2023/2/41第五章參數估計與假設檢驗2023/2/42學習目標掌握估計量的優良標準參數區間估計的思想與方法參數假設檢驗的臨界值法與P值法一定條件下，樣本容量確定的方法2023/2/43重點與難點參數區間估計的統計思想估計的可靠程度、平均誤差及極限誤差的關系臨界值檢驗法的統計思想P值的計算方法及其含義的理解參數抽樣檢驗中的兩類錯誤及其關系2023/2/44

第一節總體參數估計

一、點估計點估計的定義點估計量的優良標準二、區間估計區間估計的定義總體均值的區間估計三、樣本容量的確定2023/2/45一、點估計參數估計按是否考慮估計誤差的大小及發生的概率，估計方法分為點估計和區間估計兩大類。（一）點估計的定義2023/2/46點估計就是根據總體參數與樣本統計量之間的內在聯系，直接用作為總體相應參數的估計量，用樣本統計量的某個取值作為總體參數的估計值。點估計不考慮估計誤差的大小，故不需確定估計量的概率分布。點估計的主要作用是尋找參數的估計量。點估計有很多具體方法，其中矩估計法、最大似然估計法是最經典的方法。矩估計法是用樣本矩來估計總體矩的方法，如用樣本一階原點矩（樣本均值）估計總體一階原點矩（總體均值）。最大似然估計法是利用總體分布信息構造出似然函數，然后對似然函數求解，估計出總體參數的方法。2023/2/47（二）估計量的評價標準—無偏性

P(

)BA無偏有偏對于參數，若有估計量滿足：,則稱為的無偏估計量。2023/2/48

（二）估計量的評價標準—有效性若有，且，則

相對來說，是的有效估計量。

AB

的抽樣分布的抽樣分布P(

)2023/2/49

（二）估計量的評價標準—一致性當任意給定時，有即當時，依概率收斂于,則稱為的一致估計量，具有一致性。對經常使用的點估計量來說，可以證明，它們分別是總體的無偏、有效且滿足一致性要求的優良估計量。（一）區間估計的含義（二）總體均值的區間估計（三）總體成數的區間估計（四）總體方差的區間估計二、區間估計2023/2/411（一）區間估計的含義在概率意義下計算參數的變化范圍，即區間估計中的兩個基本要求:置信度：表明估計結果的可靠性，我們自然希望隨機區間包含被估參數的概率越大越好，即隨機區間的平均長度越長越好。精確度：表明估計結果的誤差大小。我們自然希望包含被估計參數的隨機區間的平均長度越短越好。（一）區間估計的含義2023/2/412Neyman原則即在保證置信度的前提下，盡可能提高估計的精確度。區間估計中的一些概念（對于）置信區間：置信限：顯著性水平：置信水平：區間估計時應考慮的一些具體問題,在對總體均值進行區間估計時，常常需要考慮總體是否為正態總體、總體方差是否已知、用于構造估計量的樣本是大樣本(n≥30)還是小樣本(n＜30)等幾種情況。正態總體、總體方差已知；或非正態總體、大樣本條件正態總體、總體方差未知、小樣本條件

(二)總體均值的區間估計2023/2/4141.正態總體、總體方差已知；或非正態總體、大樣本條件當總體服從正態分布時(已知)，來自該總體的所有容量為n的樣本的均值也服從正態分布，的數學期望為，方差為，即

使用正態分布統計量z標準化

2023/2/415總體均值

在置信水平下的置信區間為

總體標準差未知時，可用樣本標準差代替1.正態總體、總體方差已知；或非正態總體、大樣本條件抽樣平均誤差抽樣極限誤差2023/2/4160臨界值-z值a/2

a/2

統計量1-置信水平1.正態總體、總體方差已知；或非正態總體、大樣本條件置信區間圖解2023/2/41790%的樣本-1.65+1.6599%的樣本-2.58+2.58

95%的樣本-1.96x+1.96xx1.正態總體、總體方差已知；或非正態總體、大樣本條件樣本均值分布圖2023/2/418【例】某審計人員對一家貨運公司8042張收款賬單進行抽樣，從而估計這批賬單的平均賬面金額，該審計人員隨機抽取100份賬單，得樣本平均賬面金額為500元，方差為100，給定顯著性水平，檢驗這批賬單的賬面金額均值的置信區間。【解】已知，置信度，查標準正態分布表，得即有95%的把握認為區間（498.04，501.96）包含總體均值。1.正態總體、總體方差已知；或非正態總體、大樣本條件2.正態總體、總體方差未知、小樣本2023/2/419使用t分布統計量估計總體均值

