第16章達朗貝爾原理返回總目錄TheoreticalMechanics主講郭翔第三篇動力學

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第16章達朗貝爾原理16.1質點和質點系的達朗貝爾原理16.2剛體慣性力系的簡化16.3定軸轉動剛體的軸承動約束力16.4靜平衡和動平衡簡介TheoreticalMechanics

第16章達朗貝爾原理

引進慣性力的概念，將動力學系統的二階運動量表示為慣性力，并應用靜力學方法研究動力學問題——達朗貝爾原理。它將非自由質點系的動力學方程用靜力學平衡方程的形式寫出來。這種處理動力學問題的方法又叫做動靜法。它廣泛應用于剛體動力學求解動約束力。引言

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第16章達朗貝爾原理16.1達朗貝爾原理TheoreticalMechanics16.1達朗貝爾原理16.1.1質點的達朗貝爾原理16.1.2質點系的達朗貝爾原理

返回首頁TheoreticalMechanics16.1達朗貝爾原理16.1.1質點的達朗貝爾原理FNFRFaxzyOmA非自由質點Am——質量；sS——運動軌跡；FN——約束力；F——主動力；

返回首頁TheoreticalMechanicsFI根據牛頓定律ma＝F+FNF+FN

－ma＝0F+FN

＋FI

＝0非自由質點的達朗貝爾原理

返回首頁16.1達朗貝爾原理16.1.1質點的達朗貝爾原理FNFRFaxzyOmAsFI

＝－ma慣性力TheoreticalMechanicsF＋FN＋FI=0：質點的達朗貝爾原理

-在質點運動的任意瞬時，如果在其質點上假想地加上一慣性力FI，則此慣性力與主動力、約束力在形式上組成一平衡力系。討論

返回首頁16.1達朗貝爾原理16.1.1質點的達朗貝爾原理TheoreticalMechanics對于質點本身，慣性力是假想的。但確有大小等于ma的力-ma存在，它作用在使質點運動狀態發生改變的物體上。例如，人推車前進，這個力向后作用在人手上。正是通過這個力，我們感到了物體運動的慣性，稱這個力為慣性力。慣性力

返回首頁16.1達朗貝爾原理16.1.1質點的達朗貝爾原理TheoreticalMechanicsF+FN

＋

FI

＝0應用達朗貝爾原理求解非自由質點動約束力的方法動靜法1.分析質點所受的主動力和約束力；2.分析質點的運動，確定加速度；3.在質點上施加與加速度方向相反的慣性力。質點的達朗貝爾原理

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返回首頁16.1達朗貝爾原理16.1.1質點的達朗貝爾原理TheoreticalMechanics16.1.2質點系的達朗貝爾原理a2a1aiF1F2FiFN1FN2FNiFI1FI2FIim1mim2質點系的主動力系質點系的約束力系質點系的慣性力系

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在質點系中，取質量為mi的質點研究。a2a1aiF1F2FiFN1FN2FNiFI1FI2FIim1mim2由質點的達朗貝爾原理可知，FIi、Fi、FNi將組成一平衡力系。

返回首頁16.1.2質點系的達朗貝爾原理16.1達朗貝爾原理在任意瞬時，該質點在主動力Fi、約束力FNi作用下，加速度為ai。在此質點上假想地加上一慣性力FIi＝–miai

Fi

+FNi

＋

FIi

＝0TheoreticalMechanicsa2a1aiF1F2FiFN1FN2FNiFI1FI2FIim1mim2對于整個質點系來說，在運動的任意瞬時，虛加于質點系上各質點的慣性力與作用于該系上的主動力、約束力將組成一平衡力系。

返回首頁16.1.2質點系的達朗貝爾原理16.1達朗貝爾原理TheoreticalMechanics質點系的達朗貝爾原理：在運動的任意瞬時，虛加于質點系上各質點的慣性力與作用于該系上的外力將組成一平衡力系。對質點系應用達朗貝爾原理，由動靜法得到另一種表示

返回首頁16.1.2質點系的達朗貝爾原理16.1達朗貝爾原理TheoreticalMechanics例題例球磨機的滾筒以勻角速度繞水平軸O轉動，內裝鋼球和需要粉碎的物料。鋼球被筒壁帶到一定高度的A處脫離筒壁，然后沿拋物線軌跡自由落下，從而擊碎物料。設滾筒內壁半徑為r，試求脫離處半徑OA與鉛直線的夾角1（脫離角）。解：以隨著筒壁一起轉動、尚未脫離筒壁的某個鋼球為研究對象，它所受到的力有重力P、筒壁的法向約束力FN和切向摩擦力F及慣性力FI，如圖所示。

