第二章:

流體靜力學2023/2/51Chapter2:Fluidstatics本章主要內容2.1引言2.2一點上的壓強2.3壓強的變化2.4靜止的流體2.5線性加速的容器2.6旋轉的容器2.7本章總結2023/2/52Chapter2:Fluidstatics本章教學目的建立靜止流體中壓強變化的方程學習如何應用壓力計測量壓強學習如何計算作用在平面和曲面上的力，包括浮力學習如何計算作用在加速及旋轉容器中流體上的壓強和力2023/2/53Chapter2:Fluidstatics2.1引言流體靜力學主要是對流體微元間沒有相對運動的流體進行研究。

如果流體微元間沒有相對運動，則流體內不存在切應力(由于沒有速度梯度)。流體內唯一存在的應力為正應力(壓力或壓強)，因此壓強或壓力是流體靜力學主要的研究內容。本章主要研究三種情況：靜止的流體；處在一個線性加速裝置中的流體；處在一個旋轉圓筒中的流體。此外，本章還要對壓力計進行研究。流體對于建立在流體邊界上的參考系來說處于靜止平衡狀態。2023/2/54Chapter2:Fluidstatics對此單元應用牛頓第二定律：2.2一點上的壓強考慮一個單位厚度的楔形單元：假設壓強p作用在直角三角形的斜邊，并且不同的壓強作用在其他的每一個面積上。2023/2/55Chapter2:Fluidstatics結論:在無剪切應力的情況下，無論是靜止流體還是運動流體，在流體內的一個給定點上，所有方向上的壓強都是相等的(壓強是一個標量函數，壓強的大小與方向無關)。。2.2一點上的壓強2023/2/56Chapter2:Fluidstatics2.3壓強的變化

在這一部分里，我們將推導出一個用于計算靜止流體或雖然處于加速狀態但各流體微元的相對位置保持不變的流體中壓強變化的一般性方程。

要確定壓強的變化，考慮一個微元體：2023/2/57Chapter2:Fluidstatics2.3壓強的變化

如果假設壓強p

作用在該微元體的中心，則可以推出微元體每一個面上的壓強：2023/2/58Chapter2:Fluidstatics對該微元體應用牛頓第二定律：2.3壓強的變化2023/2/59Chapter2:Fluidstaticsz為垂直方向特定點間的壓強差值可以通過對該方程進行積分得到。2.3壓強的變化2023/2/510Chapter2:Fluidstatics2.4靜止的流體一個流體處于沒有加速度的靜止狀態在x方向和y方向上沒有壓強的變化。壓強的變化只是在z方向上。如果dz是正的，則dp是負的，即向上運動時壓強減小，向下運動時壓強增加。2023/2/511Chapter2:Fluidstatics2.4靜止的流體1.靜止液體中的壓強積分(p/+z)經常定義為壓頭

如果研究的點在自由表面(氣體與液體的分界面)下方h

距離處，則有：z=0時，p=0這個方程在將液體中一點的壓強轉換為液體的當量高度時非常有用。在向上的方向上z是正的。2023/2/512Chapter2:Fluidstatics2.大氣中的壓強標準大氣：地球緯度40°位置處的大氣。大氣層可以分為4個層：對流層(最接近地球的一層)同溫層(距離地球11km到80km的區域)電離層(距離地球80km以上的區域)外大氣層2.4靜止的流體2023/2/513Chapter2:Fluidstatics(1)溫度的變化對流層的溫度隨海拔高度線性變化。在距地球11到20km的同溫層區域，溫度基本保持恒定。隨著高度的增加，溫度再次開始上升，直到在50km左右處達到最大。隨后，溫度開始下降，直到電離層的邊緣。2.4靜止的流體2023/2/514Chapter2:Fluidstatics(2)壓強的變化對流層：積分在標準大氣環境下，對流層溫度可以表示為：T(z)=T0-z,T0=288K,=0.0065K/m2.4靜止的流體2023/2/515Chapter2:Fluidstatics同溫層：下標s表示在對流層和同溫層分界處的量2.4靜止的流體2023/2/516Chapter2:Fluidstatics例題1：

