初中數學課堂教學的合理設計與有效實施天津市中小學教育教學研究室數學室劉金英1★“篤學”——明確目標，準確把握核心★“善思”——遵循規律，合理設計內容★“踐行”——有效實施，服務學生發展使學生獲得良好的數學教育2——《國家中長期教育改革和發展規劃

綱要（2010-2020年）》

數學教育

——《數學課程標準》（2011版）

核心概念

——人教版《義務教育教科書·數學》明確目標

·準確把握核心★篤學：把握核心3堅持以人為本，推進素質教育是教育改革發展的戰略主題。素質教育就是貫徹黨的教育方針，核心是解決好培養什么人，怎樣培養人的重大問題。重點是面向全體學生、促進學生全面發展，著力提高學生服務國家和人民的社會責任感、勇于探索的創新精神和善于解決問題的實踐能力。《國家中長期教育改革和發展規劃綱要》4

數學家拉普拉斯指出：數學是一種手段，而不是目的，是人們為解決科學問題而必需精通的一種工具。——M.克萊茵《古今數學思想》對“數學”的理解5

數學像竹子一樣產生于實踐的大地，然后一節一節地獨立生長，到一定時候，會爆出新筍，產生新分支；待到老了，它會開花結子，種子重回大地，發展為全新的數學。

——齊民友的“竹子哲學”對“數學發展”的理解6

數學教育作為一種社會現象，是一種有目的、有計劃、有意識的活動，應當成為預定目標的實現過程，是一種精神形態存在的目標外化和物化的過程。——周學海《數學教育學概論》對“數學教育”的理解7

教育就其本質來說“是人生存的需要，教育是主動的行為，每個人都有受教育的欲望。”——史寧中《關于教育的哲學》自然·自得·因需而為8——鐘啟泉內容標準

學生應該知道什么和能夠做什么成就標準

學生應該達成的“基礎學力”或是“基本能力”、“關鍵技能”機會標準

保障每一個學生“學習權”的教學規范、關系規范、（課程資源）分配規范《課程標準》9數學是研究數量關系和空間形式的科學。

數學作為對于客觀現象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具

……數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養

要發揮數學在培養人的（理性）思維能力和創新能力方面的不可替代的作用

《數學課程標準》（2011版）——揭示了作為一門科學的數學所

表現出的文化特征及應有價值10●教什么內容掌握到何種程度●以“知識”為本●是一種“結果性”目標●對能力的要求：分析、解決問題●增加“隱性”目標：基本思想，基本活動經驗●以“育人”為本●是一種”過程性+結果性“的目標●對能力的要求增加：發現、提出問題基本認識11核心概念

（核心概念：原課標也稱為“關鍵詞”）原課標：數感符號感空間觀念（6個）統計觀念應用意識推理能力修改后：數感符號意識空間觀念

（10個）幾何直觀數據分析觀念運算能力推理能力模型思想應用意識創新意識12

將“數學學習”與“數學教學”合成一條，整體闡述數學教學的特征。教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程。有效的教學活動是學生學與教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。數學教學活動應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維；要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法。數學教學13學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。教師教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發式和因材施教。教師要發揮主導作用，處理好講授與學生自主學習的關系，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得基本數學活動經驗。14

教材是國家教育方針、素質教育精神、課程改革理念的具體體現，是中小學教師創造性地實施教學可以依賴的最直接、最主要的課程資源，是億萬中小學生“睜開眼睛看世界”的主要通道。《義務教育教科書·數學》15繼承·發展·調整·完善教師教學用書修訂（七年級上冊）教材習題修訂（七年級上冊）教材修訂研討會（七～九年級）修訂后教材的試教（七年級上冊）人教版《義務教育教科書·數學》16★善思：合理設計學而不思則罔，思而不學則殆。——孔子《論語》博學之，審問之，慎思之，明辨之，篤行之

