向量代數與空間解析幾何多元微分學及其應用重積分高數（下）半期復習重點第8章向量代數與空間解析幾何

本章以矢量代數為工具，運用形數結合的方法，研究空間的曲面和曲線，同時重點研究了平面和直線。一基本要求：1.正確理解矢量概念，熟練掌握矢量的坐標表示式、其代數運算及兩個矢量相互平行、垂直的條件或其夾角的求法。2.平面方程四形式3.直線方程四形式4.點、直線、平面間的位置關系5.平面與平面的位置關系6.直線與直線的位置關系7.掌握空間曲線及曲面知識；會建立旋轉曲面方程及空間曲線在坐標面上的投影方程。二典型例子矢量坐標表示既有大小又有方向的量模及方向角方向余弦一基本要求1.矢量運算及坐標表示xzyn={A,B,C}M(a,b,d)A(x–a)+B(y–b)+C(z–d)=0Ax+By+Cz+D=0bca(1)

點法式:(2)

一般式.(3)

截距式：(4)

三點式：0其中D=–Aa–Bb–Cd2.平面方程(1)標準式：S={m,n,p}M(a.,b,c)LS(2)參數式:x=a+mty=b+ntz=c+pt(4)兩點式:AB.(3)一般式L.L3.直線方程(1)點到平面的距離(3)直線平行于平面.(2)

點到直線的距離MdNlMdlN.記.4.點、直線、平面的位置關系（用解析法判斷）nss(4)直線在平面內(5)直線垂直于平面(6)直線與平面的夾角lll....N4.點、直線、平面的位置關系（用解析法判斷）.sssnnn(1)兩個平面垂直(2)兩個平面平行(3)兩個平面重合已知兩個平面..5.平面與平面的位置關系(4)兩個平面夾角為(5)兩個平行平面間的距離為d已知兩個平面d.5.平面與平面的位置關系.12n1n2..已知兩條直線(1)兩條直線共面(2)兩條直線的夾角(3)兩條平行直線的距離d(4)兩條異面直線間的最短距離dABdABA..B6.直線與直線的位置關系

d..7.掌握空間曲線及曲面知識；會建立旋轉曲面方程及空間曲線在坐標面上的投影方程。（以例子在下面說明）曲面方程的定義：空間曲面7.掌握空間曲線及曲面知識；會建立旋轉曲面方程及空間曲線在坐標面上的投影方程。研究空間曲面的兩個基本問題：（2）已知坐標間的關系式，研究曲面形狀.（1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程.[1]旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱之.這條定直線叫旋轉曲面的軸.方程特點:（2）圓錐面（1）球面（3）旋轉雙曲面[2]柱面定義：平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L所形成的曲面稱之為柱面.這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.從柱面方程看柱面的特征：(1)平面(3)拋物柱面(4)橢圓柱面(2)圓柱面[3]二次曲面定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.（1）橢球面（2）橢圓拋物面（3）馬鞍面（4）單葉雙曲面（5）圓錐面空間曲線[1]空間曲線的一般方程[2]空間曲線的參數方程如圖空間曲線一般方程為參數方程為[3]空間曲線在坐標面上的投影消去變量z后得：設空間曲線的一般方程：曲線在面上的投影曲線為面上的投影曲線面上的投影曲線如圖:投影曲線的研究過程.空間曲線投影曲線投影柱面[4]空間立體或曲面在坐標面上的投影空間立體曲面1,2,3垂直........1.填空3.y+z=1.解：.M解：lN(2,–3,1)d.......(p,q同號)(p,q同號)橢球面雙葉雙曲面二次錐面單葉雙曲面雙曲拋物面橢圓拋物面相交...M0M垂面方程為2o求出L1與此平面的交點M：..L=t解：L12.1o過M0作L1的垂面，dL1L2方法I思路：1o

過L1做平面

，使//L2.2o

點ML2,,點M到平面的距離即為d.M(2)解：..先求平面

的法矢量：取點M(2,3,–4)L2,,.n方法II思路：.解：L1L2MN利用混合積的幾何意義：所求的d就是三矢量構成的平行六面體的高....(2)(3)思路I：因為：(1)

它們共面.(2)