計算10000m處的壓強。(1)利用恒溫條件(5000m處的溫度為256K)，(2)應用對流層的溫度分布。求解：(1)在恒溫條件下：2.4靜止的流體

注意：當計算

gz/RT時，我們采用

R=287J/kgK，而不是0.287kJ/kgK。N=kgm/s22023/2/517Chapter2:Fluidstatics(2)在對流層溫度分布條件下2.4靜止的流體2023/2/518Chapter2:Fluidstatics3.壓力計壓力計：

壓力計是一種采用液體柱測量壓強的裝置。實例1：U型管壓力計(測量小壓強)2.4靜止的流體(gagepressure)2023/2/519Chapter2:Fluidstatics實例2:

U型管壓力計(測量大壓強)(表壓)由于可以選擇較大的液體(如水銀：=13.6water)，因此這種壓力計可以用于測量較大的壓強。2.4靜止的流體2023/2/520Chapter2:Fluidstatics例題2:

水和油在水平管道內流動。一個雙U型管壓力計連接在這兩個管道之間。已知水的

=62.14lb/ft3,S1=1.6,S2=0.9,Sair0。計算水管和油管間的壓差。

求解：2.4靜止的流體2023/2/521Chapter2:Fluidstatics實例3：微壓計(測量小壓強)2.4靜止的流體2023/2/522Chapter2:Fluidstatics分析：

由于p1的一個小的壓強變化會產生相對較大的H變化，因此微壓計可以用于測量相對較小的壓強變化。2.4靜止的流體2023/2/523Chapter2:Fluidstatics2.4靜止的流體2023/2/524Chapter2:Fluidstatics例題3:

z1=0.95m,z2=0.70m,z3=0.52m,z4=0.65m,z5=0.72m,1=9810N/m3,2=11500N/m3,3=14000N/m3,D=0.2m,d=0.01m.(a)計算管道中的壓強

p1。(b)如果p1增加100Pa，計算H的變化。(c)如果水的高度h=0.5m，p=100Pa，計算U型管壓力計中h的變化。2.4靜止的流體2023/2/525Chapter2:Fluidstatics求解(a)：2.4靜止的流體2023/2/526Chapter2:Fluidstatics求解(b)：2.4靜止的流體2023/2/527Chapter2:Fluidstatics求解(c):2.4靜止的流體2023/2/528Chapter2:Fluidstatics4.作用在平板上的力

在設計淹沒在水中的裝置或物體時，如設計水壩、船舶和儲水池的表面等時，需要計算水作用在平面或曲面上的力的大小和位置。(1)力的大小一般情況下我們都采用表壓。由于大氣壓作用在該表面的兩邊，因此大氣壓可以消去。h=0時，p=02.4靜止的流體2023/2/529Chapter2:Fluidstatics

自由面距研究表面質心的距離定義為：從自由面到研究表面質心的垂直距離質心處的壓強結論：

作用在淹沒于液體中的一個平板表面上的力的大小，等于該平板質心處的壓強與該平板面積的乘積。但一般來說，這個力不作用在質心上。2.4靜止的流體2023/2/530Chapter2:Fluidstatics(2)合力的位置壓強中心(xp,yp)：合力作用點

作用在面積A

上的所有微元壓力產生的合力矩一定等于合力產生的力矩：(面積A關于x軸的慣性矩)y坐標yp:2.4靜止的流體2023/2/531Chapter2:Fluidstatics

根據慣性矩移軸定理，面積A

關于x軸的慣性矩與面積A關于質心軸的慣性矩ī有如下的關系：不同形狀面積的質心和慣性矩在本書附錄C中給出。yp

一般要比?大，即液體作用在平板上的合力一般作用在該面積質心的下方。水平放置的平板除外，此時?=，因此壓強中心與質心重合。2.4靜止的流體2023/2/532Chapter2:Fluidstatics例題4：