總體均值在1-置信水平下的置信區間為重復抽樣

不重復抽樣2023/2/420【例】某時裝專賣店的管理人員想估計其顧客的平均年齡，隨機抽取了16位顧客進行調查，得到樣本均值歲，樣本標準差S=8歲。假定顧客的年齡近似服從正態分布，試求該店全部顧客平均年齡置信度為95%的置信區間。2.正態總體、總體方差未知、小樣本2023/2/421【解】因為總體X近似服從正態分布，未知且n=16，為小樣本，對進行區間估計須構造t統計量。根據，查t分布表得，故總體均值的95%的置信區間為：即有95%的把握估計顧客的平均年齡在（28，37）之中。2.正態總體、總體方差未知、小樣本2023/2/422(三)總體成數的區間估計在大樣本條件下（或大于等于5），有：

則可利用正態統計量估計總體成數的置信區間。版權所有BY統計學課程組（重復抽樣）（不重復抽樣）（重復抽樣）2023/2/423(三)總體成數的區間估計總體比例在1-置信水平下的置信區間為：重復抽樣時：不重復抽樣時：版權所有BY統計學課程組2023/2/424(三)總體成數的區間估計【例】一所大學的保健醫生想了解學生戴眼睛的成數，隨機抽選100名學生，調查發現其中31名戴眼睛，試求全校學生戴眼鏡成數的置信度為90%的置信區間。【解】已知，為大樣本，由中心極限定理知：(三)總體成數的區間估計2023/2/425總體成數未知，樣本方差P代替，根據，查標準正態概率分布表，得，則有即有90%的把握估計全校學生戴眼鏡的成數在（23.4%，38.6%）之間。2023/2/426(四)總體方差的區間估計估計一個總體的方差或標準差假設總體服從正態分布總體方差的點估計量為，且總體方差在1-置信水平下的置信區間為版權所有BY統計學課程組2023/2/427總體方差的區間估計(圖示)221-2總體方差1-的置信區間自由度為n-1的22023/2/428【例】假定A品牌25公斤袋裝大米的重量服從正態分布。現隨機抽取13袋大米，測得重量分別為24.0、24.2、24.4、24.6、24.7、24.8、25.0、25.1、25.1、25.2、25.3、25.4、25.6公斤，試以95%的置信度估計該品牌袋裝大米重量的標準差。版權所有BY統計學課程組總體方差的區間估計(例題)2023/2/429【解】由于n-1=12，查自由度為12的分布表得：則有：由原始數據可計算得到，代入上式便有：

即以95%的置信度估計該品牌袋裝大米重量的標準差在0.34-0.79公斤之間。或總體方差的區間估計(例題)2023/2/430（五）單側置信區間在某些實際問題中，人們可能僅僅關心參數的下限或上限，就提出了單側置信區間的問題。單側置信區間就均值而言，有兩種表示，即：；單側置信區間就成數而言，有兩種表示，即：；單側置信區間就方差而言，有兩種表示，即：；將雙側置信區間的上限與下限對應的分位值按或確定后，計算出下限或上限，即可獲得單側置信區間的估計。2023/2/431

（六）區間估計的基本步驟根據上述例子，區間估計的步驟可歸納為：依題意確定待估參數；依題設條件構造與待估參數相對應的估計量；確定估計量的抽樣分布；依估計量的抽樣分布，由給定的置信度計算待估參數置信區間的上、下限。2023/2/432三、樣本容量的確定（一）問題的提出（二）處理問題的原則（三）樣本容量確定的方法從推斷來看，要達到估計所要求的精確程度，自然要求樣本容量越大越好；從抽樣來看，增大樣本容量，勢必增加人力、物力，從而導致調查成本增大，這無疑是不經濟的做法。在抽樣推斷中，勢必要在統計推斷的精確度與調查成本這一對矛盾間進行權衡。（一）問題的提出2023/2/434（二）處理問題的原則從抽樣角度來看，處理推斷目標實現的精確度與調查成本間矛盾的原則是：在保證達到推斷目標的要求下，盡量使調查成本最低。從推斷角度來看，處理統計推斷精確度與調查成本間矛盾的原則是：在調查成本一定的情況下，盡量使推斷目標實現的效果好，即估計的精度更高。版權所有BY統計學課程組2023/2/435（三）樣本容量的確定（簡單隨機抽樣）在費用既定的條件下，從精度要求出發，考慮樣本容量的大小。總體要求是，抽樣極限誤差不能超過給定的允許誤差。樣本容量的確定，根據抽樣推斷的目的不同，有估計總體均值與估計總體成數時的不同的估計公式。2023/2/4361、估計總體均值時，樣本容量的確定抽樣極限誤差不能超過給定的允許誤差的要求，在置信水平的條件下，有：由于