返回首頁16.1達朗貝爾原理TheoreticalMechanics鋼球隨著筒壁作勻速圓周運動，只有法向慣性力ＦI，大小，方向背離中心O。列出沿法線方向的平衡方程：脫離角當時，1＝0，鋼球始終不脫離筒壁，球磨機不工作。

鋼球不脫離筒壁的角速度

為了保證鋼球在適當的角度脫離筒壁，故要求

返回首頁例題16.1達朗貝爾原理TheoreticalMechanics例質量為m的均質桿AB用球鉸鏈A和繩子BC與鉛直軸OD相連，繩子在C點與重量可略去的小環相連，小環可沿軸滑動，如圖示。設AC＝BC＝l，CD＝OA＝l/2，該系統以角速度勻速轉動，求繩子的張力、鉸鏈A的約束力及軸承O、D的附加動約束力。

解：研究AB桿，畫受力圖其作用點在距A點AB處首先將AB桿上三角形分布的慣性力簡化

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返回首頁例題16.1達朗貝爾原理研究整體，畫受力圖，由達朗貝爾原理解得

FOy＝mg

附加動約束力為TheoreticalMechanics

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第16章達朗貝爾原理16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics16.2剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的特點

剛體慣性力的分布與剛體的質量分布以及剛體上各點的絕對加速度有關。FIi＝－miai

對于平面問題，剛體的慣性力為面積力，組成平面力系。對于一般問題，剛體的慣性力為體積力，組成空間一般力系。在用達朗伯原理研究剛體的運動時，必須研究其簡化問題，并以剛體質心為簡化中心。

返回首頁TheoreticalMechanics剛體慣性力系的主矢與剛體運動形式無關慣性力系的主矢慣性力系的主矢等于剛體的質量與剛體質心加速度的乘積，方向與質心加速度方向相反。這一簡化結果與運動形式無關。把剛體質心坐標公式對時間取二階導數得：

返回首頁16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics慣性力系的主矩與剛體的運動形式有關慣性力系的主矩過C作平動坐標系，將剛體運動分解為平動及轉動LC為剛體相對質心的動量矩

返回首頁16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics1.平移剛體平移時，慣性力系簡化為通過剛體質心的合力。其方向與平移加速度的方向相反，大小等于剛體質量與加速度的乘積。

剛體慣性力系的主矢與剛體運動形式無關慣性力系的主矩與剛體的運動形式有關以剛體質心為簡化中心

返回首頁16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics2.定軸轉動向轉軸上任一點O簡化主矢主矩：以簡化中心O為坐標原點。設剛體的角速度為，角加速度為，剛體內任一質點的質量為mi，到轉軸的垂直距離為ri，質點的坐標為xi、yi、zi。

質點的慣性力分解為切向慣性力

法向慣性力

返回首頁16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics慣性力系對x軸的矩慣性積慣性力系對于y軸的矩

返回首頁16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics慣性力系對z軸的矩轉動慣量

結論：當剛體繞定軸轉動時，慣性力系向轉軸上任一點簡化得一個力和一個力偶。這個力等于剛體的質量與質心加速度的乘積，方向與質心加速度方向相反；這個力偶的矩矢在直角坐標軸上的投影，分別等于慣性力系對于三個軸的矩。

返回首頁16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics如果剛體有對稱平面S，并且該平面與轉軸z垂直，則慣性力系簡化為在對稱面內的平面力系。2.定軸轉動向轉軸上點O簡化主矢：主矩：對稱平面的剛體繞垂直于該平面的軸轉動時，慣性力系簡化為在平面內的一個力和一個力偶。

返回首頁16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics3.平面運動以剛體質心為簡化中心主矢：主矩：MI=–IC

具有質量對稱平面的剛體作平面運動，并且運動平面與質量對稱平面互相平行。這種情形下，慣性力系向質心簡化的結果得到一個合力和一個合力偶，二者都位于質量對稱平面內。

返回首頁16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics合力偶的力偶矩即為慣性力系的主矩，其大小等于剛體對通過質心的轉動軸的轉動慣量與角加速度的乘積，方向與角加速度方向相反。合力的矢量即為慣性力系的主矢，其大小等于剛體質量與質心加速度大小的乘積，方向與質心加速度方向相反。MI=–IC

