思想02運用數形結合的思想方法解題【命題規律】高考命題中，以知識為載體，以能力立意、思想方法為靈魂，以核心素養為統領，兼顧試題的基礎性、綜合性、應用性和創新性，展現數學的科學價值和人文價值．高考試題一是著眼于知識點新穎巧妙的組合，二是著眼于對數學思想方法、數學能力的考查．如果說數學知識是數學的內容，可用文字和符號來記錄和描述，那么數學思想方法則是數學的意識，重在領會、運用，屬于思維的范疇，用于對數學問題的認識、處理和解決．高考中常用到的數學思想主要有分類討論思想、數形結合思想、函數與方程思想、轉化與化歸思想等．【核心考點目錄】核心考點一：研究函數的零點、方程的根、圖象的交點核心考點二：解不等式、求參數范圍、最值問題核心考點三：解決以幾何圖形為背景的代數問題核心考點四：解決數學文化、情境問題【真題回歸】1．（2022·北京·統考高考真題）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．P為SKIPIF1<0所在平面內的動點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·天津·統考高考真題）設SKIPIF1<0，對任意實數x，記SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0至少有3個零點，則實數SKIPIF1<0的取值范圍為______．3．（2022·全國·統考高考真題）已知橢圓SKIPIF1<0，C的上頂點為A，兩個焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0．過SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0的直線與C交于D，E兩點，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的周長是________________．4．（2022·浙江·統考高考真題）設點P在單位圓的內接正八邊形SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的取值范圍是_______．5．（2022·天津·統考高考真題）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D是AC中點，SKIPIF1<0，試用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0為___________，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為____________【方法技巧與總結】1、以形助數（數題形解）：借助形的生動性和直觀性來闡述數與形之間的關系，把抽象問題具體化，把數轉化為形，即以形作為手段，數作為目的解決數學問題的數學思想．2、以數輔形（形題數解）：借助于數的精確性、規范性、嚴密性來闡明形的某些屬性，把直觀圖形數量化，即以數作為手段，形作為目的解決問題的數學思想．【核心考點】核心考點一：研究函數的零點、方程的根、圖象的交點【典型例題】例1．（2023·河北衡水·高三周測）設SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的偶函數，對任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則在區間SKIPIF1<0內關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的根的個數為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數SKIPIF1<0的圖象上有且僅有四個不同的點關于直線SKIPIF1<0的對稱點在SKIPIF1<0的圖象上，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例3．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知函數f（x）＝x2＋ex－SKIPIF1<0（x<0）與g（x）＝x2＋ln（x＋a）的圖象上存在關于y軸對稱的點，則實數a的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<0例4．（2023·全國·高三專題練習）設SKIPIF1<0是定義在R上的偶函數，對任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，若在區間SKIPIF1<0內關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0恰有三個不同的實數根，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考點二：解不等式、求參數范圍、最值問題【典型例題】例5．（2023春·山東棗莊·高三棗莊市第三中學?？茧A段練習）設函數SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，則實數SKIPIF1<0的值是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例6．（2023·全國·高三專題練習）若不等式SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，則實數m的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例7．（2023春·黑龍江黑河·高三嫩江市高級中學校考期中）設函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若存在唯一的整數SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0核心考點三：解決以幾何圖形為背景的代數問題【典型例題】例8．（2023·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0，若點P是SKIPIF1<0所在平面內的一點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值等于（

）A．8 B．10 C．12 D．13例9．（2023春·浙江杭州·高二學軍中學階段練習）設不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（

）A．5 B．SKIPIF1<0 C．6 D．7例10．（2023春·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習）若不等式SKIPIF1<0的解集為區間SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2核心考點四：解決數學文化、情境問題【典型例題】例11．（2023·全國·高三專題練習）幾何學史上有一個著名的米勒問題：“設點M，N是銳角SKIPIF1<0的一邊QA上的兩點，試在QB邊上找一點P，使得SKIPIF1<0最大．”如圖，其結論是：點P為過M，N兩點且和射線QB相切的圓與射線QB的切點．根據以上結論解決以下問題：在平面直角坐標系xOy中，給定兩點M（-1，2），N（1，4），點P在x軸上移動，當SKIPIF1<0取最大值時，點P的橫坐標是（