或，將其代入上式有：（重復抽樣）（不重復抽樣）【例】一家塑料公司想估計其產品的平均抗拉強度，要求以95%的置信度使估計值在真值附近1公斤/平方厘米的范圍內。問該公司應抽多少個樣品？經驗表明，的估計值可取12.25。1、估計總體均值時，樣本容量的確定2023/2/437【解】已知根據估計式有：

則該公司至少應抽取48個樣品作試驗。2023/2/438版權所有BY統計學課程組2023/2/4382、估計總體成數時，樣本容量的確定抽樣極限誤差不能超過給定的允許誤差的要求，在置信水平的條件下，有：由于或，將其代入上式有：

(不重復抽樣)(重復抽樣)

2、估計總體成數時，樣本容量的確定【例】一家市場調查公司欲估計某地區有小汽車的家庭所占的比重。要求估計誤差不超過0.05，置信度取95%，問應抽取多大容量的樣本？公司調查人員認為實際的比重不可能大于20%。2023/2/439【解】由于，故有，即該市場調查公司應至少抽取246戶。2023/2/440

第二節總體參數檢驗一、假設檢驗的一般性問題二、幾種常用、具體的參數檢驗方法版權所有BY統計學課程組2023/2/441一、假設檢驗的一般性問題問題的提出解決問題的統計思想單、雙側檢驗問題統計結論的兩類錯誤如何確定原假設與備擇假設P值檢驗法統計檢驗的顯著性假設檢驗的步驟2023/2/442

1、問題的提出在許多情況下，總體的分布形式可能是已知的，總體參數卻是未知的，如果欲知道總體參數的取值狀態，可對其進行參數估計；如果欲知道總體參數是否大于或小于某個假定或給定的值，如食品中農藥殘留物是否超過標準等類似問題，可運用假設檢驗的方法進行推斷。實際上，假設檢驗是從另外一個角度對總體參數進行估計。2023/2/4432.假設的建立所謂假設，就是對總體參數的具體數值所作的陳述。假設檢驗就是運用樣本信息判斷假設是否成立的過程。假設檢驗中需要建立原假設和備擇假設。原假設通常是研究者想搜集證據予以反對的假設，也稱零假設，用表示。備擇假設通常是研究者想搜集證據予以支持的假設，也稱研究假設或替換假設、對立假設，用表示。2023/2/4442.假設的建立原假設與備擇假設是對立的。在假設的命題中，需要使用數學關系符號“＝，≠，≥，≤，＞，＜”。規定：＝，≥或≤用在原假設上；≠，＞或＜用在備擇假設上。示例：2023/2/4452.假設的建立【例】一種零件的生產標準是直徑應為10cm，為對生產過程進行控制，質量監測人員定期對一臺加工機床檢查，確定這臺機床生產的零件是否符合標準要求。如果零件的平均直徑大于或小于10cm，則表明生產過程不正常，必須進行調整。試陳述用來檢驗生產過程是否正常的原假設和被擇假設。【解】：研究者想收集證據予以證明的假設應該是“生產過程不正常”。建立的原假設和備擇假設為

H0：

10cmH1：

10cm2023/2/4462.假設的建立【例】某品牌洗滌劑在它的產品說明書中聲稱：平均凈含量不少于500克。從消費者的利益出發，有關研究人員要通過抽檢其中的一批產品來驗證該產品制造商的說明是否屬實。試陳述用于檢驗的原假設與備擇假設。【解】：研究者抽檢的意圖是傾向于證實這種洗滌劑的平均凈含量并不符合說明書中的陳述。建立的原假設和備擇假設為