它們不平行.(L2平行于已知平面，但顯然L1不平行于

.)相交。問題：L2與L1相交嗎？求直線的一般式方程.21L1L2.M0具體解答如下：nM1L1L2M0M1解：.思路I：求直線的一般式方程.sn21(3).思路II：求直線的標準式方程.L1從思路I的分析知：..L2如圖：.n21解：(3).3解由題設條件得解得4解所求投影直線方程為5解由于高度不變,故所求旋轉曲面方程為一重點與難點1.理解多元函數的極限、連續、偏導數、全微分等概念練習理解它們之間的關系(七框圖)(有關七框圖的提問).2.熟練掌握多元復合函數的一階、二階偏導數的求法；3.掌握隱函數的求導法則。(1)一個方程確定的隱函數*(2)方程組確定的隱函數4.掌握空間曲線的切線及法平面的求法。5.掌握空間曲面的切平面及法線的求法。6.掌握二元函數極值、給定區域上的最值、及條件極值的求法。7.理解方向導數與梯度的概念和計算方法，以及二者的關系。二典型例題(8個)三課堂練習1.求偏導、求全微分(4個)2.計算(5個)第9章多元函數微分學1.二元函數的基本概念..逆否命題：稱二元函數z=f(x,y)極限：即A為f(x,y)當PP0時的(二重)極限。連續：在點P0(x0,y0)連續.一重點與難點.

偏導數：..全微分：..o偏導數的幾何意義..00不存在0不存在不存在都不連續。(2)在x軸、y軸以外連續.(1)連續.二元函數的極限、連續及偏導數練習:.不存在不存在....003

將二元函數z=f(x

,y)在點(x,y)的以下七個命題填入框圖：（1）有定義;（2）有極限;（3）連續;（4）偏導存在;（5）方向導數存在;（6）偏導連續;（7）可微.（6）（7）（3）（4）（5）（1）（2）問題：1.成立的怎么證明？2.箭頭是否可逆？舉例.3.沒有箭頭意味什么？七框圖充分答：有關七框圖的提問(7個).不一定。..不一定。一定。.4..不一定。.？證畢..6.不一定。..它在點(0,0)的任何鄰域中都無界，7.3.隱函數的求導法則..(1)

一個方程確定的隱函數.且3.隱函數的求導..(1)

一個方程確定的隱函數法則3.隱函數..*(2)

方程組確定的隱函數的求導法則4.空間曲線的切線及法平面空間曲線L............5.空間曲面的切平面及法線曲面S的方程.........6.

二元函數極值的求法A<0(或C<0),A>0(或C>0),待定。.f(M0)為極大值。f(M0)為極小值。.求f(x,y)在給定區域上的最大值和最小值求在區域內的駐點，及邊界上的最值嫌疑點；擇其最大者為最大值，最小者為最小值。求u=f(x,y,z)的條件極值:7.方向導數與梯度的概念它是函數在一點處沿給定方向的變化率。方向導數是單向導數：方向導數的計算公式：則.梯度是個向量。其模是該點各方向導數的最大值。梯度的計算公式：.方向導數是個數。其方向,是函數在該點的方向導數取得最大值的方向；二.典型例題例1.證明：因其值依賴于k,

所以原極限不存在。證明：故函數在全平面連續。例2.解：這是偏導數的幾何意義問題。.例3.設所成角為，..例4.解：聯立這三個方程，=–2解得點：.多元復合函數偏導數的求法解：..例6.解：..解：曲線L在點P(1,–2,1)處切向量為:其方向余弦...例7.例8.解：=0=0得駐點：x=1,y=–1代入原式得在點(1,–1,–2)處，在點(1,–1,6)處，..注：幾何上也易解。原方程可化為球面..由三1.求偏導、求全微分.三2.計算：聚點：D...沿x軸正方向l的方向導數與偏導數的區別：.沿x軸正方向的方向導數與偏導數的關系：.其中大于零；其中x可以大于零，也可以小于零。三1.求導解答(1)解：=0=0(2)解：證畢..解：(3).解：(4).解：.這是偏導數的幾何意義問題。設所成角為，三2.計算解答(1)解：.計算解答(2)計算解答(3)解：.同理：(4)解：.(5)ABC結論(1,2)(2,1)(–1,–2)(–2,–1)6612>0z(1,2)非極值12126<0極小值z(2,1)=–28–6–6–12>0z(–1,–2)非極值–12–12–6<0極大值z(–2,–1)=28列表分析：第10章1.熟練掌握二重積分的極坐標2.會改變二重積分的積分次序3.熟練掌握用對稱性計算重積分4.熟練掌握三重積分柱坐標1.設f(x)在[0,4]上連續，且D：x2+y2≤4,則在極坐標系下先對r積分的二次積分為__________.2.若區域D為(x－1)2+y2≤1,則二重積分化成累次積分為3.計算解：積分區域關于x,y軸及原點對稱，所以4.求其中D是由圓所圍成的平面區域(如圖).解:令

由對稱性注:對于二重積分，經常利用對稱性及將一個復雜區域劃分為兩個或三個簡單區域來簡化計算.(04數三)5.

設f(x)為連續函數，(A)2f(2).(B)f(2).(C)–f(2).(D)0.(04數一)解：交換積分次序，得

從而有

故應選(B)6.計算二重積分解：7.

計算二重積分其中(05數二、三)解：如圖,將D分成D1與D2兩部分.

解