）A．1 B．-7 C．1或-1 D．2或-7例12．（2023春·北京大興·高三?？茧A段練習）數學美的表現形式不同于自然美或藝術美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念，公式符號，推理論證，思維方法等之中，揭示了規律性，是一種科學的真實美．平面直角坐標系中，曲線SKIPIF1<0就是一條形狀優美的曲線，對于此曲線，給出如下結論：①曲線SKIPIF1<0圍成的圖形的面積是SKIPIF1<0；②曲線SKIPIF1<0上的任意兩點間的距離不超過2；③若SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0上任意一點，則SKIPIF1<0的最小值是1．其中正確結論的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3例13．（2023·青海海東·統考一模）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的前紙，它是中國古老的傳統民間藝術之一．在2022年虎年新春來臨之際，人們設計了一種由外圍四個大小相等的半圓和中間正方形所構成的剪紙窗花（如圖1）．已知正方形SKIPIF1<0的邊長為2，中心為SKIPIF1<0，四個半圓的圓心均為正方形SKIPIF1<0各邊的中點（如圖2），若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0___________．【新題速遞】一、單選題1．（2023春·江蘇鹽城·高三鹽城中學?？迹┤糁本€SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0有兩個交點，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023春·湖北隨州·高三隨州市曾都區第一中學校考階段練習）已知x，y是實數，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023春·陜西渭南·高一統考）已知函數SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的偶函數，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.若函數SKIPIF1<0，則函數SKIPIF1<0的零點個數不可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023春·陜西西安·高三統考期末）已知函數SKIPIF1<0，若函數SKIPIF1<0，則函數SKIPIF1<0的零點個數為（

）A．1 B．3 C．4 D．55．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考階段練習）若函數SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0為偶函數，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則函數SKIPIF1<0的零點個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．46．（2023·山東濰坊·統考模擬預測）已知函數SKIPIF1<0是定義域為SKIPIF1<0的偶函數，且SKIPIF1<0是奇函數，當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，若函數SKIPIF1<0的零點個數為5，則實數SKIPIF1<0取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<07．（2023·全國·高三專題練習）已知函數SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題8．（2023·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點，過SKIPIF1<0作傾斜角為SKIPIF1<0的直線分別交SKIPIF1<0軸與雙曲線右支于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列判斷正確的是（

）A．SKIPIF1<0， B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的離心率等于SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<09．（2023·全國·高三專題練習）已知直線SKIPIF1<0過拋物線SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0，且斜率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與拋物線交于SKIPIF1<0兩點（SKIPIF1<0在第一象限），以SKIPIF1<0為直徑的圓分別與SKIPIF1<0軸相切于SKIPIF1<0兩點，則下列結論正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上的動點，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上的點，則SKIPIF1<010．（2023春·河南·高三校聯考）在三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面BCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等邊三角形，E是棱AC的中點，F是棱AD上一點，若異面直線DE與BF所成角的余弦值為SKIPIF1<0，則AF的值可能為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．（2023秋·福建三明·高一福建省寧化第一中學?？茧A段練習）已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的可能取值為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．（2023春·湖北黃岡·高三?？奸_學考試）已知SKIPIF1<0的重心為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0點的直線與邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的交點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積之比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的可能取值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．313．（2023春·湖南長沙·高三長沙一中校聯考）在三維空間中，定義向量的外積：SKIPIF1<0叫做向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的外積，它是一個向量，滿足下列兩個條件：①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0構成右手系（即三個向量的方向依次與右手的拇指、食指、中指的指向一致，如圖所示）；②SKIPIF1<0的模SKIPIF1<0，(SKIPIF1<0