，可盡量找出其影響測量結果的函數關系或近似函數關系，然后按照這種函數關系對測量結果進行實時的自動修正。（4）在測量結果中進行修正對于已知的系統誤差，可以用修正值對測量結果進行修正；對于變值系統誤差，設法找出誤差的變化規律，用修正公式或修正曲線對測量結果進行修正；對未知的系統誤差，則歸入隨機誤差一起處理。測量誤差的傳遞

由于直接測量的結果有誤差，由直接測量值經過計算得到的間接測量結果也會有誤差，這就是誤差的傳遞（也稱為誤差的合成）即已知被測量與各個參數的函數關系以及各個參數測量值的分項誤差，求被測量的總誤差。系統誤差的傳遞

隨機誤差的傳遞

總的誤差如果測量系統的系統誤差與隨機誤差相互獨立，則總的誤差表示為

18.3測量不確定度測量不確定度是指對測量結果不確定性的評價，是表征被測量的真值在某個量值范圍的一個估計，測量結果中所包含的測量不確定度用以表示被測量值的分散性。所有的不確定度分量均用標準差表征，它們或者由隨機誤差引起，或者由系統誤差引起，都對測量結果的分散性產生相應的影響。測量不確定度的來源

測量不確定度常見的10項可能來源：被測量的定義不完整；被測量的定義復現不理想；抽樣可能不完全代表定義的被測量；對環境條件的影響或測量程序的認識不足，或對環境條件的測量和控制不完善；模擬式儀器的讀數偏差；測量儀器分辨力和鑒別閾值不夠；計量標準器和標準物質不準確；用于數據計算的常量和其他參量不準確測量方法、測量系統和測量程序中的近似和假設；在表面上看來相同的條件下，被測量在重復觀測中的變化。測量不確定度與誤差的比較相同點：都是評價測量結果質量高低的重要指標，都可作為測量結果的精度評定參數。區別：從定義上講，誤差是測量結果與真值之差，它以真值或約定真值為中心；測量不確定度是以被測量的估計值為中心。因此誤差是一個理想的概念，一般不能準確知道，難以定量；而測量不確定度是反映人們對測量認識不足的程度，是可以定量評定的。在分類上，誤差按自身特征和性質分為系統誤差、隨機誤差和粗大誤差，并可采取不同的措施來減小或消除各類誤差對測量結果的影響。但由于各類誤差之間并不存在絕對界限，故在分類判別和誤差計算時不易準確掌握。曲線擬合的最小二乘法2什么是最小二乘法3最小二乘法的求法1曲線擬合的問題

如果已知函數f(x)在若干點xi(i=1,2,…,n)處的值yi,便可根據插值原理來建立插值多項式作為f(x)的近似。但在科學實驗和生產實踐中，往往節點上的函數值是由實驗或觀測得到的數據，這些函數值不可避免地帶有測量誤差，如果要求所得的近似函數曲線精確無誤地通過所有的點(xi,yi),就會使曲線保留著一切測試誤差。此外,由實驗或觀測提供的數據個數往往很多,如果用插值法,勢必得到次數較高的插值多項式，這樣計算起來很煩瑣，缺乏實用價值。

希望從給定的數據(xi,yi)出發,在某個函數類中尋求一個近似函數φ(x),

來擬合這組數據。要求所得的近似曲線能最好的反映數據的基本趨勢，如圖所示。一、問題的提法二、目的1曲線擬合的問題曲線擬合示意圖

也就是求一條曲線,使數據點均在離此曲線的上方或下方不遠處,它既能反映數據的總體分布,又不至于出現局部較大的波動,能反映被逼近函數的特性,使求得的逼近函數與已知函數從總體上來說其偏差按某種方法度量達到最小.三、方法曲線擬合方法四、曲線擬合的問題設函數y=f(x)在m個互異點的觀測數據為

求一個簡單的近似函數φ(x)，使之“最好”地逼近f(x),而不必滿足插值原則。這時沒必要取φ(xi)=yi,而要使i=φ(xi)yi

總體上盡可能地小。這種構造近似函數的方法稱為曲線擬合,稱函數y=φ(x)為經驗公式或擬合曲線。使最小最小二乘原則三、最小二乘原則（方法）1、定義：使“偏差平方和最小”的原則稱為最小二乘原則。2、定義:按照最小二乘原則選取擬合曲線的方法,稱為最小二乘法。主要討論線性最小二乘問題，基本提法是：在某個函數類Φ={φ0(x),φ1(x),…φn(x)}來尋求一個函數φ(x)

。是待定常數，

使其滿足3、線性最小二乘問題的提法式中，