——《禮記》

遵循規律·合理設計內容17●思想性——育人價值●過程性——方法指導●生成性——資源開發感悟思想·積累經驗思考三個方面的問題18思想性加強數學教學的思想性，是體現數學的育人價值的需要，有利于學生形成對數學的整體性認識。19→如何研究平行四邊形案例▲研究的問題一般四邊形：組成元素（邊、角、對角線）、度量（內角和等）；特殊四邊形：從“特殊性”入手；→邊的特殊——平行四邊形：性質和判定；其他度量問題；▲研究的方法化歸為三角形、平行線等已有知識。特殊的平行四邊形的研究要注意特殊的三角形的知識：矩形——直角三角形；菱形——等腰三角形。→平行四邊形：角的特殊——矩形，邊的特殊——菱形，邊角都特殊——正方形，都要研究性質和判定。研究的是在“平行四邊形”的條件下，它的組成元素有什么普遍規律，如邊的大小關系、內角的關系、對角線的關系等研究的是具備什么條件的四邊形才是“平行四邊形”20在數與代數領域，有理數及其運算是一切運算系統的基礎。將其他運算的對象和數作類比，可以使我們得到很多研究方法方面的啟示。數——運算（加、乘、指數運算）和逆運算——運算律——大小關系式——運算（加、乘、指數運算）和逆運算——運算律——大小關系

“式”是用字母代替數的結果。數有整數、分數、指數冪等，式就有整式、分式、根式等；在討論式的運算時，可以類比數的運算，有系統地運用運算律（特別是分配律）去簡化各式各樣的代數式和代數關系，歸納地探索、發現、定義和證明各種代數公式、代數定理。式中的“大小關系”就是“式的相等或不等關系”，由此發展出“等式的性質”和“不等式的性質”，也就是考察“式在運算中的不變性”。→如何體現“數式通性”案例21數式通性·類比聯想整式的乘法22數式通性·歸納遷移分式23數式通性·水到渠成24二次根式體現了教材的思想教育價值具體抽象25

運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。

正確·有據·合理·簡捷核心概念分析26根據一定的數學概念、法則和定理，由一些已知量通過計算得出確定結果的過程，稱為運算。能夠按照一定的程序與步驟進行運算，稱為運算技能。不僅會根據法則、公式等正確地進行運算，而且理解運算的算理，能夠根據題目條件尋求正確的運算途徑，稱為運算能力。對運算能力的思考27過程性關注數學教學的過程性,就是通過“觀察、實驗、比較、歸納、猜想、推理、反思”等理性思維活動，促使學生領悟數學的本質，提高學生的數學思維能力。28→三角形全等條件的研究思路案例①六個條件中的一個或兩個；②SSA；③AAA兩個三角形全等的三個不確定的條件：①

SSS；②SAS；③ASA；④AAS；⑤HL兩個三角形全等的五個確定的條件：如何呈現合情合理的探究過程29探究1：六個條件中的一個或兩個探究2：SSS30不采用探究形式，作為探究3得出結論后的拓展。探究3：SAS思考：SSA31不采用探究形式，作為探究5得出結論后的拓展例題。探究4：ASA例4：AAS32改為思考欄目，思考后歸納。思考：AAA探究5：HL33研究思路設計脈絡清晰·自然合理三邊——探究2：SSS兩邊一角——探究3：SAS和SSA一邊兩角——探究4：ASA和AAS三個角——思考：AAA六個條件中的三個六個條件中的一個或兩個探究1探究5：HL34生成性基于教科書例題和習題基于教科書的正文內容基于《數學課程標準》資源開發

·合理設計35案例（1）讓學生分組收集一些商品的空包裝紙盒，請大家分別計算出它們的體積和表面積。（2）請學生將這些盒子拆開，看一看它們是怎樣裁剪和粘接出來的。（3）給一個矩形紙板（如A4紙大小），讓學生根據上面的發現，裁剪、折疊出一個無蓋長方體的盒子，并計算出它的體積。（4）同組同學之間比較結果，分析誰的體積比較大？分析怎樣能作出一個體積更大（最大）的盒子？（只是實驗、比較，不要求證明）。（5）結合一種具體的待包裝物體(如5本書或2個茶杯)設計一個包裝盒，使這個盒子恰能包容它們，如有可能實際做出這個盒子。基于《數學課程標準》（2011版）——選自《數學課程標準》（2011年版）第122頁例7636——選自人教版教科書第4章“圖形認識初步”37——選自人教版教科書（原）第21章“二次根式”做給定條件的長方體紙盒38——選自2012年江蘇無錫中考數學試題39問題

·過程·綜合·思想40案例基于《數學課程標準》（2011版）——選自《數學課程標準》（2011年版）第123頁例7741——選自2013年天津市中考數學試題4243