H0：

500H1：

<5002.假設的建立【例】一家研究機構估計，某城市中家庭擁有汽車的比例超過30%。為驗證這一估計是否正確，該研究機構隨機抽取了一個樣本進行檢驗。試陳述用于檢驗的原假設與備擇假設。【解】研究者想收集證據予以支持的假設是“該城市中家庭擁有汽車的比例超過30%”。建立的原假設和備擇假設為:

2023/2/4483.假設檢驗的基本思想根據樣本信息對參數進行檢驗，采用的是一種判斷的方法。以正態總體的參數為例，若要判斷其是否等于某個給定的值，直觀的想法就是：首先依樣本構造出一個能反映總體參數的統計量。通過第四章有關內容的論述，我們知道，合適的統計量為樣本均值。由于我們對總體的情況并不了解，所以實際上可能是下列三種情況之一：顯然，在每一種情況下，樣本均值的分布都不同，現把的分布分別記為,如圖5.5所示：2023/2/449如此一來，對μ的檢驗問題就轉化為：要根據樣本信息來判斷樣本均值究竟來自圖5.5中的哪一個分布進而才能確定μ是多少。3.假設檢驗的基本思想圖5.5樣本均值分布示意圖3.假設檢驗的基本思想2023/2/450版權所有BY統計學課程組樣本均值為一隨機變量，取值于整個橫軸，故它來自圖5.5中任一分

布的可能性都是存在的。不難理解，可能性大小需用概率來描述，即要計算來自某分布的概率。

問題是：來自于哪一個分布的概率必須在確定的分布下才能計算。如

此，既然是問：是否等于某個給定值，那么，不妨就假設等于

該給定值，當這一假設成立時，用參數區間估計法，易計算出樣本均

值在一定概率下的可能范圍，即有2023/2/451版權所有BY統計學課程組從而：，如圖5.5中的區間如果樣本均值落在這個區間，則承認原來的假設是可以接受的，即等于給定值；反之，樣本均值落在區間之外，則否定這個假設，即認為大于或小于。此例中，我們之所以接受原假設，是因為樣本均值落在區間內的概率為（1-α），有充分地把握；如果樣本均值落在區間外，則拒絕原假設，這是因為樣本

均值落在區間外的概率α小，無充分的理由接受原假設。3.假設檢驗的基本思想2023/2/452我們將以很大的概率落在的區間稱為原假設

顯著性水平為的接受域；將以很小的概率落在的區間稱為原假設顯著性水平為的拒絕域；拒絕域與接受域之間臨界點根據估計量的分布特征、給定的顯著性水平、檢驗的類型查表獲得。通過比較檢驗統計量的值與原假設臨界值之間的大小，進而對原假設H0作決策的假設檢驗方法稱為臨界值檢驗法。3.假設檢驗的基本思想2023/2/4530臨界值臨界值a/2a/2樣本統計量拒絕H0拒絕H0置信水平3.假設檢驗的基本思想臨界值檢驗法示意圖(以雙側檢驗為例)2023/2/454上述的判斷實際上體現著反證法的思想。判斷的基礎是樣本信息，判斷的理論依據是小概率原理，即小概率事件在一次試驗（或抽樣）中幾乎不發生。直觀來想，在所做假設是正確的情況下，那么一次試驗（或抽樣）中人們期望的結果出現的概率應該較大。然而現在的事實卻不是這樣的，期望的結果出現的概率不僅不大，反而很小，即所謂的小概率事件居然發生了，這就很不正常了，意味著一次試驗（或抽樣）中出現了出人意料的結果，也意味著給了我們做出否定原假設的充分證據。可見假設檢驗的思想是從不利于原假設的角度來對原假設做決策的。3.假設檢驗的基本思想2023/2/455因此，當我們拒絕原假設時，并不意味著原假設一定是錯誤的，只是說概率意義下接受原假設的理由很不充分，而否定原假設的證據卻非常強。這與數學家“證明”某個結論的方式不同，而有點兒類似于法院里法官的判案方式。并且只要小概率α不等于零，對原假設做決策就可能錯判，存在做出錯誤選擇的風險。3.假設檢驗的基本思想2023/2/4564.單、雙側檢驗問題備擇假設沒有特定的方向性，并含有符號“”的假設檢驗，稱為雙側檢驗或雙尾檢驗(two-tailedtest)

