第四章不定積分

§4-1不定積分的概念與性質一、原函數和不定積分的概念(一)原函數1、定義1：如果在區間上,可導函數的導函數為,即對任一都有那么函數就稱為在區間上的原函數。2、原函數存在定理

如果函數連續，那么在區間上存在可導函數,使對任一都有

簡單地說就是:連續函數一定有原函數.3、原函數的特點（1）如果有一個原函數，那么就有無限多個原函數（2）的任意兩個原函數只相差一個常數。（二）不定積分1、定義2：在區間上，函數的帶有任意常數項的原函數稱為上的不定積分，

記作其中記號，稱為被積函數，稱為被積表達式，稱為積分變量。2、不定積分的求法如果是在區間上的一個原函數，那么就是的不定積分，則例1．例2．3、不定積分和原函數的區別

不定積分和原函數是兩個不同的概念，前者是一個集合，表示一族函數，后者是集合中的一個元素。例3．設曲線通過點，且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線的方程。4、積分曲線：

函數的原函數的圖形稱為積分曲線。例4．質點在距地平面高度為處，以初速鉛直上拋，不計阻力，求它的運動規律。二、基本積分表例5．三、不定積分的性質例6．設例7．下列等式中正確的是（）例8．，則下列結論錯誤的是（）

3、設函數及的原函數存在則

4、設函數的原函數存在，為非零常數，則例9．例10．例11．例12．例13．例14．若函數的導函數是則的一個原函數為（）

四、不定積分的求法

向基本積分公式靠近(一)代數恒等變形:加一點兒、減一點、乘一點兒、除一點兒,分子分母有理化，提出公因式。例15．例16．(二)三角恒等變形：半角公式、倍角公式、平方和關系、積化和差、和差化積、和角公式等。例17．例18．例19．例20．

問有什么關系？§4-2換元積分法一、換元法：利用中間變量的代換,來求復合函數積分的方法稱為換元積分法。換元積分法包括兩大類,即第一類換元積分法和第二類換元積分法。二、第一類換元積分法(一)定理1：設具有原函數可導，則有換元公式（二）掌握定理注意的問題1、被積表達式中的是的微分，它可以和被積函數的某一部分湊成微分的形式。2、積分基本公式中的換成一個可導函數時，公式仍然成立。例1．

例2．例3．例4．例5．（三）常見的湊微分形式第一類換元積分法要把湊成微分的形式,因此第一類換元積分法也叫湊微分法，常見的湊微分形式有例6．例7．例8．例9．例10．例11．例12．例13．例14．例15．例16．例17．例18．例20．例21．例22．例23．例24．三、第二類換元積分法(一)定理2：設是單調的、可導的函數,并且,又設具有原函數，則有換元公式

其中的反函數。（二）代換方法1、三角代換（1）若被積函數含有則一般令例25．（2）若被積函數含有則一般令例26．（3）若被積函數含有則一般令例27．2、雙曲代換（1）若被積式含有（2）若被積式含有例28．3、倒代換例29．四、積分基本公式例30．

例31．例32．例33．五、兩類換元法的區別1、第二類換元法的代換,必須是單調可導的,且,從而其反函數及導數存在,而第一類換元法只要可導即可。2、在第一類換元法的代換中處于自變量的位置，而在第二類換元積分法的代換中處于因變量的位置。§4-3分部積分法一、分部積分法：利用兩個函數乘積的求導法則，推得的求積分的方法。二、分部積分公式設函數具有連續導數，則

即例1．三、（1）要容易求得。（2）容易積出。四、可用分部積分法求積分的常見類型及的選取。(一)其中為常數，選取例2．例3．(二)選取

例4．例5．例6．(三)其中均為常數，此時的選取可隨意(利用分部積分公式,進行恒等變形求不定積分)例7．例8．例9．例11．已知的一個原函數為，求例12．例13．

，例14．例15．，求的一個原函數。§4-4有理函數的積分一、有理函數的積分(一)相關定義1、有理函數：形如

這樣的函數稱為有理函數,又稱為有理分式。其中都是非負整數，都是實數且.2、真分式，假分式在（1）式中，

當時，稱這個有理函數是真分式。

當時，稱這個有理函數是假分式。（二）代數學的基本定理1、任意一個多項式在實數范圍內能分解為一個常數與一次因式和二次質因式乘積的形式，即2、有理真分式可以分解成如下部分之和

其中都是常數。三、三種類型函數的不定積分例1．例2．例4．例5．二、可化為有理函數的積分舉例（一）三角函數有理式的積分1、定義：由三角函數和常數經過有限次四則運算所構成的函數。2、積分的求法（1）令利用萬能置換公式將三角函數有理式的積分化為有理函數的積分。例7．(2)利用其它換元式(湊微分法)例8．例8．（二）簡單無理函數的積分1、型，令，其中的最小公倍數，則可把無理函數的積分化成有理函數的積分。例9．例10．例11．令，其中的最小公倍數。例12．附加題例13．設則例14．求例15．例16．例17．例18．例19．例20．例21．，例22．例23．已知函數上有