模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題；用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律；求出結果、并討論結果的意義。“核心概念”分析44模型思想是一種數學的基本思想數學發展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理、模型，……通過抽象，在現實生活中得到數學的概念和運算法則，通過推理得到數學的發展，然后通過模型建立數學與外部世界的聯系。——史寧中《數學思想概論》45案例基于教科書正文內容4647——選自2009年天津市中考數學試題4849活動的經驗·思考的經驗50數學教科書包括兩方面的內容：給人看的內容和給人做的內容，練習、習題就是給人做的內容，練習、習題、復習題構成了教科書的訓練系統。要經過循序漸進的訓練，使學生達到對內容理解的逐步深入，雙基的落實，能力的提高。正文、習題是一個整體，習題是正文的自然延續，是通過訓練幫助學生理解正文內容的。基于教科書例題和習題案例51——選自人教版《義務教育教科書·數學》八上第37頁平分任意角52——選自2012年天津市中考數學試題53三等分任意（銳）角三等分任意（鈍）角？54實驗操作·創新意識三等分任意（鈍）角55

創新是指做一些新的事情，“新”的含義：對所有人都是“新”的，稱為原創的；對某些人是“新”的；對自己是“新”的，自己沒有做過的事情。創新能力是指完成創新工作的能力，要求較高。創新意識要求低一些，是指在學習數學的過程中有好奇心，對新事物感興趣，不斷地發現和提出問題，有創新的欲望，嘗試去做一些對自己是新的、沒有想過、沒有做過的事情，用學過的數學方法解決問題。核心概念分析56教學設計，是課堂教學的藍本，是對課堂教學的整體規劃和預設，勾勒出了課堂教學活動的效益取向。●教學過程設計●教學問題診斷分析●目標檢測設計●教學支持條件分析●內容和內容解析●目標和目標解析教學設計框架建議——選自課程教材研究所“中學數學核心

概念、思想方法及其教學設計的理論

與實踐”課題研究成果571.內容和內容解析

（1）內容：對當前概念的內涵和外延作簡要說明；

（2）內容解析：重點是在揭示內涵的基礎上，說明概念的核心之所在，并要對概念在中學數學中的地位進行分析，其中隱含的思想方法要作出明確表述。在此基礎上闡明教學重點。界定核心內容·突出重點5812.2三角形全等的判定（第1課時）

1.內容構建三角形全等條件的探索思路，“邊邊邊”判定方法．

2.內容解析三角形全等的判定是指三角形中的邊、角滿足什么條件可以推斷兩個三角形全等．全等三角形的性質和判定是研究全等三角形的兩個重要方面．根據全等三角形的定義，三條邊分別相等、三個角分別相等的兩個三角形全等．本節主要探索能否在上述六個條件中選擇部分條件，簡捷地判定兩個三角形全等．為此構建了三角形全等條件的探索思路，即從“一個條件”開始，逐漸增加條件的數量，從“一個條件”“兩個條件”“三個條件”分別進行探究，最后通過作圖實驗，概括出一種判定方法——“邊邊邊”．“邊邊邊”判定方法的探索過程也為其他判定方法的探索提供了策略和思路．基于以上分析，本節課的教學重點是：構建三角形全等條件的探索思路，和“邊邊邊”判定方法．592.目標和目標解析

（1）目標：用“了解”“理解”“掌握”以及相應的行為動詞“經歷”“體驗”“探究”等表述目標；

（2）目標解析：對“了解”“理解”“掌握”以及“經歷”“體驗”“探究”的含義進行解析。要強調把能力、態度等“隱性目標”融合到知識、技能等“顯性目標”中，以避免空洞闡述“隱性目標”，使目標對教學具有有效的定向作用。指向“學生的變化”6012.2三角形全等的判定（第1課時）

1.目標（1）構建三角形全等條件的探索思路，體會研究幾何問題的方法．（2）探索并理解“邊邊邊”判定方法，會用“邊邊邊”判定方法進行簡單的證明．（3）會用尺規作一個角等于已知角，了解作圖的道理．

