1函數單調性的判別法函數單調區間的求法小結思考題作業6.4函數的單調性與

曲線的凹凸性曲線凹凸性的判別法曲線的拐點及其求法第6章微分中值定理與導數的應用2定理6.8單調增加;單調減少.一、函數單調性的判別法設函數y=f(x)在[a,b]上連續,在(a,b)內可導.那末函數y=f(x)在[a,b]上那末函數y=f(x)在[a,b]上3證

拉氏定理(1)(2)

此定理不論對于開、閉、有限或無窮區間都正確.注若在(a,b)內,若在(a,b)內,因為所以y=f(x)在[a,b]上單調增加;因為所以y=f(x)在[a,b]上單調減少.4例解定義域為因為所以所以5方法問題如上例,函數在定義區間上不是單調的,若函數在其定義域的某個區間內是單調的,然后判定區間內導數的符號.的分界點．二、函數單調區間的求法但在各個部分區間上單調.則該區間稱為函數的單調區間.導數等于零的點和不可導點,可能是單調區間的點劃分函數f(x)的定義區間,6例解定義域單調區間為單調區間.7例解單調減少區間為定義域單調增加區間為導數不存在.(1)駐點和導數不存在的點不一定是單調區間的分界點。如,注單調增加.(2):區間內有限個點（或無窮多個離散點）導數為零,不影響區間的單調性.如,內可導,且等號只在(無窮多個離散點)處成立,故內單調增加.9例單調性的應用:(1)證明不等式.證10例證

定不出符號11即(a)

方程根的存在性：零點定理(b)

方程根的唯一性：Rolle定理或單調性(c)

方程根的個數：須確定單調區間，由區間端點的單側極限，結合零點定理確定根的個數以及根所在的區間。(2)確定某些方程實根的個數單調性的應用:解由零點定理，所以，因此，f(x)的圖形與x軸至多有一個交點，所以，即原方程有且僅有一個根。例判斷方程有幾個實根,并指出各個根所在的區間.

方法：須確定單調區間、區間端點值（或單側極限），從而判定根的個數以及根所在的區間。解列表不存在有一根有一根有一根16?(concaveandconvex)三、曲線凹凸性的判別法1.定義如何研究曲線的彎曲方向17定義6.1恒有凹(凸)圖形上任意弧段位于所張弦的下方圖形上任意弧段位于所張弦的上方如果對(a,b)內任意兩點x1,x2,那么稱f(x)在(a,b)內的圖形是的.18曲線弧上每一點的切線都在曲線的下或定義

(上)方,稱為凹

弧.(凸)凹弧的曲線段f(x)的切線斜率是單增的,是單增的,弧的切線斜率是單減的,是單減的.而凸利用二階導數判斷曲線的凹凸性從幾何直觀上,隨著x的增大,19定理6.9具有二階導數,凹(凸)2.凹凸性的判別法如果

f(x)在[a,b]上連續,在(a,b)內在(a,b)內,在[a,b]上的圖形是的.則

f(x)20證即這說明切線位于曲線的下方,

泰勒公式即f(x)是凹的.例解注凸變凹的分界點.例利用函數圖形的凹凸性證明不等式:凹凸性的應用：證明不等式22即證設圖形是凹的.證法一用單調性證.法二用凹凸性證.例設則即1.定義連續曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點.幾何上二、曲線的拐點及其求法25拐點的充分條件2.拐點的求法

拐點也可能出現在二階導數不存在的點處.拐點的必要條件若f(x)具有二階導數,則點(1)(2)(x0,f(x0))是拐點的必要條件為(或x0為二階導數不存在的點)設函數f(x)在點x0鄰域內二階可導,點(x0,f(x0))即為拐點;點(x0,f(x0))不是拐點.一般求拐點的步驟求二階導數;

求二階導數的零點與二階不可導點;求相應區間的二階導數符號,判別凹凸性;求拐點.(1)(2)(3)(4)27例解不存在定義域為(1)(2)(3)列表拐點拐點28例解拐點的第二充分條件設函數f(x)在x0的鄰域內是曲線y=f(x)的拐點.三階可導,那末(x0,f(x0))29例解30例的單調區間、凹凸區間和拐點.解不存在,不存在拐點單調增加區間單調減少區間凸區間凹區間不存在31練習考研數學(三,四)10分設函數y=y(x)由方程確定,試判斷曲線y=y(x)在點(1,1)附近的凹凸性.解兩邊對x求導得解得兩邊對x再求導得32練習考研數學(三,四)10分設函數y=y(x)由方程確定,試判斷曲線y=y(x)在點(1,1)附近的凹凸性.由于二階導函數的附近是連續函數,所以由的附近故曲線y=y(x)在點(1,1)附近是凸.33五、小結單調性的判別單調性的應用:改變彎曲方向的點:凹凸性;拐點;利用函數的單調性可以確定某些方程實根的個數和證明不等式.研究曲線的彎曲方向:凹凸性的應用:利用凹凸性證明不等式.34證只要證令所以即有得思考題1也即35作業習題6.4(219頁)1.5.奇數題6.(1)(3)(9)(12)7.9.(2)(4)10.(2)(3)12.36思考題2考研數學二,8分證明不等式證先證右邊不等式.設單調減少,故有即37思考題2考研數學二,8分證明不等式再證左邊不等式.方法一設函數由拉氏定理知,至少存在一點使由于從而38思考題2考研數學二,8分證明不等式再證左邊不等式.方法二設因為單調增加,故有即從而即39考研數學(一,二)12分練習證法一則所以單調減少,從而單調增加.因此即故40練習證法二對函數所以單調減少,從而在[a,b]上應用拉氏定理,得設則即即考研數學(一,二)12分41證練習若令則只須證明g(x)單調增加.而

拉氏定理

g(