備擇假設具有特定的方向性，并含有符號“>”或“<”的假設檢驗，稱為單側檢驗或單尾檢驗(one-tailedtest)備擇假設的方向為“<”，稱為左側檢驗

備擇假設的方向為“>”，稱為右側檢驗

2023/2/457雙側檢驗與單側檢驗的假設形式

假設雙側檢驗單側檢驗左側檢驗右側檢驗原假設H0:μ

=μ0H0:μ

μ0H0:μ

μ0備擇假設H1:μ

≠μ0H1:

μ<μ0H1:μ>μ0注：研究者感興趣的是備擇假設，單側假設的方向是按備擇假設的方向來說的。2023/2/4585.統計結論的兩類錯誤第Ⅰ類錯誤(棄真錯誤)原假設為真時拒絕原假設第Ⅰ類錯誤的概率記為，被稱為顯著性水平第Ⅱ類錯誤(納偽錯誤)原假設為假時未拒絕原假設第Ⅱ類錯誤的概率記為2023/2/459假設檢驗中的兩類錯誤的決策結果陪審團審判H0檢驗裁決實際情況決策實際情況無罪有罪H0為真H0為假無罪正確錯誤未拒絕H0正確決策第Ⅱ類錯誤(β

)有罪錯誤正確拒絕H0第Ⅰ類錯誤(α)正確決策2023/2/460

錯誤和錯誤的關系同時減少兩類錯誤惟一辦法增加樣本容量!和的關系就像翹翹板，小就大，大就小2023/2/461

5.統計結論的兩類錯誤

兩類錯誤的關系當其他條件不變時，α大則β小；反之，α小必導致β大。換句話說，在其他條件不變的情況下，要同時減小犯兩類錯誤的概率是不可能的。在規定的顯著性α下，單側檢驗犯第二類錯誤的可能性小于雙側檢驗。故統計檢驗中，凡能進行單側檢驗時就不做雙側檢驗，以便控制β。其他情況不變時，增加樣本容量n,β值將有效地的減小。其他情況不變，假設下的μ0與μ1之間的距離將直接影響β值。版權所有BY統計學課程組2023/2/462

5.統計結論的兩類錯誤兩類錯誤的控制原則通過以上分析，我們應該在合適的α及β的要求下進行統計檢驗。通常α值控制在1%-5%之間，β值多控制在10%-30%之間。統計學家Neyman和Pearson提出的原則是：版權所有BY統計學課程組2023/2/4635.統計結論的兩類錯誤在控制犯第一類錯誤的概率α的條件下，使犯第二類錯誤的概率β盡量減小，其含義是：原假設要受到維護，使它不至于輕易被否定（因為假設檢驗時從不利于原假設的角度來對原假設作決策的）；若檢驗結果否定了原假設，則說明否定的理由是充分的；同時，犯第一類錯誤的概率α受到控制，亦即作出否定判斷的可靠程度（1-α）得到了保證。版權所有BY統計學課程組2023/2/4645.統計結論的兩類錯誤版權所有BY統計學課程組本書中的假設檢驗問題只對犯第一類錯誤的概率α加以限制，而不考慮犯第二類錯誤的概率β，這種方式的假設檢驗又稱為顯著性檢驗，犯第一類錯誤的概率α稱為顯著性水平，其取值通常需考慮：對原假設的信心，以及對原假設作出決策后可能造成的損失，實際運用中，α通常取一些標準化的值，如：0.01、0.05、0.10等。2023/2/465

6.P值檢驗法（概率值檢驗法）在原假設為真的條件下，檢驗統計量的觀察值大于或等于其計算值的概率雙側檢驗為分布中兩側面積的總和反映實際觀測到的數據與原假設之間不一致的程度被稱為觀察到的(或實測的)顯著性水平決策規則：若p值<,拒絕版權所有BY統計學課程組6.P值檢驗法/

2/

2Z拒絕H0拒絕H00臨界值計算出的樣本統計量計算出的樣本統計量臨界值1/2P值1/2P值雙側檢驗的P值662023/2/42023/2/467

0臨界值a樣本統計量拒絕H0左側檢驗的P值置信水平計算出的樣本統計量P值6.P值檢驗法2023/2/4680臨界值a拒絕H0右側檢驗的P值1-置信水平計算出的樣本統計量P值6.P值檢驗法2023/2/469