2.目標解析達成目標（1）的標志是：學生知道判定三角形全等的含義．為了尋求比六個條件更簡捷的判定方法，從“一個條件”開始，逐漸增加條件的數量，依次探究“一個條件”“兩個條件”“三個條件”能否保證兩個三角形全等．在探索判定方法的過程中，體會作圖、觀察、分析、猜想等研究幾何問題的方法．達成目標（2）的標志是：學生能在教師的引導下作兩個三邊分別相等的三角形，通過觀察、比較、分析，概括出全等三角形的“邊邊邊”判定方法．學生能理解“邊邊邊”判定方法的含義，會用“邊邊邊”判定方法進行一些簡單的證明．達成目標（3）的標志是：學生能正確使用直尺和圓規作一個角等于已知角，并能用“邊邊邊”判定方法解釋作法的合理性．613.教學問題診斷分析應結合自己以往的教學經驗，數學內在的邏輯關系以及思維發展理論，對本內容在教與學中可能遇到的障礙進行預測，并對出現障礙的原因進行分析。在上述分析的基礎上指出教學難點。具體的，可以從認知分析入手，即分析學生已經具備的認知基礎（包括知識、思想方法和思維發展基礎），對照教學目標還需要具備哪些條件，通過已有基礎和目標之間的差異比較，分析教學中可能出現的障礙。基礎·差異·難點·突破6212.2三角形全等的判定（第1課時）探索三角形全等的條件是一個開放性的問題，如何從六個條件中選擇部分條件簡捷地判定兩個三角形全等、怎樣通過逐漸增加條件的數量構建出三角形全等條件的探索思路，這些對于思維水平正在逐漸提高的初二學生來說會有一定的難度．探索三角形全等的條件和運用“邊邊邊”判定方法作一個角等于已知角的過程，多次涉及到尺規作圖，而學生只在初一學習了用尺規作最簡單的圖形，作圖技能還不高．教學時，教師要從三角形全等的判定的含義出發，以在六個條件中選擇部分條件，簡捷地判定兩個三角形全等為目標，引導學生逐步探索三角形全等的條件．對于作一個角等于已知角的尺規作圖，則分別以作一條線段等于已知線段的尺規作圖和三角形全等的“邊邊邊”判定方法來引導學生思考作圖的思路．本節課的教學難點是：構建三角形全等條件的探索思路、用尺規作一個角等于已知角．634.教學支持條件分析為了有效實現教學目標，根據問題診斷分析和學習行為分析，分析應當采取哪些教學支持條件，以幫助學生更有效地進行數學思維，使他們更好地發現數學規律。當前，可以適當地側重于信息技術的使用，以構建有利于學生建立概念的“多元聯系表示”的教學情境。645.教學過程設計教學過程設計以“問題串”方式呈現為主。所提出的問題應當注意適切性，對學生理解數學概念和領悟思想方法有真正的啟發作用。在每一個問題后，要寫出問題設計意圖、師生活動預設，以及需要概括的概念要點、思想方法，需要進行的技能訓練，需要培養的能力，等。這里，要特別注意對如何滲透、概括和應用數學思想方法作出明確表述。預設·意圖·關注點656.目標檢測設計通過課堂教學，目標是否達成，需要以一定的習題、練習進行檢測。值得強調的是對于每一個（組）習題或練習都要寫明設計目的，以加強檢測的針對性、有效性。分解·檢測·生成性66

這樣，通過我們的“篤學”與“善思”，明確目標，理解數學教學內容的精髓，我們的“設計”于課堂教學、于學生的發展才是真正有益的。67★踐行：有效實施知之愈明，則行之愈篤；行之愈篤，則知之益明。——朱熹知而不行則偽，行而不知則惑。——孔子有效實施

·服務學生發展68

促進“學思知行”有機結合的初中數學核心內容教學實踐的研究

——天津市教育科學“十二五”規劃重點課題（BE2013）（已結題）促進學、思、知、行有機結合的初中理科教學現狀的調查研究——天津市教委2011年重點立項調研課題（JWDY-20116012）（已結題）案例——劉金英.初中數學教學“學思結合知行統一”調研結果及其簡要分析[]]．數學教育學報，2012，2．

69“學思知行”有機結合教學設計課堂實施課后反思教學情境課堂提問例題選取研為教助力·教為學服務研究成果70合理創設“教學情境”所謂情境，是指由人的主觀心理因素（認識、情感等）和客觀環境因素（時間、空間、設備等）所構成的情和境的總和。教學實踐活動也一定是在教學情境中發生和發展的。創設教學情境，就是選擇典型素材，根據學習需要和知識之間內在的邏輯關系，創設一種自然、恰當、寬松的教學情境，可以包括生活情境、問題情境、體驗情境等。合理·自然·適切·恰當71關于“函數”的“教學情境”案例●引入概念：從實際問題中的數量關系的角度，抽象概括出具有共同屬性的普遍規律；●給出定義：將已經抽象出來的“規律”模式化，給出“代數”意義上形式化的表達方式；●畫出圖象：通過列表、描點、連線，完成“幾何”意義上直觀的表達方式；●發現性質：借助圖形直觀，“看出來”函數表達式中變量之間的依存關系；●實際應用：將已經清晰了的對函數的基本認識，加以應用，并納入已有的認知系統之中。72

幾何直觀主要是指利用圖形描述和