2023/2/51第六章線性方程組的解法計算方法

6.1Gauss消去法第六章線性方程組的解法6.3對稱矩陣直接三角分解法

6.2直接三角分解法

6.5誤差分析

6.4追趕法(Thomas法)

6.6迭代法2

本章要點線性方程組的解法:直接解法和迭代法主要歸結為三角形方程組的求解包括一般線性方程組的Gauss消去法、Gauss列主元法、對稱正定方程組的平方根法、三對角方程組的追趕法等及雅可比迭代和塞德爾迭代法2023/2/53實際問題中的線性方程組分類：按系數矩陣中零元素的個數：稠密線性方程組稀疏線性方程組按未知量的個數：高階線性方程組低階線性方程組(如1000)按系數矩陣的形狀對稱正定方程組三角形方程組三對角占優方程組2023/2/54(80%)解線性方程組的兩類方法：直接法:經過有限次運算后可求得方程組精確解的方法(不計舍入誤差)迭代法：從解的某個近似值出發，通過構造一個無窮序列去逼近精確解的方法。（一般有限步內得不到精確解）直接法概述直接法是將原方程組化為一個或若干個三角形方程組的方法，共有若干種．對于線性方程組其中系數矩陣未知量向量常數項------------(1)2023/2/56根據Cramer(克萊姆)法則,若若用初等變換法求解,則對其增廣矩陣作行初等變換:經過n-1次2023/2/57同解即以上求解線性方程組的方法稱為Gauss消去法則都是三角形方程組上述方法稱為直接三角形分解法------------(2)2023/2/582023/2/59其解為:回代方向2023/2/5106.1Gauss消去法一、消元與回代計算對線性方程組對其增廣矩陣施行行初等變換:2023/2/511定義行乘數2023/2/512且2023/2/513定義行乘數2023/2/5142023/2/5152023/2/516以上討論告訴我們，對具有上三角形系數矩陣的方程組求解極為方便。當然,若方程組的系數矩陣為下三角形,則求解也很方便。于是對于一般形式的方程組，我們總設法把它化為系數矩陣呈上(或下)三角形的方程組來求解。為了達到目的，可利用消去法進行。現舉例如下:解方程組①②③2023/2/517(6―6)作②-①消去②中的x1，作③-①×4消去③中的x1，則方程組化為①②③對方程組(6―6′)作③-②×，得到三角形方程組①②③2023/2/518(6―6′)(6―6")

從方程組(6―6“)的方程③解出x3,將所得的結果代入方程②求出x2,再把x3、x2同時代入方程①解出x1。這樣可求出方程組的解為

上述求解方程組的方法就是高斯(Gauss)消去法。從式(6―6)到(6―6")的過程稱為消元過程而由(6―6")求出x3、x2、x1的過程稱為回代過程。因此用高斯消去法求解性方程組要經過消元和回代兩個過程。2023/2/5192023/2/5二、Gauss消去法的運算量計算機作乘除運算所耗時間要遠遠多于加減運算且在一個算法中，加減運算和乘除運算次數大體相當故在衡量一個算法的運算量時只需統計乘除的運算次數乘法次數：除法次數：20全部回代過程需作乘除法的總次數為于是Gauss消去法的乘除法運算總的次數為2023/2/521Gauss消去法乘除法約為2700次而如果用Cramer法則的乘除法運算次數約為或用行列式定義用行列式性質2023/2/522例1.用Gauss消去法解線性方程組(用3位十進制浮點數計算）解:本方程組的精度較高的解為用Gauss消去法求解(用3位十進制浮點數計算)Gauss列主元消去法的引入2023/2/523三、Gauss列主元消去法9999回代后得到與精確解相比,該結果誤差較大究其原因,在求行乘數時用了很小的數0.0001作除數主元2023/2/524前述順序消去法是按序通過用a11,a(1)22,…,a(n-2)n-1(a(k-1)kk≠0)作為除數來達到消元目的的。在實際計算時,由于舍入誤差的影響,計算結果會改變很大,甚至于完全失真。2023/2/525如果在求解時將1,2行交換,即0.9999回代后得到該結果與精確解近似程度很高2023/2/526例2.解線性方程組(用8位十進制尾數的浮點數計算)解:這個方程組和例1一樣,若用Gauss消去法計算會有小數作除數的現象,若采用換行的技巧,則可避免2023/2/527絕對值最大不需換行2023/2/528經過回代后可得方程組的準確解為2023/2/529例2所用的方法是在Gauss消去法的基礎上,利用換行避免小主元作除數,該方法稱為Gauss列主元消去法2023/2/530

高斯列主元素消去法是順序消去法的一種改進。它的基本思想是在逐次消元時總是選系數子矩陣的第一列元素中絕對值最大的元素(稱之為主元)做除數,按順序消去法的步驟消元。除了列主元消去法，求解線性方程組常用的還有全主元消去法。四、Gauss-Jordan消去法

前面所述的消去法均要進行兩個過程,即消元過程和回代過程。但對消元過程稍加改變可以把線性方程組的系數矩陣化為對角陣

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此時求解就不要回代了。這