第七章系統函數連續系統離散系統§7.1系統函數與系統特性連續系統零點極點一、H(s)的零、極點與時域響應sjw0ε(t)e-t

ε(t)et

ε(t)1-1111sjw0-11sin(t)e-tε(t)sin(t)etε(t)sin(t)ε(t)1-1H(s)的極點分布與時域函數的對應關系LTI連續系統的沖激響應的函數形式由H(s)的極點確定。(1)若H(s)的極點位于s左半平面,則沖激響應的模式為衰減指數或衰減振蕩,當t→∞時,它們趨于零,系統屬于穩定系統。(2)若H(s)的極點位于s右半平面,則沖激響應的模式為增長指數或增長振蕩,當t→∞時,它們趨于無限大,系統屬于不穩定系統。(3)若H(s)的單極點位于虛軸（包括原點）,則沖激響應的模式為等幅振蕩或階躍函數,系統屬于臨界穩定系統。(4)若位于虛軸（包括原點）的極點為n重極點(n≥2),則沖激響應的模式呈增長形式,系統也屬于不穩定系統。二、

H(s)與系統的頻率特性若系統的系統函數H(s)的極點全部在左半平面，即H(s)的收斂域包含jω軸，則令則式又可以表示為幅頻響應相頻響應例：已知二階線性連續系統的系統函數為式中，α＞0,ω0＞0,ω0＞α

。粗略畫出系統的幅頻和相頻特性曲線。

解

H(s)有一個零點s1=α;有兩個極點，分別為式中，。于是H(s)又可表示為由于H(s)的極點p1和p2都在左半平面，因此，系統的頻率特性為令則H(jω)又可表示為幅頻特性和相頻特性分別為(a)H(s)零、極點的矢量和差矢量表示；(b)系統的幅頻特性和相頻特性一般情況下,可以認為,若系統函數有一對非常靠近虛軸的共軛極點p1,2=-α±jβ

，則在ω=β附近處,幅頻特性出現峰值,相頻特性迅速減小。類似地，若系統函數有一對非常靠近虛軸的共軛零點s1,2=-a±jb，則在ω=b附近處,幅頻特性出現谷值,相頻特性迅速上升。全通函數系統位于極點左半平面，零點位于右半平面，且零點極點對于jω軸互為鏡象對稱則，這種系統函數成為全通函數，此系統成為全通系統，或全通網絡。全通，即幅頻特性為常數，對所有頻率的信號都一律平等的傳輸。從對稱零點極點之和為180度逐漸減少最后為-360度最小相移函數非最小相移網絡可以看成最小相移網絡和全通網絡的極聯零點位于右半平面，矢量夾角的絕對值較大零點為于左半平面，矢量夾角的絕對值較小定義：零點僅位于左半平面或虛軸上的系統函數稱為最小相移函數，相應的網絡稱為“最小相移網絡”相互抵消乘§7.2系統的因果性與穩定性一、系統的因果性因果系統是指響應不出現于激勵之前的系統。即：對于系統：若t<t0或k<k0時，f(?)=0則t<t0或k<k0時，yf(?)=0連續因果系統的充要條件為：沖激響應：h(t)=0，t<0

或系統函數H(s)的收斂域為：Re[s]>σ0離散因果系統的充要條件為：單位樣值響應：h(k)=0，k<0

或系統函數H(z)的收斂域為：|z|>R0二、系統的穩定性一個系統，若對有界的激勵f(?)所產生的零狀態響應yf(?)也是有界時，則稱該系統為有界輸入有界輸出穩定，簡稱穩定。即，則稱系統是穩定的。LTI連續系統是穩定系統的充要條件是：M為有限正實數系統的沖激響應h(t)絕對可積。即充分性：設線性連續系統的輸入f(t)有界，即|f(t)|≤Mf。系統的零狀態響應yf(t)為證明：若h(t)絕對可積，由于因此必要性：所謂式對系統穩定是必要的，是當h(t)不滿足絕對可積條件時，則至少有某個有界輸入f(t)產生無界輸出yf(t)。為此，設f(t)有界，則f(-t)也有界，并且表示為h(t)＞0h(t)=0h(t)＜0于是有因為若h(t)不絕對可積，即令t=0,根據則有則yf(0)=∞所以，h(t)絕對可積是必要的。如果系統是因果系統，則穩定性的充要條件為：s域的穩定條件：特別指出：在jω軸上的一階極點也會使得系統不穩定。這類系統成為邊界（臨界）穩定系統。系統函數H(s)的全部極點位于的左半s平面。例：判斷下述因果系統是否穩定（1）極點為s=-1和s=-2，都在s左半平面。 解:顯然輸出也有界，所以系統穩定。若激勵為有界輸入ε(t)，則其輸出為（2）極點為±j0，是虛軸上的一對共軛極點。顯然，輸出不是有界信號，所以系統不穩定。若激勵為有界輸入sin(0t)ε(t)，則其輸出為穩定系統的系統函數H(s)的特點對于穩定系統，H(s)的極點位于左半s平面，即A(s)的根的實部應為負數若有實根，A(s)中分解因子為(s+α),其中α>0若有共軛復根，A(s)中分解因子為(s+α＋jβ)(s+α－jβ),其中α>0對于穩定系統，多項式A(s)的系數ai都是正實數，且無缺項。是必要條件，但不是充分條件如羅斯-霍爾維茲準則H(s)的分母多項式為H(s)的極點就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，則A(s)稱為霍爾維茲多項式。判斷多項式為霍爾維茲多項式的準則，稱為羅斯-霍爾維茲準則。羅斯-霍爾維茲準則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(羅斯準則)羅斯陣列羅斯判據(羅斯準則)指出：多項式A(s)是霍爾維茲多項式的充分和必要條件是羅斯陣列中第一列元素全為正值。若第一列元素的值不是全為正值，則表明A(s)=0在右半平面有根，元素值的符號改變的次數(從正值到負值或從負值到正值的次數)等于A(s)=0在右半平面根的數目。根據羅斯準則和霍爾維茲多項式的定義，若羅斯陣列第一列元素值的符號相同(全為正值)，則H(s)的極點全部在左半平面，因而系統是穩定系統。若羅斯陣列第一列元素值的符號不完全相同，則系統是不穩定系統。若A(s)的系數ai無缺項并且符號相同，則A(s)滿足霍爾維茲多項式的必要條件，然后進一步再利用羅斯-霍爾維茲準則判斷系統是否穩定。判斷線性連續系統穩定的方法：根據霍爾維茲多項式的必要條件檢查A(s)的系數ai(i=0,1,2,…,n)。若ai中有缺項(至少一項為零)，或者ai的符號不完全相同，則A(s)不是霍爾維茲多項式，故系統不是穩定系統。例已知三個線性連續系統的系統函數分別為判斷三個系統是否為穩定系統。不穩定不穩定H3(s)的分母為A3(s)的系數組成的羅斯陣列為因為A3(s)系數的羅斯陣列第一列元素全大于零，所以根據R-H準則，H3(s)對應的系統為穩定系統。例圖所示為線性連續系統的S域方框圖表示。圖中，H1(s)為K取何值時系統為穩定系統。解:

令加法器的輸出為X(s)，則有由上式得根據H(s)的分母構成羅斯陣列，得根據R-H準則，若