6.P值檢驗法P值拒絕H0的力度一般認為P值的大小與拒絕H0的力度有如下的關系：如果P值小于：（1）0.10，有微弱的證據表明H0是應拒絕的；（2）0.05，有顯著的證據表明H0是應拒絕的；（3）0.01，有很強的證據表明H0是應拒絕的；（4）0.001，有極強的證據表明H0是應拒絕的。當P值小于事先設定的顯著性水平α時，就會認為概率如此小的事件居然發生了，很可能是原假設有問題，就應該拒絕原假設；否則，就只能接受原假設。版權所有BY統計學課程組2023/2/470

6.P值檢驗法P值檢驗法的決策規則為：若P值≤α,則拒絕H0，接受H1；若P值>α,則接受H0，拒絕H1。

版權所有BY統計學課程組2023/2/471

7.統計檢驗的顯著性“顯著”一詞的一般意思不是“重要的”，而是“非偶然”；但在同級檢驗中，該詞的意思是“只靠抽樣的隨機性不容易出現這樣的結果”，其中的“不容易”用顯著性水平來具體描述，可見顯著性水平是用來評估檢驗結果的顯著性的，拒絕原假設，意指檢驗結果是顯著的；接受原假設，意指檢驗結果是不顯著的。版權所有BY統計學課程組2023/2/472顯著性水平和拒絕域(雙側檢驗)0臨界值臨界值a/2a/2

樣本統計量拒絕H0拒絕H01-置信水平H0:μ=μ0，H1:μ≠μ02023/2/473顯著性水平和拒絕域(左側檢驗)

0臨界值a樣本統計量拒絕H01-置信水平H0:m

≥

m0，H1:m

＜m02023/2/474顯著性水平和拒絕域(右側檢驗)

0臨界值a樣本統計量拒絕H01-置信水平H0:m

≤

m0，H1:m

＞m02023/2/475

8.假設檢驗的步驟根據實際情況，建立原假設H0和備擇假設H1；根據備擇假設H1的設定情況，確定檢驗時單側檢驗還是雙側檢驗；確定樣本量和顯著性水平的大小；選擇一個合適的統計量做檢驗量，要求有兩個：一是與原假設H0有關；二是能確定其抽樣分布；根據給定的顯著性水平α，在原假設H0成立時，通過查表得到H0的臨界值，給出H0的拒絕域；8.假設檢驗的步驟抽取樣本，收集數據，并依樣本觀察值計算檢驗量w的值（用w’表示）；根據w’計算原假設H0的P值；作出是否拒絕H0的決策。如果是用臨界值法進行檢驗，則不需要做第（7）步的工作，接受或拒絕原假設的規則是：若w’落入H0的拒絕域內，則拒絕H0。如果用P值法，則不需要做第（5）步的工作，接受或拒絕原假設的規則是：若P值小于認定的顯著性水平，則拒絕原假設。762023/2/42023/2/477

二、幾種常用的參數檢驗方法版權所有BY統計學課程組統計上假設檢驗的方法很多，若按檢驗量服從的分布來劃分，最基本的檢驗方法有四種，即Z檢驗（或U檢驗）、t檢驗法、檢驗法和F檢驗法。考慮到手工計算P值的麻煩，以及絕大部分統計軟件在輸出檢驗結果時都有P值，故這里主要介紹臨界值檢驗法。2023/2/478（一）Z檢驗法Z檢驗法是指以服從正態分布的統計量構造檢驗統計量的檢驗方法。主要應用場合：已知總體分布的方差時，對一個正態總體的均值或兩個正態總體均值的關系（均值之差）進行檢驗。大樣本下（n＞50)只有輕微偏斜的非正態總體均值和成數檢驗。大樣本下未知總體方差時的均值和成數檢驗。版權所有BY統計學課程組2023/2/479假設形式:所構造的檢驗量為：1．一個正態總體均值的檢驗應用條件：正態總體，方差已知；或大樣本下的非正態總體；或大樣本下方差未知的正態總體2023/2/480版權所有BY統計學課程組【例5.7】完成生產線上某件工作的平均時間不少于15.5分鐘，標準差為3分鐘。隨機抽選的9名職工講授一中心方法，訓練期結束后這9名職工完成此項工作的平均時間為13.5分鐘。這個結果是否說明用新方法所需時間比用老方法所需時間短？設α=0.05，并假定完成這項工作的時間服從正態分布。1．一個正態總體均值的檢驗1．一個正態總體均值的檢驗2023/2/481【解】根題意，要檢驗的假設為：H0:μ≥15.5，H1：μ<15.5由于總體服從正態分布且總體方差已知，所以選取檢驗統計量檢驗統計量的值為：