根據上述的表達式，液體作用在一塊上邊緣與液體表面平齊的矩形門上的力，合力的作用點在液體表面下方三分之二處。2.4靜止的流體2023/2/533Chapter2:Fluidstatics作用在面積A

上的所有微元壓力產生的合力矩一定等于合力產生的力矩：x坐標xp:根據慣性矩移軸定理，慣性積可以表示為：不同形狀平面的慣性積在本書附錄C中給出。2.4靜止的流體面積關于x軸和y軸的慣性積面積關于通過質心軸的慣性積2023/2/534Chapter2:Fluidstatics例題5：

求解：

在北美五大湖中的潛艇上，有一塊80cm80cm的平板窗戶。該窗戶與水平方向呈45°角，其上邊緣與潛艇壁面絞接，如果上邊緣在水下10m，要打開該窗戶，在窗戶的下邊緣需要施加多大的垂直力？假設潛艇內的壓強為大氣壓強。

水施加在窗戶上的力為：2.4靜止的流體2023/2/535Chapter2:Fluidstatics

距離?為：

根據關于絞接處的力矩方程即可得到打開窗戶所需要的力

P：2.4靜止的流體2023/2/536Chapter2:Fluidstatics例題6:

求解：

如圖所示，水下有一個三角形門。求水作用在該三角形門上的合力的位置以及為了支持住門所需的力。

確定門的質心：

合力F位置的y

坐標可以通過下式得到：2.4靜止的流體2023/2/537Chapter2:Fluidstatics

可以通過前述方程得到合力位置的x

坐標xp。

但另外一方面，由于合力一定在三角形門頂點與對邊中點的連線上，因此根據相似三角形，可以得到：

根據關于絞接的合轉矩為零，即可確定在所處的位置上，為了支持住門所需的力

P：2.4靜止的流體2023/2/538Chapter2:Fluidstatics5.作用在曲面上的力在這一部分，我們將應用自由體圖來分析水靜壓強作用在一個曲面上的力。自由體由所研究的曲面和直接在該曲面上方或下方的流體所構成。2.4靜止的流體2023/2/539Chapter2:Fluidstatics

為了簡化分析，這里確定一個曲面門作用在擋塊上的力該曲面是一個四分之一圓周。自由體圖包括曲面門以及在曲面門上方的一部分水Fx

和Fy

分別是作用在絞接上的力的水平和垂直分量。F1

和F2

是周圍的水對自由體產生的力；Fw

是水的重量。關于一個通過絞接的軸求力矩和，即可以確定曲面門作用在擋塊上的力。2.4靜止的流體2023/2/540Chapter2:Fluidstatics力和力矩分析：x方向：y方向：關于絞接的力矩：2.4靜止的流體2023/2/541Chapter2:Fluidstatics對這個四分之一圓來說，作用在曲面上的每一個微元力都通過圓弧的中心。因此合力FH+FV

一定通過圓心。因此，可將分量FH

和FV.放置在在四分之一圓弧的圓心上。2.4靜止的流體FH

等于F1，FV

等于F2+FW。FH

和FV

是水的微元壓力在圓弧上產生的合力。2023/2/542Chapter2:Fluidstatics例題7：求解(方法1)：

如圖所示，計算在所示位置，為支持住一4m寬的門所需的力P。忽略門的重量。確定力的分量2.4靜止的流體2023/2/543Chapter2:Fluidstatics2.4靜止的流體(2)確定距離面積產生的力矩：距離dW

是指到這個體積質心的距離，該距離可以通過認為所研究的面積等于一個正方形面積減去一個四分之一圓的面積來得到。2023/2/544Chapter2:Fluidstatics(3)確定力P關于無摩擦絞接求力矩和：2.4靜止的流體2023/2/545Chapter2:Fluidstatics2.4靜止的流體求解(方法2):