返回首頁16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics

剛體慣性力系的簡化結果

剛體慣性力系的主矢與剛體運動形式無關1.平行移動2.定軸轉動3.平面運動

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慣性力系的主矩

——慣性力系的主矩與剛體的運動形式有關。2.定軸轉動3.平面運動

剛體慣性力系的簡化結果

返回首頁16.2剛體慣性力系的簡化1.平行移動TheoreticalMechanics例題例長度為、質量為m的均質桿AB靜置于半徑為r的光滑圓槽內。當圓槽以勻加速度a在水平面上運動時，AB桿的平衡位置用角表示。如果要求AB桿在＝30時保持平衡，試求此時圓槽的加速度a應該多大？作用在AB桿上的約束力FAR、FBR分別是多少？不計摩擦。

解：這是剛體的平行移動問題，研究桿AB，畫受力圖，其中慣性力為

返回首頁16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics桿AB慣性力為由達朗貝爾原理∴FAR＝FBR

；解得：a＝2.625m/s2

；0.732mg

返回首頁例題16.2剛體慣性力系的簡化解法2:三力平衡匯交定理TheoreticalMechanics例圖示圓輪的質量m＝2kg，半徑r＝150mm，質心離幾何中心O的距離e＝50mm，輪對質心的回轉半徑＝75mm。當輪滾而不滑時，它的角速度是變化的。在圖示C、O位于同一高度之瞬時，＝12rad/s。求此時輪的角加速度。解：這是剛體的平面運動問題，研究圓輪。設角加速度和受力分析如圖所示，其中

返回首頁例題16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics由達朗貝爾原理由運動學關系

返回首頁例題16.2剛體慣性力系的簡化直接對接觸點取矩更簡單！TheoreticalMechanics得負號表示方向與圖示方向相反。

返回首頁例題16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics例圖中均質桿AB的長度為l，質量為m，可繞O軸在鉛直面內轉動，OA=，用細線靜止懸掛在圖示水平位置。若將細線突然剪斷，求AB桿運動到與水平線成角時轉軸O的約束力。

解：設AB桿轉至角位置時，角速度、角加速度為、。質心C至轉軸O的距離OC=，因此質心的加速度、桿對轉軸的轉動慣量分別為

返回首頁例題16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics虛加于轉軸O處的慣性力主矢、主矩，大小為它們與重力mg，軸承約束力FOx、FOy在形式上組成一平衡力系。由達朗貝爾原理

返回首頁例題16.2剛體慣性力系的簡化注意取矩點的選取和投影軸方向的選取TheoreticalMechanics分離變量、積分，即

返回首頁例題16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics解得AB桿轉動至角位置時的軸承約束力

由此可以看出，運用達朗貝爾原理，可用平衡方程的形式建立動力學方程式，為了求解角速度，仍需進行積分計算。也可先用動能定理解出，再用達朗貝爾原理解出FOx、FOy。這種做法具有一定的普遍意義(why)。

返回首頁例題16.2剛體慣性力系的簡化注意：能否選擇向質心簡化？是否便捷？TheoreticalMechanics

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第16章達朗貝爾原理16.3定軸轉動剛體的軸承動約束力TheoreticalMechanics16.3定軸轉動剛體的軸承動約束力在工程實際中，通常將轉動機械的轉動部件稱為轉子。如果忽略其本身的變形，轉子是定軸轉動的剛體。轉子運轉時，由于偏心和偏角誤差將產生慣性力。動壓力：轉子處于運行狀態作用于軸承上的力；靜壓力：轉子處于靜止狀態作用于軸承上的力；附加動壓力：動壓力與靜壓力之差。如果考慮軸承對轉子的作用，則分別稱為靜約束力、動約束力和附加動約束力。

返回首頁TheoreticalMechanics附加動約束力的計算方法

在一般情況下，剛體在主動力F1，F2，…，Fn作用下繞定軸AB轉動。質心、轉動慣量、慣性積分別為C(xC、yC、zC)、Iz、Ixz、Iyz。軸承動約束力分別為FAx、FAy、FAz、FBx、FBy。在圖示瞬時，設動坐標系的角位移、角速度、角加速度分別為

=

k，=

k，=

k。

A

返回首頁16.3定軸轉動剛體的軸承動約束力ATheoreticalMechanics剛體上的慣性力系向A點簡化的主矢和主矩為根據達朗貝爾原理，它們與主動力F1，F2，…，Fn，約束力FAx、FAy、FAz、FBx、Fby在形式上組成一空間的平衡力系，平衡方程為：