查表得Z0.05=1.65，由于Z<-Z0.05，所以拒絕原假設H0，說明用新方法所需時間明顯較短。2023/2/482假設形式:構造檢驗統計量2．兩個正態總體均值之差的檢驗應用條件：兩個正態總體，方差已知2023/2/483版權所有BY統計學課程組【例5.8】有兩種方法可用于制造某種產品。經驗表明，這兩種方法生產的產品的抗拉強度都近似服從正態分布。方法1和方法2給出的標準差分別為3公斤和4公斤。從方法1和方法2生產的產品分別隨機抽取10個和14個，所得樣本均值分別為20公斤和17公斤。試問，這種方法生產的產品的平均抗拉強度是否不同（α=0.05）？

2．兩個正態總體均值之差的檢驗2．兩個正態總體均值之差的檢驗2023/2/484【解】按題意，建立假設：H0:μ1=μ2,H1:μ1≠μ2由于兩個總體都近似服從正態分布，且總體方差已知，所以選取檢驗統計量：其觀測值為：查表得Z0.025=1.96,由于Z>Z0.025,所以拒絕原假設H0，即認為這兩種方法不能生產出抗拉強度相同的產品。2023/2/485假設形式構造的檢驗統計量：3．大樣本下總體成數的檢驗應用條件：總體服從二項分布，大樣本3．大樣本下總體成數的檢驗【例5.9】某公司負責人發現開出去的發票有大量筆誤，而且斷定這些發票中，錯誤的發票占20%以上。隨機抽取400張檢查，發現錯誤的發票有100張，即占25%，這是否可以證明負責人的判斷正確（α=0.05）？

3．大樣本下總體成數的檢驗2023/2/487【解】按題意建立假設：選取檢驗統計量為：其觀測值為：查表得Z0.05=1.65,由于Z>Z0.05，所以拒絕H0，也即認為這些數據可以證明負責人的判斷是正確的。2023/2/488（二）t檢驗法t檢驗法是在未知總體方差而且小樣本時，對一個正態總體的均值或兩個正態總體均值的關系（均值之差）進行檢驗的方法。2023/2/489假設形式:所構造的檢驗量1．一個正態總體均值的檢驗應用條件：正態總體，方差未知，小樣本2023/2/490【例5.10】某汽車輪胎廠聲稱，該廠一等品輪胎的平均壽命在一定的重量和正常行駛條件下，高于25000公里的國家標準。廠家對一個由15個輪胎組成的隨機樣本進行試驗，得到的平均值和標準差分別為27000公里和5000公里。假定輪胎壽命近似服從正態分布，試問可否相信產品質量同廠家所說的情況相符？（α=0.05）1．一個正態總體均值的檢驗1．一個正態總體均值的檢驗2023/2/491【解】依題意，建立假設H0:μ≤25000，H1:μ>25000由于總體近似服從正態分布，總體方差未知，且為小樣本；所以選取檢驗統計量：其觀測值為：查自由度為（n-1）=14的t分布表得t0.05(14)=1.7613，由于t<t0.05(14)，所以只能接受H0。2．兩個正態總體均值之差的檢驗應用條件：兩個總體均為正態總體，方差未知但相等，兩個小樣本2023/2/492假設形式

所構造的檢驗量2．兩個正態總體均值之差的檢驗2023/2/493【例5.11】有甲、乙兩臺機床加工同樣的產品。從它們所生產的產品中分別抽取8件和6件。，假定兩個總體都服從正態分布，且方差相等，試問甲、乙兩臺機床加工的產品平均直徑有無顯著差異？（α=0.05）2．兩個正態總體均值之差的檢驗2023/2/494【解】按題意建立假設：H0:μ1=μ2,H1:μ1≠μ2根據題意，選取檢驗統計量其觀測值為：查t分布表得t0.025(12)=2.1788。由于t<t0.025(12),所以接受H0，即甲、乙兩臺機床加工的產品平均直徑無顯著差異。2023/2/495

Z檢驗法與t檢驗法的總結綜上所述：Z檢驗法與t檢驗法都針對均值進行檢驗。正態分布總體下，已知總體方差時用Z檢驗法；未知總體方差且小樣本時用t檢驗法；非正態分布總體但大樣本下的均值或成數檢驗用Z檢