合力(FV+FH)通過

O點。如果FV和FH定位在

O點，FV將通過絞接，因此FV關于絞接不會產生力矩，從而有：因此可以將合力FH+FV

定位在點O。由于每一個微元力都通過圓心，合力也一定通過圓心。2023/2/546Chapter2:Fluidstatics例題8：求解：

如果力P

的作用點距y

軸3m，試求在如圖所示位置處為支持住門所需的力

P。已知拋物線型門的寬度為150cm。確定力的分量2.4靜止的流體2023/2/547Chapter2:Fluidstatics(2)確定距離面積產生的力矩：2.4靜止的流體2023/2/548Chapter2:Fluidstatics(3)確定力P關于無摩擦絞接求力矩和，可得：2.4靜止的流體2023/2/549Chapter2:Fluidstatics6.浮力阿基米德定律：

流體中一個物體所受的浮力等于該物體所排開的流體的重量。(1)浮力分析對一個淹沒物體：有一個淹沒物體作一個圓柱型自由體圖，該自由體包括重量為W的淹沒體和重量為FW的液體。該自由體的橫截面積是A2.4靜止的流體2023/2/550Chapter2:Fluidstatics2.4靜止的流體

作用在自由體垂直方向上合力主要來自周圍水的壓力，可以表示為(不包括W)：該合力定義為浮力FB.浮力包含在自由體中的液體體積淹沒體的體積浮體定律支持住淹沒體所必須的力2023/2/551Chapter2:Fluidstatics對一個浮體：2.4靜止的流體2023/2/552Chapter2:Fluidstatics(2)液體比重計比重計：

利用浮力原理測量液體比重力的儀器。比重計上部的直徑恒定。當比重計放置在純水中，比重計的讀數標注為1.0。2.4靜止的流體2023/2/553Chapter2:Fluidstatics放置在純水中時：放置在一個比重力x未知的液體中：比重計的重量在S=1.0線下的淹沒體積比重計柱的橫截面積。Sx=x/water對于一個給定的比重計來說，V和A固定，因此

hI的量值只是依賴于液體比重力的大小。2.4靜止的流體2023/2/554Chapter2:Fluidstatics例題9:

求解:

需要確定一個未知合成物物體的比重和比重力。已知該物體在空氣中的重量為200lb，在水中的重量為150lb。2.4靜止的流體2023/2/555Chapter2:Fluidstatics2.5線性加速的容器

在這部分的分析中，流體相對于坐標系統是靜止的，而該坐標系統以水平加速度分量為ax

，垂直加速度分量為az線性加速運動。2023/2/556Chapter2:Fluidstatics在兩個任意點1和2之間進行積分

如果點1和2在同一條等壓線上，則可得到自由表面方程：為等壓線與水平線之間的夾角2.5線性加速的容器2023/2/557Chapter2:Fluidstatics例題11：

水箱加速向右運動。如果水的自由表面到達A點，如圖所示，計算所需的加速度

ax。此外，如果水箱的寬度為1.0m,計算

pB

及水作用在水箱地面上的總力。2.5線性加速的容器2023/2/558Chapter2:Fluidstatics求解：(1)確定：

通過水箱中空氣的體積在加速前后的體積相等，即可確定加速時圖示的自由表面與水平面的夾角。2.5線性加速的容器2023/2/559Chapter2:Fluidstatics

(2)確定ax：2.5線性加速的容器2023/2/560Chapter2:Fluidstatics(3)確定pB：2.5線性加速的容器2023/2/561Chapter2:Fluidstatics(4)確定作用在地面上的合力：

地面上的壓強分布是從B到A線性降低的，因此可以利用平均壓強計算地面上受的總力：2.5線性加速的容器2023/2/562Chapter2:Fluidstatics2.6旋轉的容器

在這一部分中，我們將考慮流體在一個旋轉容器中的情況。容器中的流體相對于容器和rz參考坐標系保持靜力平衡狀態。力的分析：水平方向的旋轉將不會改變流體中垂直方向上的壓強分布。由于軸對稱，壓強關于坐標將沒有變化。2023/2/563Chapter2:Fluidstatics2.6旋轉的容器

對所選微元在r方向上應用牛頓第二定律：2023/2/564Chapter2:Fluidstatics2.6旋轉的容器在兩個任意點1和2間進行積分2023/2/565Chapter2:Fluidstatics2.6旋轉的容器