返回首頁16.3定軸轉動剛體的軸承動約束力TheoreticalMechanics平衡方程：A此方程組的最后一個方程式不包含軸承約束力，這表明慣性力主矩只作用在促使該剛體加速（或減速）轉動的物體上。

返回首頁16.3定軸轉動剛體的軸承動約束力TheoreticalMechanics求出此瞬時軸承的動約束力：軸承動約束力由兩部分組成：一是由主動力引起的，與運動無關，為靜約束力；二是由慣性力主矢、主矩引起的，為附加動約束力。

返回首頁16.3定軸轉動剛體的軸承動約束力TheoreticalMechanics消除附加動約束力，有效地控制：滿足以下條件時，才能消除附加動約束力

xC＝yC＝0Ixz＝Iyz＝0 即：為了消除軸承的附加動約束力，剛體繞定軸轉動時，剛體的轉軸必須是中心慣性主軸。

返回首頁16.3定軸轉動剛體的軸承動約束力TheoreticalMechanics例題例一電機水平放置，轉子質量m＝300kg，對其轉軸z的回轉半徑＝0.2m。質心偏離轉軸e＝2mm。已知該電機在起動過程中的起動力矩M＝150kN·m，當轉子轉至圖示的瞬時位置，轉速n＝2400r/min。試求此瞬時轉子的角加速度和軸承的動約束力。不計軸承的摩擦。解：首先，運用方程組中的最后一個方程式，計算圖示瞬時的角加速度，即

返回首頁16.3定軸轉動剛體的軸承動約束力TheoreticalMechanics而此瞬時的角速度為由此可得質心C的加速度：慣性力系向O點簡化的主矢、主矩為方向如圖

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根據空間力系的平衡條件，列平衡方程并計算軸承約束力為

返回首頁例題16.3定軸轉動剛體的軸承動約束力TheoreticalMechanics在y向的靜約束力和附加動約束力分別為

返回首頁例題16.3定軸轉動剛體的軸承動約束力TheoreticalMechanics附加動約束力與靜約束力之比為

由此可見，僅僅由于質心偏離轉軸2mm，軸承的附加動約束力竟高達靜約束力的12.89倍。這說明，在制造安裝轉速比較高的轉子時，必須盡量減小質心偏離轉軸的距離e。

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第16章達朗貝爾原理16.4靜平衡和動平衡簡介TheoreticalMechanics16.4靜平衡和動平衡簡介16.4.1轉子質量均衡的調試為了消除繞定軸轉動剛體的軸承附加動約束力，剛體的轉軸必須是中心慣性主軸。為此，需要對轉子部件進行質量均衡調試工作。通過調試，改變轉子的質量分布狀況，使其轉軸成為中心慣性主軸，或者接近于中心慣性主軸。轉子的質量均衡調試工作分兩大類：一是在非運轉條件下調試轉子，稱為靜平衡，它只能將轉子的質心足夠精確地調至轉軸上；二是在運轉條件下調試轉子，稱為動平衡，它能將轉子的轉軸足夠精確地調試成為中心慣性主軸。

返回首頁TheoreticalMechanics16.4.2靜平衡靜平衡就是校正轉子質心的位置。校正轉子靜平衡的方法：將轉子放在靜平衡架的水平刀口上，使其自由滾動或住復擺動，當轉子停止轉動時，可把校正用的平衡重量附加在轉子的上（輕）邊；再讓其滾動或擺動，試驗校正反復多次，直至轉子能夠達到隨遇平衡時為止，然后按所加平衡重量的大小和位置，在適當位置焊上錫塊或鑲上鉛塊，也可以在轉子重的—邊用鉆孔的方法去掉相當的重量，使校正后的轉子不再偏心，即達到靜平衡。

返回首頁16.4靜平衡和動平衡簡介TheoreticalMechanics原理：設轉子重G，偏心距為e，平衡重量為P，距軸O的距離為l，當部件處于隨遇平衡時，有

平衡重量P與l的乘積Pl稱為重徑積，它表示轉動部件的不平衡程度。實際上，靜平衡校正的精度不可能很高，因此靜平衡方法僅適用于軸向尺寸不大、要求不高、轉速一般的轉子或為動平衡校正作初步平衡。

返回首頁16.4.2靜平衡16.4靜平衡和動平衡簡介TheoreticalMechanics16.4.3動平衡

若轉子的軸向尺寸較大，尤其是形狀不對稱的或轉速很高的轉子，雖然作了